【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三下学期第四周周测理数试题.doc

衡水中学2016-2017学年度数学（理科）试卷周测4 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A．2 B． 4 C． 8 D．16 2.如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A． B． C． D． 3.下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 4.已知变量满足：，则的最大值为（ ） A． B． C. 2 D．4 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A．5 B． 6 C.7 D．8 6.两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ） A． 2 B． 3 C. D． 7.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为（ ） A．0.05 B．0.1 C. 0.15 D．0.2 8.函数的部分图象如图所示，的值为（ ） A． 0 B． C. D． 9.若，则的值是（ ） A．-2 B． -3 C. 125 D．-131 10.已知圆：，圆：，椭圆：，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A． B． C. D． 11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ） A． B． C. D． 12.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 ． 14.已知向量与的夹角为，且，若且，则实数的值为 ． 15.已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为 ． 16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，，10的因数有1,2,5,10，，那么 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 18. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图. 为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”. （1）当时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，比较的大小关系； （2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求的分布列和数学期望； （3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论） 19. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20. 如图，已知椭圆，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点． （1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值． 21. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值； （3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为． （1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； （2）若点的坐标为，圆与直线交于两点，求的值． 23. 选修4-5：不等式选讲 （1）已知函数，求的取值范围，使为常函数； （2）若，，求的最大值． 附加题： 1.已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过的右顶点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦． ①设的中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点坐标； ②若直线的斜率均存在时，求由四点构成的四边形面积的取值范围． 2．已知函数（为自然对数的底数，），，． （1）若，，求在上的最大值的表达式； （2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围； （3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数． 3.2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券，赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据． 注：（1）表中表示出手次命中次； （2）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为： （1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过50%的概率； （2）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中至少有一场超过60%的概率； （3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由． 试卷答案 一、选择题 1-5:CBCDB 6-10: BBACB 11、12：DA 二、填空题 13. 14. 1 15. 16. 三、解答题 17.在中，由正弦定理， 得：，即， 又因为， 解得， 因为为锐角三角形， 所以. （2）在中，由余弦定理， 得，即， 解得或， 当时，因为． 所以角为钝角，不符合题意，舍去， 当时，因为，且，， 所以为锐角三角形，符合题意， 所以的面积． 18.（1）根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为， 乙组数据的平均数为 由茎叶图，如甲型号电视机的“星级卖场”的个数， 乙型号电视机的“星级卖场”的个数， 所以． （2）由题意，的所有可能取值为0,1,2 且，，， 所有的分布列为： 所有. （3）解：当时，达到最小值. 19.（1）证明：因为，， 所以， 又因为，， 所以平面， 所以. 又因为，， 所以平面. （2）解：因为平面，，所以，，两两垂直，以分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 易知，， 则，，，， 所以，. 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由，，得， 令，得， 所以. 由图，得二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为. （3）结论：在线段上不存在一点，使平面平面. 解：假设在线段上存在一点，使平面平面. 设，则，. 设平面的法向量为， 由，，得 令，得. 因为平面平面. 所以，即， 解得： 因为， 所以在线段上不存在点，使得平面平面. 20.（1）依题意得椭圆的顶点， 则直线方程分别为， 设的方程为， 如图， 设，其中， 联立直线与椭圆的方程 消去得方程， 故 由，知，得 由在上知，得 所以， 化简得， 解得或. （2）根据点到直线的距离公式知，点到的距离分别为，， 又，所以四边形的面积为 当且仅当，即当时，取等号， 所以的最大值为. 21. (1)解：． 当时，，函数在上单调递增，函数的单调增区间为． 当时，由，得；由，得. 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. (2)解：由(1)得，若函数有两个零点 则，且的最小值，即. 因为，所以.令，显然在上为增函数， 且，，所以存在，. 当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数 (3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知. 不妨设，则，. 两式相减得， 即． 所以.因为， 当时，， 当x∈时，， 故只要证即可，即证明， 即证明， 即证明.设． 令，则. 因为，所以，当且仅当t＝1时，，所以在上是增函数． 又，所以当时，总成立．所以原题得证 22. 解：　(1)由得直线的普通方程为 又由得圆C的直角坐标方程为 即. (2) 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程， 得 ，即 由于，故可设是上述方程的两实数根， 所以又直线过点，两点对应的参数分别为 所以. 23. （1） 则当时，为常函数. （2）由柯西不等式得: 所以 因此的最大值为3. 附加．(1) ；(2)①；②． 【解析】 试题分析：(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线的方程，由此可求得椭圆的方程；(2) ①直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；②将①中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围． 试题解析：(1)过作圆的切线，一条切线为直线，切点. 设另一条切线为，即. 因为直线与圆相切，则，解得，所以切线方程为. 由，解得，直线的方程为,即. 