【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期五调（12月）理数试题.doc

数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2.已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ） A． B． C． D． 3.如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D．与的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据： 经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ） A．45 B．50 C.55 D．60 5.已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于.以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ） A． B． C. D． 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B．35 C. D． 7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ） （参考数据：,,） A．12 B．24 C. 36 D．4 8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ） A． B． C. D． 9.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ） A． B． C. D． 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（ ） A． B． C. D．3 11.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C. D． 12.已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于________. 14.已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________. 15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________. 16.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是___________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项. （1）求数列,的通项公式； （2）求数列的前项和. 18.（本小题满分12分） 某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果： （1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？ 下面临界值表供参考： 参考公式：，其中. 19.（本小题满分12分） 已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，. （1）若分别为，的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分） 已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围. 21.（本小题满分12分） 已知函数，且曲线与轴切于原点. （1）求实数的值； （2）若恒成立，求的值. 请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）. （1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标. 23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲 已知实数，函数的最大值为3. （1）求的值； （2）设函数，若对于均有，求的取值范围. 2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案 一、选择题 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17.解：（1）， ， ，即， 又， 数列为以为首项，公比为的等比数列，…………2分 ， ，整理得，得，…………4分 .………………6分 （2）， …………① …………②…………8分 ① —②得 …………10分 整理得：………………12分 18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件由，得，频数为…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 …………8分 的观测值. 所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取的中点， 连接，在中，为中位线， 平面平面，平面， 同理可得平面，…………2分 又，所以平面平面， 平面，平面.…………4分 （2）连接，在中， ， 所以由余弦定理得是等腰直角三角形，， 又因为平面平面，平面平面平面，平面，，…………7分 又因为侧面，为正方形，，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ，………………8分 设平面的一个法向量为，则，即，令，则 ， 故为平面的一个法向量， 所以， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆的右焦点，…………1分 在椭圆上，，…………2分 由得，所以椭圆的方程为.…………4分 （Ⅱ）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，…………5分 当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，所以，…………7分 则，………………8分 又圆心到的距离得，…………9分 又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，………………10分 所以面积 ，…………11分 令，则， 综上，面积的取值范围为.…………12分 21.解：（1） ，…………1分 ，又.………………4分 （2）不等式， 整理得， 即或，…………6分 令. 当时，；当时，， 在单调递减，在单调递增，， 即，所以在上单调递增，而； 故. 当或时，；同理可得，当时，. 当恒成立可得，当或时，， 当时，，故和是方程的两根， 从而.…………12分 22.解:（1）由，得，代入， 得直线的普通方程. 由，得.…………5分 （2）的直角坐标方程为. 设，则. 当，即或时，上式取最小值. 即当或时，的最小值为.…………10分 23.解：（Ⅰ），…………2分 所以的最大值为， .………………4分 （Ⅱ）当时，，…………6分 对于，使得等价于，成立， 的对称轴为， 在为减函数， 的最大值为，…………8分 ，即，解得或， 又因为，所以.………………10分