2019黄金押题理数2.docx

2019黄金押题二 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.设全集为R，集合A={x∈R|x2<4}，B={x|-1<x≤4}，则A∩(∁RB)=(　　) A.(-1，2) B.(-2，-1) C.(-2，-1] D.(-2，2) 2.若复数z=21-i，其中i为虚数单位，则z=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是(　　) A.0，π4 B.-π，-π2 C.3π4，2π D.-π2，-π4 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a1-a4=0，则S4S2= (　　) A.-8 B.8 C.5 D.15[来源:学_科_网] 5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是(　　) A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 6.直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.与a，b的取值有关 7.已知△ABC是非等腰三角形，设P(cos A，sin A)，Q(cos B，sin B)，R(cos C，sin C)，则△PQR的形状是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 8.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位: cm)，则这个几何体的体积是(　　) A.8 cm3 B.12 cm3 C.24 cm3 D.72 cm3 9.设变量x，y满足约束条件y≤3x-2，x-2y+1≤0，2x+y≤8，则yx-1的最小值是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，斜率为1的直线截得的弦的中点为(4，1)，则该双曲线离心率的值是(　　) A.52 B.62 C.103 D.2 11.已知函数f(x)=sin(πx2)，-1<x<0，ex-1，x≥0，若f(1)+f(a)=2，则a的所有可能值为(　　) A.1 B.-22 C.1，-22 D.1，22 12.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为(　　) A.3(2-3)π B.4(2-3)π C.3(2+3)π D.4(2+3)π 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a=　　　　　. [来源:学科网] 14.已知a，b∈R，且a-3b+6=0，则2a+18b的最小值为　　　　　　.  15.已知α∈0，π2，tan α=2，则cosα-π4=　　　　　.  16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=(a+1)n2+a，某三角形三边之比为a2∶a3∶a4，则该三角形的面积为　　　　　.  三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和. 18.(12分) 如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，矩形DCBE所在的平面垂直于☉O所在的平面，AB=4，BE=1. (1)证明:平面ADE⊥平面ACD； (2)当三棱锥C-ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离. 19.(12分) 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定； (2)在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率. 20.(12分) 已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切。 21.(12分)已知函数f(x)=2x-ax+bln x，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x+y-8=0 (1)求a，b的值，并求函数f(x)的单调递增区间； (2)设g(x)=f(x)-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由。 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。 22.(10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R.以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为ρcosθ-π4=a. (1)判断动点A的轨迹表示什么曲线； (2)若直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值。 [来源:学科网] 23.(10分)选修4—5:不等式选讲 设函数f(x)=|x+2|+|x-2|，x∈R.不等式f(x)≤6的解集为M. (1)求M； (2)当a，b∈M时，证明:3|a+b|≤|ab+9|. 【答案及其解析】 1.C　解析 A={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}. ∵B={x|-1<x≤4}， ∴∁RB={x|x>4或x≤-1}， 则A∩(∁RB)={x|-2<x≤-1} 2.B　解析 z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i，故z=1-i. 3.D　解析 f(x)=-sin 2x，由2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π4≤x≤kπ+3π4(k∈Z)，当k=-1时，可知选项D符合. 4.C　解析 8a1-a4=0⇒q3=8⇒q=2，S4S2=S2+q2S2S2=1+q2=5.故选C. 5.A　解析 设建设前经济收入为1，则建设后经济收入为2，建设前种植收入为0.6，建设后种植收入为2×0.37=0.74，故A不正确；建设前的其他收入为0.04，养殖收入为0.3，建设后其他收入为0.1，养殖收入为0.6，故B、C正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%，故D正确，故选A. 6.C　解析 直线即a(x-1)+by=0，过定点P(1，0)，而点P在圆(x+1)2+y2=5内.故选C. 7.B　解析 易知这三个点都在单位圆上，而且都在第一、二象限，由平面几何知识可知，这样的三个点构成的必然是钝角三角形.故选B. 8.B　解析 三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面是底边长为6 cm、高为4 cm的等腰三角形，三棱锥的高为3 cm，∴这个几何体的体积V=13×12×6×4×3=12(cm3).故选B. 9.A　解析 由约束条件y≤3x-2，x-2y+1≤0，2x+y≤8作出可行域如图，联立x-2y+1=0，2x+y=8，解得A(3，2)，[来源:Zxxk.Com] yx-1的几何意义为可行域内的动点与定点P(1，0)连线的斜率，则其最小值为kPA=2-03-1=1. 10.A　解析 设直线l与双曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0，即y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2). 由弦的中点为(4，1)，直线的斜率为1可知，x1+x2=8，y1+y2=2，y1-y2x1-x2=1. ∴b2a2=14，e2=1+b2a2=54.[来源:学*科*网] ∴e=52.故选A. 11.C　解析 ∵f(1)=e1-1=1， ∴f(a)=1. 若a∈(-1，0)，则sin(πa2)=1， ∴a=-22. 若a∈[0，+∞)，则ea-1=1， ∴a=1.因此a=1或a=-22. 12.A　解析 ∵AO1=3R1，C1O2=3R2，O1O2=R1+R2， ∴(3+1)(R1+R2)=3，R1+R2=33+1，球O1和O2的表面积之和为4π(R12+R22)≥4π·2R1+R222=2π(R1+R2)2=3(2-3)π.故选A. 13.1　解析 ∵f'(x)=3ax2+1， ∴f'(1)=3a+1， 即切线斜率k=3a+1. 又f(1)=a+2，∴已知切点为(1，a+2). 