令，则，所以上顶点的坐标为，所以；令，则， 所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆的方程为. (2) ①若直线斜率均存在，设直线，, 则中点 . 先考虑 的情形. 由得. 由直线过点，可知判别式恒成立. 由韦达定理，得，故， 将上式中的换成，则同理可得. 若，得，则直线斜率不存在. 此时直线过点.[来源:学科网] 下证动直线过定点. ② 当直线的斜率均存在且不为时， 由①可知，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得 , 所以 . 同理，， ， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以，由四点构成的四边形面积的取值范围为. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系． 21．(1) ；(2) ；(3) ． 试题解析： (1) 时，, ； ①当时，，在上为增函数，此时， ②当时，，在上为增函数， 故在上为增函数，此时 ③当时，，在上为增函数，在上为减函数， 若，即时，故在上为增函数，在上为减函数， 此时 若，即时，在上为增函数，则此时， 综上所述： （2），， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在上恰有两个相异实根， ， 实数的取值范围是， （3）由题设：，（*） ∵，故在上单调递减，在上单调递增， （*）， 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减，:学。科。网] 而， 且， 故存在，使， 且时，，时，，[来源:学科网ZXXK] 又∵，，[来源:Z#xx#k.Com] ∴时，使的图像恒在图像的上方的最大整数． 3．（1）；（2）；(3) 不具有线性相关关系 试题分析：（1）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在该场比赛中超过的概率.（2）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在两场比赛中超过的概率.（3）根据散点图，并不是分布在某一条直线的周围，可得结论. （1）设易建联在比赛中超过为事件，则共有8场比赛中超过，故. （2）设“易建联在这两场比赛中至少有一场超过”为事件，则从上述9场中随机选择两场共有36个基本事件，其中任意选择两场中，两场中都不超过的共有10个基本事件，故 （3）不具有线性相关关系. 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛. 衡水中学2016—2017学年度数学（理科）周测4答案 一、 选择题： CBCDB BBACB DA 二、填空题： 13. 14. 1 15. 16. 三、解答题： 17. （本题满分12分） ………………12分 18 （本题满分12分） ………………12分 19. （本题满分12分） ………………8分 ………………12分 20. （本题满分12分） ………………6分 ………………12分 [来源:学§科§网] 21. （本题满分12分） (1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)． 当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． 当a>0时，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< . 所以函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为. …………….4分 (2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点 则a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a2＋4a－4a ln <0. 因为a>0，所以a＋4ln－4>0.令h(a)＝a＋4ln－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数， 且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0. 当a>a0时，h(a)>0；当0<a<a0时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a＝3 ………8分 (3)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0. 不妨设0<x1<x2，则－(a－2)x1－alnx1＝c，－(a－2)x2－alnx2＝c. 两式相减得－(a－2)x1－alnx1－＋(a－2)·x2＋alnx2＝0， 即＋2x1－－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)． 所以a＝.因为f′＝0， 当x∈时，f′(x)<0， 当x∈时，f′(x)>0， 故只要证> 即可，即证明x1＋x2> ， 即证明－＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)< ＋2x1－－2x2， 即证明ln <.设t＝ (0<t<1)． 令g(t)＝lnt－，则g′(t)＝. 因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数． 又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立．所以原题得证 ………………12分 22.(本小题满分10分) 解：　(1)由得直线l的普通方程为--------2分 又由得圆C的直角坐标方程为 即. ---------5分 (2) 把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得 ，即 由于，故可设是上述方程的两实数根， 所以又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为 所以. ------10分 23．解： （1） ………..4分 则当时，为常函数. ………..5分 （2）由柯西不等式得: 所以 因此M的最大值为3. ------10分 附加．(1) ；(2)①；②． 【解析】 试题分析：(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线的方程，由此可求得椭圆的方程；(2) ①直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；②将①中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围． 试题解析：(1)过作圆的切线，一条切线为直线，切点. 设另一条切线为，即. 因为直线与圆相切，则，解得，所以切线方程为. 由，解得，直线的方程为,即. 令，则所以上顶点的坐标为，所以；令，则， 所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆的方程为. (2) ①若直线 斜率均存在，设直线, 则中点 . 先考虑 的情形. 由得. 由直线过点 ，可知判别式恒成立. 由韦达定理，得，故， 将上式中的换成，则同理可得. 若，得，则直线斜率不存在. 此时直线过点.[来源:学科网] 下证动直线过定点. ② 当直线的斜率均存在且不为时， 由①可知，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得 , 所以 . 同理，， ， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以，由四点构成的四边形面积的取值范围为. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系． 21．(1)；(2) ；(3)． 试题解析： (1)时，, ; ①当时，，在上为增函数，此时， ②当时，，在上为增函数， 故在上为增函数，此时…………………………………2分 ③当时，，在上为增函数，在上为减函数， 若，即时，故在上为增函数，在上为减函数， 此时………………………………5分 若，即时，在上为增函数，则此时， 综上所述： ………………………………6分， （2），， 在上单调递减，在上单调递增，……………7分 在上恰有两个相异实根， ， 实数的取值范围是，…………………………………10分 （3）由题设：,，（*） ，故在上单调递减，在上单调递增， （*）， 设，则， 在上单调递增，在上单调递减，…………………………12分[来源:学。科。网] 而， 且， 故存在，使， 且时，，时，，[来源:学科网ZXXK] 又，，[来源:Z#xx#k.Com] 时，使的图像恒在图像的上方的最大整数………………14分． 3．（1）;（2）;(3) 不具有线性相关关系 试题分析：（1）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在该场比赛中 超过的概率。（2）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在两场比赛中 超过的概率。（3）根据散点图，并不是分布在某一条直线的周围，可得结论。 （1）设易建联在比赛中超过为事件 ，则共有场比赛中超过，故 （2）设“易建联在这两场比赛中至少有一场超过”为事件，则从上述场中随机选择两场共有个基本事件，其中任意选择两场中，两场中都不超过的共有个基本事件，故 （3）不具有线性相关关系. 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛.