2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（七）（解析版）.docx

公众号：卷洞洞 2020年高考金榜冲刺卷（七） 数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列格式的运算结果为实数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A,对B,对C, 对D,.故选D. 2．设集合，，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，∴，只有C正确. 3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（ ） A．4 B．－4 C．－ D． 【答案】C 【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C. 4．已知等比数列的前项和的乘积记为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，由得，故，即. 又，所以，故，所以.故选C. 5．已知函数，则（ ） A．在（0，2）单调递增 B．的图像关于直线对称 C．在（0，2）单调递减 D．的图像关于点（1，0）对称 【答案】B 【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故B正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，C错误，故选B． 6．设为区间内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知，当x∈[﹣2，0]时，y＝2x∈[，1]；当x∈（0，2]时，y＝2x+1∈（1，5]；所以当y∈[，3]时，x∈[﹣1，1]，其区间长度为2，所求的概率为P．故选C． 7．设实数，满足，则的最大值为（ ） A．14 B． C． D． 【答案】D 【解析】由约束条件作出可行域如下： 由图像可得，则， 当且仅当，时，取等号；经检验，在可行域内，所以的最大值为.故选D. 8．教育装备中心新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案的种数为（ ） A．35 B．30 C．25 D．20 【答案】A 【解析】即剩下3台分给5个学校，有三种分法，一是都给一个学校，有5种分法；二是分给两个学校，一个2台另一个1台，有种，三是分给三个学校，每校一台，有种，共种.故选A. 9．已知函数满足，，且在区间上单调，则符合条件的的值的个数为（ ） A．7 B．9 C． D．14 【答案】B 【解析】由题意知函数的周期，由，，结合正弦函数图像的特征可知，，故，，；又因为在区间上单调，所以，故，所以，即，∴，，∴符合条件的的值有9个.故选B. 10．设数列满足：，其中表示不超过实数的最大整数，为前项和，则的个位数字是（ ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】B 【解析】 即从第二项开始，每项的个位数均为1，故的个数数字相加之和: ，个位数字是5,故选B. 11．如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则当四边形面积最大时，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，设，则，由切线的性质知，所以，故四边形面积最大时，即最大，且.易知当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如图所示， 此时，，，所以， .故选A. 12．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， ∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小， ∴,设正方体的棱长为，则， ∴．取，连接，则共面，在中，设到的距离为， 设到平面的距离为， .故选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】因为向量与向量方向相反，所以可设， ，，，故答案为. 14．函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】设，则，因为偶函数，有，. ，，切线为过点，斜率为的直线，故方程为，即.故答案为. 15．已知的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含的项的系数是__________． 【答案】23 【解析】已知的展开式的所有项系数之和为27,将x=1代入表达式得到展开式中含的项的系数是 故答案为23. 16．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数中 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为，所以函数为单调递增的函数， 又因为为“倍胀函数”，所以由题可得：. 即是方程：的两个根，即函数有两个零点, ，令可得 , 易知当取最小值，所以, 令 此时 ，即 ，又因为, 所以 ，即 ，解得 ，所以，故答案为. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图中，为的中点，，，. （1）求边的长； （2）点在边上，若是的角平分线，求的面积. 【解析】（1）因为在边上，所以， 在和中由余弦定理，得， 因为，，，， 所以，所以，. 所以边的长为10. （2）由（1）知为直角三角形，所以，. 因为是的角平分线， 所以. 所以，所以. 即的面积为. 18．（12分）三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设， 分别为线段， 的中点， 为线段上的点，且. （1）证明： 为线段的中点； （2）求二面角的余弦值. 【解析】取BD的中点O，建坐标系如图所示，则， ，设（1）证明：设，则， .因为 ，所以点P是BC的中点. （2）易平面PMN的法向量为.，设平面ABC的法向量为，则 ，所以. 19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了如图所示的散点图． （1）根据散点图判断，在推广期内，与均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表l中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； （3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表所示： 支付方式 现金 乘车卡 扫码 比例 已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用． 参考数据： 66 1.54 2.711 50.12 3.47 其中，. 【解析】（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型； （2）由（1）知回归方程为，两边同时取常用对数得：， 设，，又，，， ，把样本中心点代入， 即，解得：，，， 关于x的回归方程式为：， 把代入上式得，， 活动推出第8天使用扫码支付的人次为347人次； （3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4， 则；； ；. 分布列为： Z 2 1.8 1.6 1.4 P 0.1 0.15 0.7 0.05 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）． 20．（12分）已知抛物线：，圆：. （1）若过抛物线的焦点的直线与圆相切，求直线方程； （2）在（1）的条件下，若直线交抛物线于，两点，轴上是否存在点使（为坐标原点）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题知抛物线的焦点为，当直线的斜率不存在时，过点的直线不可能与圆相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在， 设直线斜率为，则所求的直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 当直线与圆相切时，有， 所以所求的切线方程为或. （2）由（1）知，不妨设直线：，交抛物线于，两点， 联立方程组，所以，， 假设存在点使，则.而，， 所以 ， 即，故存在点符合条件.当直线：时， 由对称性易知点也符合条件.综合可知在（1）的条件下，存在点使. 21．（12分）已知函数. （1）若在上存在极小值，求的取值范围； （2）设（为的导函数），的最小值为，且，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为..令，解得. 因为在上，；在上，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的极小值为.依题意知，即，所以. 解得.即的取值范围为. （2），所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以是即的唯一实根.令，得，即. 所以. 由题意得，解得.所以的取值范围为. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于对称． （1）求极坐标方程，直角坐标方程； （2）将向左平移4个单位长度，按照变换得到与两坐标轴交于两点，为上任一点，求的面积的最大值. 【解析】（1）：（t为参数），消去，得. 又，代入得：. ∴ . ：化为：，又关于：对称， ∴，∴，∴：. （2）向左平移4个单位长度得：，按变换后得：.∴：，∴令，，∴. 易得：：，设到的距离为. 则 . 当时，有最大值. ∴ . 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数. （1）求不等式的解集； （2）证明：. 【解析】（1）∵，∴，即， 当时，显然不合；当时，，解得； 当时，，解得.综上，不等式的解集为. （2）证明：当时，； 当时，，则； 当时，，则. ∵，∴.∵，∴. 故. 公众号：卷洞洞