2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试（1月） 数学（文）.doc

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数 学 文 试 题 (总分160分，考试时间120分钟) 注意事项： 　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式： 柱体体积公式：，锥体体积公式：，其中为底面积，为高. 样本数据的方差，其中. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合，全集，则ðUA= ▲ ． (第5题图) 2．设复数，其中为虚数单位，则 ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ． 4．命题“，”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”) 5．运行如图所示的伪代码，则输出的的值为 ▲ ． 6．已知样本的平均数是，且，则此样本的方差是 ▲ ． 7．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到其焦点的距离为，则点到点的距离为 ▲ ． 8．若数列是公差不为0的等差数列，、、成等差数列，则的值为 ▲ ． 9．在三棱柱中，点是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，则 ▲ ． 10．设函数（）的图象与轴交点的纵坐标为， 轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为 ▲ ． 11．已知是△的垂心（三角形三条高所在直线的交点），， 则的值为 ▲ . 12．若无穷数列是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合，集合， 若，则的最小值为 ▲ ． 14．若对任意实数，都有成立，则实数的值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知满足． （1）若，，求； （2）若，且，求． 16．(本小题满分14分) 如图，长方体中，已知底面是正方形，点是侧棱上的一点． （1）若//平面，求的值； （2）求证：． (第16题图) 17．(本小题满分14分) 如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从中裁剪出两块全等的圆形铁皮与，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形做圆柱的侧面（接缝忽略不计），为圆柱的一条母线，点、在上，点、在的一条直径上，、分别与直线、相切，都与内切． （1）求圆形铁皮半径的取值范围； （2） 请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值) (第17题图) 18．(本小题满分16分) 设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，，． （1）求椭圆的方程； （2）延长分别交椭圆于点（不重合），设， ，求的最小值． y (第18题图) 19．(本小题满分16分) 定义:若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．设数列中，． （1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为 “数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数使得?若存在，请求出所有满足条件的正整数;若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分16分) 若函数为奇函数，且时有极小值． （1）求实数的值； （2）求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1． 2． 3． 4．真 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．10 13． 14． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由可知， 移项可得，又，故， ……………………………………………2分 又由，可知， ……………………………4分 故在中，由正弦定理可得 ，所以. ………………7分 （2）由（1）知，所以时，， 由即可得 ， ……………10分 ∴.…14分 16．（1）证明：连结交于点，连结， 又因为平面，平面 平面平面，所以 ……………3分 因为四边形是正方形，对角线交于点 ， 所以点是的中点，所以， 所以在中，. ……………6分 （2）证明：连结. 因为为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面， 又平面，所以．…………………………………………………………………8分 因为底面是正方形，所以． ……………………………………………………10分 又，面， 面， 所以面. ……………………………………… …………………………………………12分 又因为,所以，又因为， 所以A1PÌ面ACC1A1,所以． ………………………………………………14分 17．解：（1）设半径为，则， 所以的周长， ………………………………………………4分 解得 ，故半径的取值范围为. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积， ……………………………………8分 设函数， 所以，由于 ， 所以在定义域上恒成立， 故在定义域上单调递增， 即当时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：半径的取值范围为，当时，体积取到最大值. ………………………14分 18.解：（1）由当轴时，可知， …………………………………………………2分 将，代入椭圆方程得（※）， 而，，代入（※）式得， 解得，故，∴椭圆的方程为.…………………………………………………4分 （2）方法一：设，由得，故， 代入椭圆的方程得（＃）， ………………………………………………8分 又由得，代入（＃）式得， 化简得，即，显然， ∴，故.……………………………………………………………………12分 同理可得，故， 当且仅当时取等号，故的最小值为. ………………………………………………16分 方法二：由点，不重合可知直线与轴不重合，故可设直线的方程为， 联立，消去得（☆）， 设，则与为方程（☆）的两个实根， 由求根公式可得，故，则，……………………8分 将点代入椭圆的方程得， 代入直线的方程得，∴， 由得，故 .…………………………………………………12分 同理可得，故， 当且仅当时取等号，故的最小值为. ………………………………………………16分 注：（1）也可设得，其余同理. （2）也可由运用基本不等式求解的最小值. 19．解：（1）∵，且数列是“数列”， ∴，∴，∴，………………………………2分 故数列是等差数列，公差为， 故通项公式为，即. ………………………………………………4分 （2）由得，，故. 方法一：由得， 两式作差得，即， 又，∴，∴对恒成立，……………………6分 则，而，∴，∴， ∴是等比数列， ………………………………………………………………………………8分 ∴，∴，∴， ∴是公比为的等比数列，故数列是“数列”.………………………………10分 方法二：同方法一得对恒成立， 则，两式作差得，而， ∴，∴，以下同方法一. ……………………………………10分 （3）由数列是“数列”得， 又，∴，∴，∴，∴， ∴当时， ， 当时上式也成立，故， ……………………………………12分 假设存在正整数使得，则， 由可知，∴，又为正整数，∴， 又， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 故存在满足条件的正整数，，. ……………………………………16分 20．解：（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立， 所以 ， 化简可得 ，所以. ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得， 所以， 其中当时，由于恒成立， 即恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当时，方程有两个不等的正根， 故可知函数在上单调递增， 在上单调递减，即在处取到极小值， 所以，的取值范围是. ………………………………………………9分 法二：由（1）可得， 令， 则， 故当时，；当时，， …………………………………………5分 故在上递减，在上递增， ∴， 若，则恒成立，单调递增，无极值点； 所以，解得， 取，则， 又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，存在为函数的零点，为极小值. 所以，的取值范围是. ………………………………………………9分 （3）由满足， 代入， 消去m可得， ……………………………………11分 构造函数， 所以，当时， ， 所以当时，恒成立，故h(x)在[0，+)上为单调减函数，其中， ……13分 则可转化为， 故，由，设， 可得当时，，在上递增，故， 综上，的取值范围是 . ………………………………………………16分 高三数学试题第11页（共4页）