2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）.rar
第 1 页 共 21 页2020 届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、单选题一、单选题1已知集合已知集合 A0，1，B0，1，2，则满足，则满足 A CB 的集合的集合 C 的个数为（）的个数为（）A4B3C2D1【答案】【答案】A【解析】【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由ACB可知集合C中一定有元素 2，所以符合要求的集合C有 2,2,0,2,1,2,0,1，共 4 种情况，所以选 A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.2已知已知i为虚数单位，复数为虚数单位，复数9321izii，则，则z（）A23 5B2022C5D25【答案】【答案】C【解析】【解析】对z进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到z【详解】对复数z进行化简93193223412iiiziiii所以22345z【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.3已知平面向量已知平面向量,a b 的夹角为的夹角为3，且，且1a，2b，则，则2ab与与b的夹角是（的夹角是（）A56B23C3D6【答案】【答案】D【解析】【解析】先计算22 3ab，再计算26abb，根据夹角公式得到答案.第 2 页 共 21 页【详解】设2ab与b的夹角是，由题设有22244cos2 33abaabb22222cos63abba bbabb 所以263cos22 322abbab b，所以6故选：D【点睛】本小题考查平面向量的基本运算，向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力，应用意识,本小题也可利用向量的几何意义求解4空气质量指数空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：指数与空气质量对应如下表所示：AQI05051100101150151200201300300 以上以上空气质量空气质量优优良良轻度污染轻度污染中度污染中度污染重度污染重度污染严重污染严重污染如图是某城市如图是某城市 2018 年年 12 月全月的指月全月的指AQI数变化统计图数变化统计图根据统计图判断，下列结论正确的是（根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C从从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】【答案】C第 3 页 共 21 页【解析】【解析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故 A，B 不正确；从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以 C 正确；从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故 D 不正确故选 C【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.5622xx的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为A60B15C15D60【答案】【答案】D【解析】【解析】写出二项式展开通项，整理后令x的指数为 0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】622xx的展开式的通项为66 3166222rrrrrrrTC xC xx，令630r，得到2r=所以622xx展开式中常数项为226260C，故选 D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.6若数列若数列 na的前的前n项和为项和为nS，且，且212211,2,111nnnaaSSS，则，则nS（）A12n nB12nC21nD121n【答案】【答案】C第 4 页 共 21 页【解析】【解析】对已知221111nnnSSS，进行化简，令1nnbS，可得221nnnbbb，即 nb为等比数列，利用121,2aa可计算出nb的首项和公比，从而可求得nb的通项，得到nS的通项.【详解】221111nnnSSS，令1nnbS221nnnbbb，可得 nb为等比数列，设其公比为q1112212112,114bSabSaa 212bqb，1112 22nnnnbb q121nnnSb，故选 C 项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题.7已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，若上的奇函数，若 x1，x2 R，则，则“x1+x20”是是“f（x1）+f（x2）0”的（）的（）A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【答案】【答案】A【解析】【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，第 5 页 共 21 页故“”是“”的充分不必要条件，所以 A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，且，则已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，且，则()A3BC0D【答案】【答案】D【解析】【解析】根据条件求出 A，和 的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可【详解】由条件知函数的周期满足 T2（）224，即4，则，由五点对应法得+0，即0，得，则 f（x）Asin（x），则 f（0）Asin（）A，得 A3，即 f（x）3sin（x），在（）内的对称轴为 x，若（），且，则关于 x对称，则2，则f（）3sin（）3sin3sin，第 6 页 共 21 页故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键9若直线若直线 xmy+m0 与圆（与圆（x1）2+y21 相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则 m 的取值范围是（）的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（1，0）D（2，0）【答案】【答案】D【解析】【解析】圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y，令其小于 0，可得答案.【详解】圆与直线联立22110 xyxmym，整理得22212120mym mymm图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即 22224142180mmmmmm 得0m.圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201mmy ym，解得20m，故选 D 项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题.10在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，四面体中，四面体ABCD各顶点坐标分别为各顶点坐标分别为2,2,1,2,2,1AB，0,2,1,0,0,1CD，则该四面体外接球的表面积是（，则该四面体外接球的表面积是（）A16B12C4 3D6第 7 页 共 21 页【答案】【答案】B【解析】【解析】在空间坐标系里画出,A B C D四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积.【详解】如图，在空间坐标系里画出,A B C D四个点，可得BAAC,DC 面ABC,因此可以把四面体DABC补成一个长方体，其外接球的半径22222232R所以，外接球的表面积为2412R，故选 B 项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.11 设 设P是抛物线是抛物线2:4C yx上的动点，上的动点，Q是是C的准线上的动点，直线的准线上的动点，直线l过过Q且与且与OQ（O为坐标原点）垂直，则为坐标原点）垂直，则P到到l的距离的最小值的取值范围是（）的距离的最小值的取值范围是（）A01（，）B01（，C01，D0 2（，【答案】【答案】A【解析】【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q的坐标为 10tt，得到直线l的方程，再设与直线l平行的直线方程为0 xtym，与抛物线方程联立，由判别式为 0，得到2mt，最后由点到直线的距离，即可得出结果.【详解】抛物线24yx上的准线方程是1x 设点Q的坐标为 10tt，则直线l的方程为210 xtyt 设与直线l平行的直线方程为0 xtym 代入抛物线方程可得2440ytym，第 8 页 共 21 页由216160tmn，可得2mt故与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为20 x tyt 则P到l的距离的最小值21011dt，故选 A【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12已知函数已知函数 ln122f xxaxa若不等式若不等式 0f x 的解集中整数的个数为的解集中整数的个数为 3，则，则 a 的取值范围是（的取值范围是（）A1 ln3,0B1 ln3,2ln2C1 ln3,1 ln2D0,1 ln2【答案】【答案】C【解析】【解析】变换得到不等式2ln2axaxx，设 ln2g xxx，2h xaxa，判断 g x的单调性和 h x恒过点2,0，画出函数图像，解得答案.【详解】由 0f x 得2ln2axaxx，设 ln2g xxx，2h xaxa由 11gxx，可知 g x在0,1上为减函数，在1,上为增函数，h x恒过点2,0画出 g x与 h x函数图象，如图所示：不等式 0f x 的解集中含有三个整数，则 11,33,44,hghghg即1,1 ln3,222ln2,aaa 解得1 ln31 ln2a 故选：C 第 9 页 共 21 页【点睛】本小题考查函数与导数等基本知识考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力二、填空题二、填空题13中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为里，则该男子的第三日走的里数为_【答案】【答案】120【解析】【解析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为 na，其公差为d，前n项和为nS.根据题意可知，91471260,390Saaa，法一：19955991260,1402aaSaa147443390,130aaaaa，5410daa，34120aad.第 10 页 共 21 页法二：91471260390Saaa，11119 891260236390adaadad解得110010ad所以312120aad【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.14根据下列算法语句，当输入根据下列算法语句，当输入 x，y R 时，输出时，输出 s 的最大值为的最大值为_【答案】【答案】2【解析】【解析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题.【详解】由算法语句可知0023yxyxy，求xy的最大值，并与 0 比较画出可行域如图，AOBV为可行域，所求目标函数zxy，整理得yxz ，为斜率为-1 的一簇平行线，在A点时得到最大值.解方程组023xyxy，解得11xy，A点坐标1,1，所以xy的最大值为 2.故答案为 2.15已知已知 f x是是R上的偶函数，且当上的偶函数，且当0 x 时，时，23f xxx，则不等式，则不等式22f x的解集为的解集为_第 11 页 共 21 页【答案】【答案】117717,01,34,22【解析】【解析】对 f x分类，找到 2f x 的解集，再求22f x的解集【详解】0 x 时，23f xxx，当03x时，23f xxx，解 2f x，即232xx得1x 或2x，01x 或23x当3x 时，23f xxx解 2f x 即232xx得31731722x31732x 当0 x 时，2f x 解集为01x或31722x f x是R上的偶函数，由对称性可知当0 x 时，2f x 解集为31722x 或10 x 2f x解集为31722x 或11x 或31722x22f x时，317222x 或121x 或317222x解得11702x或13x或71742x【点睛】本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.16设设 m，n 为平面为平面 外两条直线，其在平面外两条直线，其在平面 内的射影分别是两条直线内的射影分别是两条直线 m1和和 n1，给出下列，给出下列 4 个命题：个命题：m1 n1m n；m nm1与与 n1平行或重合；平行或重合；m1 n1m n；m nm1 n1其中所有假命题的序号是其中所有假命题的序号是_第 12 页 共 21 页【答案】【答案】【解析】【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断，得出结果.【详解】两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故错误，若m nP，则1m与1n平行或重合或是两个点，故错误因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线所成的角可以是锐角，故错误两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个点等其他情况，故错误故假命题是，故答案为【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线线位置关系即可，属于常考题型.三、解答题三、解答题17在在ABC中，角中，角,A B C的对边分别为的对边分别为,a b c，若，若sin,sin,sinABC成等差数列，且成等差数列，且1cos3C.1求求ba的值；的值；2若若11c，求，求ABC的面积的面积.