【全国百强校首发】河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学（理）试题.doc

河北省衡水中学2015-2016学年度下学期高三年级二调考试 理科试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 2.如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A． B． C． D． 3.下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6.两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ） A．2 B．3 C． D． 7.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ） A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2 8.函数的部分图象如图所示，的值为（ ） A．0 B． C． D． 9.若，则的值是（ ） A．-2 B．-3 C．125 D．-131 10.已知圆，圆，椭圆（，焦距为），若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ） A．7 B．19 C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 . 14.已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数的值为 . 15.已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为 . 16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，的因数有1,2,5,10，，那么 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分) 在锐角中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的面积. 18. (本小题满分12分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图. 为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”. (1)当时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较，的大小关系； (2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望； (3)若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值.(只需写出结论) 19. (本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. (本小题满分12分) 如图，已知椭圆：，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点. (1)若，求的值； (2)求四边形面积的最大值. 21. (本小题满分12分)设函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值； (3)若方程有两个不相等的实数根，比较与0的大小. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，直线与⊙相切于点是⊙的弦，的平分线交⊙于点，连接，并延长与直线相交于点. (1)求证：； (2)若，求弦的长. 23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为. (1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； (2)若点坐标，圆与直线交于两点，求的值. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 (1)已知函数，求的取值范围，使为常函数； (2)若，求的最大值. 参考答案及解析 一、选择题 1. C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题 13. 14.1 15. 16. 三、解答题 17.解：(1)在中，由正弦定理，得，即.(3分) 又因为，所以. (5分) 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. (12分) 18.解：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为.(1分) 乙组数据的平均数为.(2分) 由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数，所以. (4分) (2)由题意，知的所有可能取值为0,1,2. (5分) 且，，（8分） 所以的分布列为 0 1 2 所以. （10分） （3）当时，达到最小值. (12分) 19.解：（1）∵，，∴，又∵，，∴平面.∴，又∵，，∴平面；(4分) （2）∵平面，，∴以，，分别为轴，轴和轴，如图建立空间直角坐标系，易知，则，，，，∴，，平面的一个法向量，设平面的法向量，由，，得，令，得，∴，由图，得二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为； （8分） （3）假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，则，，设平面的法向量为，由，，得，令，得，∵平面平面，∴，即，解得， ∵，∴在线段上不存在点，使得平面平面．(12分 ) 20.解：(1)依题设得椭圆的顶点，则直线的方程为.(1分) 设直线的方程为.设，其中.联立直线与椭圆的方程，消去，得方程.(3分) 故，由知，，得，由点在线段上，知，得，所以，化简，得，解得或.（6分） (2)根据点到直线的距离公式，知点到线段的距离分别为，又 ，所以四边形的面积为 ，当且仅当，即时，取等号.所以四边形面积的最大值为.(12分) 21.解：(1) ． 当时， ，函数在上单调递增， 所以函数的单调增区间为，无单调减区间． 当时，由，得；由，得. 所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（4分） (2)由(1)得，若函数有两个零点，则，且的最小值，即.因为，所以. 令，显然在上为增函数，且 ，所以存在. 当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数. 又当时，，所以时，有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数的值为3. (3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知. 不妨设，则 两式相减得， 即． 所以. 因为，当时，，当时，， 故只要证> 即可，即证明， 即证明， 即证明.设t＝． 令，则. 因为，所以，当且仅当时，， 所以在上是增函数． 又，所以当总成立．所以原题得证．（12分） 22. 解：(1)∵与⊙相切于点,∴由切割线定理得，∴.(5分) (2)∵与⊙相切于点,∴,∵,∴.由及(1)知，.由，知，∴，∴.(10分) 23. 解：(1)由得直线的普通方程为.(2分) 又由得圆的直角坐标方程为，即.(5分) （2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，由于，故可设是上述方程的两实数根，所以，又直线的过点，两点对应的参数分别为，所以.(10分) 24.解：(1) .(4分) 则当时，为常函数.(5分) （2）由柯西不等式得，所以，当且仅当，即时，取最大值，因此的最大值为3.（10分）