2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（六）（解析版）(1).docx

公众号：卷洞洞 2020年高考金榜冲刺卷（六） 数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则的子集共有（ ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】因为，共有两个元素，所以的子集共有个，故选B． 2．若，均为实数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，因此，则.故选C. 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，所以. 故选D. 4．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，得， 而. 故选B. 5．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据几何体的三视图可知，原几何体表示左边一个底面边长为的等腰直角三角形，侧棱长为的直三棱柱，右边是一个底面半径为，母线长为的半圆柱，所以该几何体的体积为，故选D． 6．一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题对于给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足．则可得到，所以在上都成立，即，所以函数图象都在的下方．故选A． 7．设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ） A．定值 B．定值 C．定值 D．不确定，随点位置变化而变化 【答案】A 【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，∵是∠F1PF2的角分线．TF1是的垂线， ∴是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，∵P为双曲线1上一点， ∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，∴|OQ|＝a．故选A． 8．如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， ，， 所以，所以.因为， 所以.故选D. 9．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，要得到一个满足题意的三位“凸数”，在，2，3，的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有种取法，在，2，3，的4个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的2个数字，分别放在百、个位上，有种情况，则这个三位数是“凸数”的概率是.故选B． 10．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A. 11．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,交圆于,两点,其中, 位于第一象限,则的值不可能为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】作图如下：可以作出下图， 由图可得，可设，，则，， ，，根据抛物线的常用结论，有， ，则， 又， 得，，则的值不可能为3，答案选A. 12．已知函数，若曲线上始终存在两点，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设曲线上存在两点满足题意，则点只能在轴两侧， 是以为直角顶点的直角三角形，，不妨设， 斜边的中点在轴上，且，， ，① 曲线上始终存在两点使得,等价于方程①有解, (1)当，即两点都在上 ,， 代入方程①，得， ， 而此方程无实数解,不符合题意, （2）当时，在上，在上， ，代入①得，因为为正数可化为，设，， ，递减，， 时，，递减，时，，递增， ，即结合为正数，可得，的范围是，故选C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设，，，若是的充分不必要条件，则的值可以是____________．（只需填写一个满足条件的即可） 【答案】 （的任意数均可） 【解析】由得0<x<1,所以q：0<x<1，又，，若是的充分不必要条件，则 ，所以0<m<1,满足题意的m= （的任意数均可）.故答案为： （的任意数均可） 14．____________． 【答案】 【解析】. 表示圆的上半部分，则. 所以,故答案为：. 15．已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 作出不等式组对应的平面区域，如图所示， 若，则目标函数，即为此时函数在时取得最大值，不满足条件， 当，由，得， 若，目标函数斜率，此时平移，得在点 处的截距最大，此时取得最大值，不满足条件，若，目标函数斜率，要使得目标函数仅在点处取得最小值，则，即， 所以实数的取值范围是. 16．如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为____________． 【答案】 【解析】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且． ∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面． 又平面，∴．∵，，∴平面． 在中，作于，则平面． 又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离． 在中，，设，则， ∴．由可得， ∴，当时等号成立，此时平面， 综上可得点到平面距离的最大值为．故答案为． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列的前项和为，且（），.数列为等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【解析】（1）由已知得：，数列是以2为公差的等差数列. ，，， . 设等比数列的公比为，，，， . （2）由题意，得， ， . 上述两式相减，得 , . 18．（12分）如图，在多面体中，四边形为直角梯形， ， ， ， ，四边形为矩形. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明. 【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得，， 又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且.因为四边形为矩形，所以. 由，，，可得 . 又，所以平面 平面. （2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点. 事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则,，设,由， 即，得.设平面的一个法向量为，则，即， 不妨设，取.平面的一个法向量为. 二面角为大小为,于是. 解得 或（舍去）. 所以当点为线段的中点时，二面角为大小为. 19．（12分）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒，则在另外一组中逐个进行化验. （1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率. （2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 【解析】（1）方案乙所需化验恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为,第二种,先化验一组，结果含病毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为. 所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为. （2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为元,则 ，， ，， . 则其化验费用的分布列为 所以（元）. 所以甲方案平均需要化验费元. 20．（12分）椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围. 【解析】（1）不妨取第一象限的交点为.由椭圆将圆的圆周分为四等份，知. 所以.因为点在椭圆上，所以.① 因为，所以.② ①②联立，解得，.所以椭圆的方程为. （2）设，，则两式相减，得. 又因的中点为，所以，. 所以直线的斜率. 当时，直线的方程，直线即轴，此时. 当时，直线的斜率.所以直线的方程为，即. 令，则.因为点在椭圆内部，所以. 所以，所以. 综上所述，的取值范围为. 21．（12分）已知函数，，. （1）当时，讨论函数的零点个数． （2）的最小值为，求的最小值． 【解析】（1）的定义域为，. ①当时，，单调递增，又，， 所以函数有唯一零点； ②当时，恒成立，所以函数无零点； ③当时，令，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以.当时，，所以函数无零点. 综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点. （2）由题意得，，则，令，则， 所以在上为增函数，即在上为增函数. 又，，所以在上存在唯一零点， 且，，即. 当时，，在上为减函数，当时，， 在上为增函数，的最小值. 因为，所以，所以. 由得，易知在上为增函数. 因为，所以，，所以在 上存在唯一零点，且，，当时， ，在上为减函数，当时，，在 上为增函数，所以的最小值为， 因为，所以，所以， 又，所以， 又函数在上为增函数，所以， 因为，所以，即在上的最小值为0. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程; （2）若直线、的极坐标方程分别为，，设直线、与曲线的交点分别为、（除极点外），求的面积. 【解析】（1）由参数方程，得， ， 即，化为极坐标方程得，即. （2）设点、的极坐标分别为、，则，，且， 所以，的面积为. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知，． （1）求的取值范围； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由不等式得，， ∴，∴的取值范围是． （2）同理，．若不等式对一切实数恒成立，则，解集为． 公众号：卷洞洞