2019黄金押题理数1.docx

2019黄金押题一 一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分) 1.已知集合A=xx-10x-1≤0，B={y|y=lg x，x∈A}，则A∪B=(　　) A.{1} B.⌀ C.[0，10] D.(0，10] 2.复数1-aia+i2 017=(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 3.在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为(　　) A.13 B.12 C.23 D.34 4.根据三视图求空间几何体的体积为(　　) A.2 B.73 C.83 D.3 5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯?你算出顶层有(　　)盏灯. A.2 B.3 C.5 D.6 6.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为(　　) A.13 B.12 C.23 D.58 7.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=3，且a2 016+a2 017=0，则S101等于(　　) A.3 B.303 C.-3 D.-303 8.已知向量a=(x-1，3)，b=(1，y)，其中x，y都为正实数.若a⊥b，则1x+13y的最小值为(　　) A.2 B.22 C.4 D.23 9.已知平面区域D=(x，y)x-4y+3≤0，3x+5y-25≤0，x≥1，，Z=yx+2.若命题“∀(x，y)∈D，Z≥m”为真命题，则实数m的最大值为(　　)[来源:学.科.网] A.2215 B.27 C.13 D.14 10.设点M，N为圆x2+y2=9上两个动点，且|MN|=42，若点P为线段3x+4y+15=0(xy≥0)上一点，则|PM+PN|的最大值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 11.在平面直角坐标系中，若不同的两点A(a，b)，B(-a，b)在函数y=f(x)的图象上，则称(A，B)是函数y=f(x)的一组关于y轴的对称点((A，B)与(B，A)视为同一组)，则函数f(x)=12|x|，x≤0，|log3x|，x>0关于y轴的对称点的组数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 12.已知F1，F2分别是椭圆mx2+y2=m(0<m<1)的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，若|PF2|2+|PF1||PF1|的最小值为43，则椭圆的离心率是(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分) 13.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　　　　　.  14.抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点(x0，2)到焦点的距离为3，则抛物线方程为　　　　　.  15.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　　　　.  16.设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于　　　　　.  三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2sin Acos C=2sin B-sin C. (1)求A的大小; (2)在锐角三角形ABC中，a=3，求c+b的取值范围. 18.(12分)某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下: 女性用户 分值区间 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 45 75 90 60 30 (1)完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值，给出结论即可); 女性用户 男性用户 (2)根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率. 19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E，F，G分别为PC，AD，PD的中点，OP=OA，PA⊥PD. [来源:学#科#网Z#X#X#K] 求证:(1)FG∥平面BDE; (2)平面BDE⊥平面PCD. 20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22. (1)求椭圆C的方程; (2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与☉N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值. 21.(12分)已知函数f(x)=exsin x-cos x，g(x)=xcos x-2ex(其中e是自然对数的底数). (1)∀x1∈0，π2，∃x2∈0，π2使得不等式f(x1)+g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围; (2)若x>-1，求证:f(x)-g(x)>0. 22.选修4—4　坐标系与参数方程 (10分)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=31+2sin2θ，点R22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标; (2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标. 23.选修4—5　不等式选讲 (10分)设函数f(x)=|x-a|，a∈R. (1)当a=2时，解不等式f(x)≥6-|2x-5|; (2)若关于x的不等式f(x)≤4的解集为[-1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证:1s+8t≥6. 