【全国百强校word】河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试理数试题.doc

2017-2018学年度上学期高三年级七调考试 数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，全集，若，则有（ ） A． B． C． D． 2.若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ） A．-2 B．4 C． D．-4 3.已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（ ） A． B． C． 或 D． 4.如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ） A．相关系数变大 B．残差平方和变大 C.相关指数变大 D．解释变量与预报变量的相关性变强 5.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C. D． 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ） A． B． C. D． 7.函数的图像大致为（ ） A． B． C. D． 8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（ ） A． 68 B．17 C.34 D．36 9.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C. D． 10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7 11.已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C. D． 12.已知，，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C. D． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图，在半径为2的扇形中，，为弧上的一点，若，则的值为 ． 14.若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为 ． 15.已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若，则； ②若，，，则满足条件的三角形共有两个； ③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形； ④若，，的面积，则. 16.设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18.如图，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，. （1）求证：. （2）若，，在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）. （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类工种每份保单保费的上限； （2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 20.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，且点在轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数，函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求证不等式成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，(为参数). （1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程； （2）设直线与曲线交于两点，求. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD 二、填空题 13. 14. 15. ①③ 16. 三、解答题 17.解：（1）当时，，所以； 当时，，则， 即.又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得，所以， ① ， ② ②①，得， 所以. 18.（1）证明：如图，连接，，，设交于点，连接. 由，，，得，所以. 又是线段的中点，所以，又根据菱形的性质得，且， 所以平面，从而. （2）解：由题意知平面，又，即，所以，，两两垂直. 以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，由，可知，， 所以，从而，，，. 所以.由，得，所以. 设平面的法向量为， 由，得， 令，则，，所以. 又平面的一个法向量为， 所以. 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 19.解：（1）设工种的每份保单保费为元，保险公司每单的收益为随机变量元，则的分布列为 保险公司的期望收益为（元）. 由题意得，解得(元). 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为（元）， 则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）. 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为（元）， 则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）. 综上，工种的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买类产品的份数为（份）， 购买类产品的份数为（份）， 购买类产品的份数为（份）， 企业支付的总保费为（元）， 保险公司在这宗交易中的期望利润为（元）. 20.解：（1）由题意知，椭圆离心率，即，又， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程为. 所以椭圆的焦点坐标为，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为. （2）设，则，， 因为点在双曲线上，所以. 设，，直线的方程为， 所以直线的方程为， 联立，得， 所以，， 所以. 同理可得. 由题知， 即. 因为， 即， 又因为，所以，所以，. 即存在满足题意的点，且点的坐标为. 21.（1）解：函数的定义域为， 因为，，所以. 当时，在区间内恒成立， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：在区间内恒成立， 即在区间内恒成立. 设，则， 在区间内单调递增，所以. 当时，，在区间内为增函数，所以恒成立； 当时，，因为在区间内单调递增，所以，在区间内，有，所以在区间内单调递减，所以，这时不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）证明：要证明在区间内，，只需证明， 由（2）知，当时，在区间内，有恒成立. 令，在区间内，， 所以函数在区间内单调递增，所以，即. 所以，所以原不等式成立. 22.解：（1）由，得， 令，，得. 因为，消去得， 所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为. （2）点的直角坐标为，点在直线上. 设直线的参数方程为，（为参数），代入，得. 设点对应的参数分别为，，则，， 所以. 23.解：（1），即，此不等式等价于或或，解得或，所以的解集为或. （2）因为，，使得成立， 所以.又，所以. 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，解得或， 所以或.综上，实数的取值范围为.