而由过(1，a+2)，(2，7)两点的直线的斜率为a+2-71-2=5-a， ∴5-a=3a+1，解得a=1. 14.14　解析 ∵a-3b+6=0， ∴a-3b=-6. ∵a，b∈R，∴2a>0，18b>0. ∴2a+18b≥22a-3b=22-6=14，当且仅当2a=18b，即a=-3，b=1时取等号. 15.31010　解析 由tan α=2，得sin α=2cos α. 又sin2α+cos2α=1，所以cos2α=15. 因为α∈0，π2，所以cos α=55，sin α=255. 因为cosα-π4=cos αcosπ4+sin αsinπ4， 所以cosα-π4=55×22+255×22=31010. 16.1534　解析 ∵{an}是等差数列， ∴a=0，Sn=n2， ∴a2=3，a3=5，a4=7. 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°. ∴该三角形的面积 S=12×3×5×sin 120°=1534. 17.解 (1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q>0. 由已知，有2q2-3d=2，q4-3d=10，消去d，整理得q4-2q2-8=0. 又因为q>0，解得q=2，所以d=2. 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，n∈N*. (2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1，设{cn}的前n项和为Sn，则Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1， 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n， 上述两式相减，得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3，所以，Sn=(2n-3)·2n+3，n∈N*. 18.(1)证明 ∵AB是直径， ∴BC⊥AC， 又四边形DCBE为矩形， ∴CD⊥BC. ∵CD∩AC=C， ∴BC⊥平面ACD， ∴DE⊥平面ACD， 又DE⊂平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACD. (2)解 由(1)知VC-ADE=VE-ACD=13×S△ACD×DE=13×12×AC×CD×DE=16×AC×BC≤112×(AC2+BC2)=112×AB2=43， 当且仅当AC=BC=22时等号成立， ∴当AC=BC=22时，三棱锥C-ADE体积最大为43. 此时，AD=1+(22)2=3，S△ADE=12×AD×DE=32， 设点C到平面ADE的距离为h，则VC-ADE=13×S△ADE×h=43，∴h=223. 19.解 (1)x甲=14×(9+9+11+11)=10，x乙=14×(8+9+10+x+12)=10，解得x=1. 又s甲2=14[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1； s乙2=14[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=52， ∴s甲2<s乙2， ∴甲组成绩比乙组成绩更稳定. (2)记甲组4名同学为A1，A2，A3，A4；乙组4名同学为B1，B2，B3，B4； 分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)， (A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)， (A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)， (A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，共16个基本事件， 其中得分之和低于20分的共有6个基本事件， ∴得分之和低于20分的概率是P=616=38. 20.(1)解 由抛物线的定义，得|AF|=2+p2. 因为|AF|=3，即2+p2=3， 解得p=2， 所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)证法一 因为点A(2，m)在抛物线E:y2=4x上， 所以m=±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22). 由A(2，22)，F(1，0)可得直线AF的方程为y=22(x-1). 由y=22(x-1)，y2=4x得2x2-5x+2=0， 解得x=2或x=12，从而B12，-2. 又G(-1，0)， 所以kGA=22-02-(-1)=223，kGB=-2-012-(-1)=-223， 所以kGA+kGB=0，从而∠AGF=∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等， 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切. 证法二 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E:y2=4x上， 所以m=±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22). 由A(2，22)，F(1，0)可得直线AF的方程为y=22(x-1). 由y=22(x-1)，y2=4x得2x2-5x+2=0， 解得x=2或x=12，从而B12，-2. 又G(-1，0)，故直线GA的方程为22x-3y+22=0，从而r=|22+22|8+9=4217 . 又直线GB的方程为22x+3y+22=0， 所以点F到直线GB的距离d=|22+22|8+9=4217=r. 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切. 21.解 (1)f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)=2+ax2+bx. 依题设，f(1)=5，f'(1)=-3， ∴a=-3，b=-2. ∴f'(x)=2-3x2-2x=2x2-2x-3x2，令f'(x)>0，又x>0，∴x>1+72. ∴函数f(x)的单调递增区间为1+72，+∞. (2)g(x)=f(x)-3x=2x-2ln x，g'(x)=2-2x. 设过点(2，2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0，y0)， 则y0-2=g'(x0)(x0-2)，即2x0-2ln x0-2=2-2x0(x0-2)，∴ln x0+2x0=2. 令h(x)=ln x+2x-2，则h'(x)=1x-2x2， 当h'(x)=0时，x=2. ∴h(x)在区间(0，2)内单调递减，在区间(2，+∞)内单调递增. ∵h12=2-ln 2>0，h(2)=ln 2-1<0，h(e2)=2e2>0， ∴h(x)的图象与x轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y=g(x)的切线. 22.解 (1)设动点A的直角坐标为(x，y)， 则x=2-3sinα，y=3cosα-2. ∴动点A的轨迹方程为(x-2)2+(y+2)2=9， 其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆. (2)直线l的极坐标方程ρcosθ-π4=a化为直角坐标方程是x+y=2a. 由|2-2-2a|2=3，得a=3或a=-3. 23.(1)解 不等式即|x+2|+|x-2|≤6，而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2，2对应点的距离之和， -3和3对应点到-2，2对应点的距离之和正好等于6，故不等式的解集为M=[-3，3]. (2)证明 要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9(a+b)2≤(ab+9)2， 即证9(a+b)2-(ab+9)2=9(a2+b2+2ab)-(a2b2+18ab+81)=9a2+9b2-a2b2-81=(a2-9)·(9-b2)≤0， 而由a，b∈M，可得-3≤a≤3，-3≤b≤3， ∴(a2-9)≤0，(9-b2)≥0， ∴(a2-9)(9-b2)≤0成立， 故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立. 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！