【答案及其解析】 1.D　解析 集合A=xx-10x-1≤0={x|1<x≤10}，B={y|y=lg x，x∈A}={y|0<y≤1}，∴A∪B={x|0<x≤10}=(0，10].故选D. 2.D　解析 1-aia+i2 017=-i(a+i)a+i2 017=-i2 017=-(i4)504·i=-i.故选D. 3.B　解析 由题意，0≤x≤6，2x-1≥3， ∴2≤x≤6. ∵6<x≤8，x3≥3无解，∴输出的y≥3的概率为6-28-0=12，故选B. 4.B　解析 由三视图得到几何体为如图的三棱台:其中上底面是腰长为1的等腰直角三角形，下底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱台的高为2， 所以体积为13×12+1+2×2=73，故选B. 5.B　解析 设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为 首项，以2为公比的等比数列，则由等比数列的求和公式可得a(1-27)1-2=381，解得a=3，因此顶层有3盏灯，故选B. 6.C　解析 三种不同的颜色分别用A，B，C表示，随机事件所包含的基本事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，则两个小球颜色不同的概率为P=69=23.故选C. 7.A　解析 ∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，且a2 016+a2 017=0， ∴a1q2=3，a1q2 015(1+q)=0，解得a1=3，q=-1， ∴S101=a1(1-q101)1-q=3[1-(-1)101]1-(-1)=3×22=3.故选A. 8.C　解析 ∵a⊥b，∴a·b=x-1+3y=0，即x+3y=1.又x，y为正实数，∴1x+13y=(x+3y)1x+13y=2+3yx+x3y≥2+23yx·x3y=4，当且仅当x=3y=12时取等号. ∴1x+13y的最小值为4.故选C. 9.B　解析 由题意命题“∀(x，y)∈D，Z≥m”为真命题即求Z的最小值， 平面区域如图: Z=yx+2表示区域内的点与定点(-2，0)连接直线的斜率， 所以与过点N的n直线斜率最小，由x-4y+3=0，3x+5y-25=0，得到N(5，2)， 所以最小值为25+2=27， 所以实数m≤27，所以m的最大值为27，故选B. 10.D　解析 由已知得|OM|=|ON|=3，则|MN|2=|ON-OM|2=|ON|2+|OM|2-2OM·ON=32， 得2OM·ON=-14.|PM+PN|=|PO+OM+PO+ON|=|2PO+OM+ON|， 而|OM+ON| =|OM|2+|ON|2+2OM·ON　 =9+9-14=2. 如图，由图可知，当P在点(5，0)处，且向量2PO与向量(OM+ON)同向共线时，|PM+PN|有最大值为12.故选D. 11.C　解析 由题意，在同一平面直角坐标系内，作出y1=12x(x>0)，y2=|log3x|(x>0)的图象， 根据定义，可知函数f(x)=12|x|，x≤0，|log3x|，x>0关于y轴的对称点的组数就是关于y轴对称后图象交点的个数， 所以关于y轴的对称点的组数为2，故选C. 12.B　解析 令|PF1|=s，|PF2|=t，则|PF2|2+|PF1||PF1|为t2+ss，其最小值为43，则t2s的最小值为13. 由椭圆mx2+y2=m，得x2+y2m=1. ∵0<m<1，∴椭圆的长轴长为2. ∴(2-s)2s=4s+s-4≥13， ∴4s+s≥133，由4s+s=133，解得s=43或s=3(舍). 由对勾函数的单调性可知，当s有最大值为a+c=43时，t2+ss有最小值为43， 即1+c=43，得c=13.∴椭圆的离心率e=ca=13.故选B. 13.分层抽样　解析 因大量客户且具有不同的年龄段，分层明显，故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适. 14.x2=4y　解析 由题意可知抛物线方程为x2=2py，抛物线上一点(x0，2)到焦点的距离为3，可得p2=1，解得p=2，所求的抛物线方程为x2=4y. 15.43　解析 由题图可知，该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长为2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2=43. 16.2　解析 因为b≠0，所以b=xe1+ye2，x≠0，y≠0. 又|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+3xy，|x|2|b|2=x2x2+y2+3xy=1y2x2+3yx+1，不妨设yx=t，则|x|2|b|2=1t2+3t+1，当t=-32时，t2+3t+1取得最小值14，此时|x|2|b|2取得最大值，所以|x||b|的最大值为2. 17.解 (1)∵B=π-(A+C)，∴2sin Acos C=2sin B-sin C=2sin Acos C+2cos Asin C-sin C，∴2cos Asin C=sin C. ∵sin C≠0，∴cos A=12. 由A∈(0，π)，可得A=π3.[来源:学科网ZXXK] (2)∵在锐角三角形ABC中，a=3，由(1)可得A=π3，B+C=2π3， ∴由正弦定理可得:bsinB=csinC=332=2， ∴c+b=2sin C+2sin B=2sin B+2sin2π3-B=3sin B+3cos B=23sinB+π6. ∵B∈π6，π2，可得B+π6∈π3，2π3，∴sinB+π6∈32，1， 可得b+c=23sinB+π6∈(3，23]. 18.