【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试理数试题.doc

2017—2018学年度第一学期高三十模考试 数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知中，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 4.设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（ ） A． B． C． D． 5.函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 7.已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ） A． B． C． D． 9.如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 11.已知函数，其中为函数的导数，求（ ） A． B． C． D． 12.已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程： ①；②；③；④. 其中直线的“绝对曲线”的条数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.已知实数，满足，且，则实数的取值范围 ． 14.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为 ． 15.若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是 ． 16.观察下列各式： ； ； ； ； …… 若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 17.已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下： （1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数. （2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论） 19.如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与平行的平面交于. （1）试判定点的位置，并加以证明； （2）求二面角的余弦值. 20.在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①；②；③. （1）求顶点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，的中点分别为，. ①求四边形的面积的最小值； ②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数. （1）当，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）已知，，均为正实数，且，求证. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程； （2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知. （1）当时，解不等式. （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 十模数学答案（理） 一、选择题 1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）由题意可得，即. 又因为，所以.所以. （2）因为，所以. 因为存在，使得成立，所以存在，使得成立， 即存在，使得成立. 又，（当且仅当时取等号）， 所以.即实数的取值范围是. 18.解：（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人. ∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人. （2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，. 由题意可得； ； ； ； . 所以随机变量的分布列为 ∴均值. （3）由折线图可得. 19.解：（1）为的中点，证明如下： 连接，因为平面，平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点. （2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面，以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 易知，，，，，， 则，. 显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量， 则，即，取， 则， 所以， 所以二面角的余弦值为. 20.（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点. 试题解析：（1）∵， ∴由①知， ∴为的重心. 设，则，由②知是的外心， ∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：. （2）解：恰为的右焦点， ①当直线，的斜率存且不为时，设直线的方程为， 由， 设，，则，， ①根据焦半径公式得， 又， 所以，同理， 则， 当，即时取等号. ②根据中点坐标公式得，同理可求得， 则直线的斜率为， ∴直线的方程为， 整理化简得， 令，解得. ∴直线恒过定点. ②当直线，有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为，直线即为轴，过点. 综上，的最小值的，直线恒过定点. 21.（1）当时，则， 则， ∴函数的图象在时的切线方程为. （2）∵函数在上单调递增，∴在上无解， 当时，在上无解满足， 当时，只需，∴① ， ∵函数在上单调递增，∴在上恒成立， 即在上恒成立. 设， ∵，∴，则在上单调递增， ∴在上的值域为. ∴在上恒成立，则② 综合①②得实数的取值范围为. （3）由（2）知，当时，在上单调递增， 于是当时，， 当时，， ∴，即， 同理有，， 三式相加得. 22.解：（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为. 曲线：，∴，故的普通方程为. （2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为. 当时，有最小值，所以的最小值为. 23.解：（1）当时，等式，即， 等价于或或， 解得或， 所以原不等式的解集为； （2）设，则， 则在上是减函数，在上是增函数， ∴当时，取最小值且最小值为， ∴，解得，∴实数的取值范围为.