解 (1)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下图: 女性用户 [来源:Zxxk.Com] 男性用户 由图可得女性用户更稳定. (2)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分的有6人， 其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D， 评分不小于90分的人数为2，记为a，b， 设事件M为“两名用户评分都小于90分”，从6人中任取2人， 基本事件空间为Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，D)，(B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)}，共有15个元素. M={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共有6个元素. P(M)=615=25. 19.证明 (1)连接OE，GE，GF，FO. ∵点E，F，G分别为PC，AD，PD的中点，四边形ABCD为平行四边形， ∴GE∥DC，且GE=12DC，OF∥DC，且OF=12DC，∴OF∥GE且GE=OF，故得四边形OFGE为平行四边形. ∴FG∥EO，EO⊂平面BDE，FG⊄平面BDE，∴FG∥平面BDE. (2)由题意，FG∥AP，PA⊥PD，∴FG⊥PD.∵FG∥EO，∴EO⊥PD，又OP=OA，取AP的中点Q，连接OQ， 则OQ⊥AP，OQ∥PC，∴PC⊥AP，AP∥FG∥EO，∴EO⊥PC， ∵PC⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，PD⋂PC=P，∴EO⊥平面PCD. ∵EO⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面PCD. 20.解 (1)由椭圆的离心率为22，得a2=2(a2-b2)，又当y=1时，x2=a2-a2b2，得a2-a2b2=2，所以a2=4，b2=2. 因此椭圆方程为x24+y22=1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立方程y=kx+m，x2+2y2=4， 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0， 由Δ>0得m2<4k2+2.(*) 且x1+x2=-4km2k2+1， 因此y1+y2=2m2k2+1， 所以D-2km2k2+1，m2k2+1， 又N(0，-m)，所以|ND|2=-2km2k2+12+m2k2+1+m2， 整理得|ND|2=4m2(1+3k2+k4)(2k2+1)2， 因为|NF|=|m|， 所以|ND|2|NF|2=4(k4+3k2+1)(2k2+1)2=1+8k2+3(2k2+1)2.令t=8k2+3，t≥3， 故2k2+1=t+14，所以|ND|2|NF|2=1+16t(1+t)2=1+16t+1t+2. 令y=t+1t，所以y'=1-1t2. 当t≥3时，y'>0，从而y=t+1t在[3，+∞)上单调递增，因此t+1t≥103，等号当且仅当t=3时成立，此时k=0，所以|ND|2|NF|2≤1+3=4， 由(*)得-2<m<2且m≠0， 故|NF||ND|≥12. 设∠EDF=2θ，则sin θ=|NF||ND|≥12. 所以θ的最小值为π6， 从而∠EDF的最小值为π3，此时直线l的斜率是0. 综上所述，当k=0，m∈(-2，0)∪(0，2)时，∠EDF取到最小值π3. 21.(1)解 ∵f(x1)+g(x2)≥m， ∴f(x1)≥m-g(x2)， ∴f(x1)min≥[m-g(x2)]min， ∴f(x1)min≥m-g(x2)max， 当x∈0，π2时，f'(x)=excos x+(ex+1)sin x>0，函数f(x)在0，π2上单调递增，∴f(x)min≥f(0)=-1. 由已知g'(x)=cos x-xsin x-2ex， ∵x∈0，π2，∴0≤cos x≤1，xsin x≥0，2ex≥2e，∴g'(x)≤0， ∴函数g(x)在0，π2上单调递减，[来源:Zxxk.Com] ∴g(x)max≥g(0)=-2， ∴-1≥m+2，∴m≤-1-2， ∴实数m的取值范围为(-∞，-1-2]. (2)证明 当x>-1，要证f(x)-g(x)>0，只要证f(x)>g(x)， 只要证exsin x-cos x>xcos x-2ex，即证ex(sin x+2)>(x+1)cos x， 由于sin x+2>0，x+1>0， 只要证exx+1>cosxsinx+2， 令h(x)=exx+1(x>-1)， ∴h'(x)=xex(x+1)2， 当x∈(-1，0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，[来源:学科网] 当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min=h(0)=1. 令k=cosxsinx+2，其可看作点A(sin x，cos x)与点B(-2，0)连线的斜率， ∴直线AB的方程为y=k(x+2)，由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切， 当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1， ∴当x=0时，k=22<1=h(0)，当x≠0时，h(x)>1≥k， 综上所述，当x>-1，f(x)-g(x)>0. 22.解 (1)由于x=ρcos θ，y=ρsin θ，曲线C的方程为ρ2=31+2sin2θ，转化成x23+y2=1. 点R的极坐标转化成直角坐标为R(2，2). (2)设P(3cos α，sin α)， 由题意不妨设Q(2，sin α)， 则|PQ|=2-3cos α，|QR|=2-sin α， 所以|PQ|+|QR|=4-2sinα+π3. 当α=π6时，(|PQ|+|QR|)min=2，矩形的最小周长为4，点P32，12. 23.(1)解 当a=2时，不等式f(x)≥6-|2x-5|，可化为|x-2|+|2x-5|≥6. ①x≥2.5时，不等式可化为x-2+2x-5≥6，∴x≥133; ②2≤x<2.5，不等式可化为x-2+5-2x≥6，∴x∈⌀; ③x<2，不等式可化为2-x+5-2x≥6，∴x≤13. 综上所述，不等式的解集为-∞，13∪133，+∞. (2)证明 不等式f(x)≤4的解集为[a-4，a+4]=[-1，7]，∴a=3，∴1s+8t=131s+8t(2s+t)=1310+ts+16st≥6，当且仅当s=12，t=2时取等号. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！