【答案】【答案】（1）109ba；（2）30 2.S【解析】【解析】【详解】1因为sin,sin,sinABC成等差数列，所以2sinsinsin,BAC由正弦定理得2,bac即2.cba又因为1cos,3C 根据余弦定理有：222222231cos2,2223abbaabcbCababa所以10.9ba 2因为111,cos,3cC根据余弦定理有：2212121,3abab第 13 页 共 21 页由 1知109ba，所以221001012 121,8193aaaa解得281a.由1cos3C 得2 2sin3C，所以ABCV的面积21552 2sinsin8130 2.2993SabCaC【点睛】本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属于简单题.18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在AB，实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图 记综合评分为株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图 记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗及以上的花苗为优质花苗（1）求图中）求图中a的值，并求综合评分的中位数的值，并求综合评分的中位数（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在）用样本估计总体，以频率作为概率，若在AB，两块试验地随机抽取两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关的把握认为优质花苗与培育方法有关优质花苗优质花苗非优质花苗非优质花苗合计合计甲培育法甲培育法20乙培育法乙培育法10合计合计附：下面的临界值表仅供参考附：下面的临界值表仅供参考 20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：（参考公式：22n adbcKabcdacbd，其中，其中nabcd ）第 14 页 共 21 页【答案】【答案】（1）0.040a，中位数82.5；（2）见解析；（3）有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关【解析】【解析】（1）根据频率之和为 1，可得0.0050.0100.0250.02010 1a，即可求出a；设y为评分的中位数，根据题中数据可得0.4800.04 0.5y，进而可求出结果；（2）先由题意确定优质花苗数的可能取值，求出对应概率，即可得到分布列与期望；（3）由题中数据计算出2K，对照临界值表，即可得出结论.【详解】（1）因为0.0050.0100.0250.02010 1a，解得0.040a，设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知8090y，所以0.4800.04 0.5y，则82.5y；（2）由（1）知，树高为优秀的概率为：0.40.2 0.6，记优质花苗数为，由题意知的所有可能取值为012 3，3030C0.40.064P，2131C0.40.60.288P，2232C0.60.40.432P，2333C0.60.216P，所以的分布列为：0123P0.0640.2880.4320.216第 15 页 共 21 页所以数学期望 E 3 0.6 1.8为；（3）填写列联表如下，优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100计算2210020 1040 3016.6672.70660 40 50 50K，所以有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关【点睛】本题主要考查频率分布直方图、二项分布以及独立性检验等问题，熟记由频率分布直方图求中位数的方法、二项分布的分布列和期望，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.19 如图，在边长为 如图，在边长为 4 的正方形的正方形ABCD中，点中，点E,F分别是分别是AB,BC的中点，点的中点，点M在在AD上，且上，且14AMAD，将，将AED,DCFVV分别沿分别沿DE,DF折叠，使折叠，使A,C点重合于点点重合于点P，如图所示，如图所示2.1试判断试判断PB与平面与平面MEF的位置关系，并给出证明；的位置关系，并给出证明；2求二面角求二面角MEFD的余弦值的余弦值.第 16 页 共 21 页【答案】【答案】（1）见解析；（2）6.3【解析】【解析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；（2）连接BD交EF与点N，先由题中条件得到MND为二面角MEF D的平面角，再解三角形即可得出结果.【详解】（1）PB P平面MEF证明如下：在图 1 中，连接BD，交EF于N，交AC于O，则1124BNBOBD，在图 2 中，连接BD交EF于N，连接MN，在DPBn中，有14BNBD，14PMPD，MNPBPPB 平面MEF，MN 平面MEF，故PB P平面MEF；（2）连接BD交EF与点N，图 2 中的三角形PDE与三角形 PDF 分别是图 1 中的RtADEn与RtCDFn，PDPEPDPF，又PEPEP，PD平面PEF，则PDEF，又EFBD，EF平面PBD，则MND为二面角MEF D的平面角可知PMPN，则在RtMNDn中，12PMPN，则22PMPN3MN 在MNDn中，33 2MDDN ，由余弦定理，得222623MNDNMDcos MNDMN DN二面角MEF D的余弦值为63【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及第 17 页 共 21 页二面角的概念即可，属于常考题型.20已知椭圆已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点为的右焦点为2,0F，过点，过点F且垂直于且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.1求椭圆求椭圆C的方程；的方程；2过椭圆内一点过椭圆内一点0,Pt，斜率为，斜率为k的直线的直线l交椭圆于交椭圆于,M N两点，设直线两点，设直线,OM PN（O为坐标原点）的斜率分别为为坐标原点）的斜率分别为12,k k，若对任意，若对任意k，存在实数，存在实数，使得，使得12kkk，求实数，求实数的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）22142xy；（2）2,.【解析】【解析】（1）根据焦点和通径列出,a b c关系，求出椭圆方程.（2）直曲联立，得到1212,xx xx，再将12kk用12,x x表示，得到与t的关系，由t的范围，得到的范围.【详解】1由题意得2222222cbaabc，解得22ab.所以椭圆C的方程为：221,42xy 2设直线l的方程为,ykxt由221,42,xyykxt消元可得222214240.kxktxt设1122,M x yN xy，则2121222424,.2121kttxxx xkk而12121212221211242,2t xxyykxtkxtkkkkxxxxx xt由12,kkk得24.2kkt因为此等式对任意的k都成立，所以242t，即242.t第 18 页 共 21 页由题意，点0,Pt在椭圆内，故24022t，解得2.所以的取值范围是2,.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直曲联立构造等量关系.对计算能力要求较高，有一定的难度，属于中档题.21已知函数已知函数 f（x）ex12（xa）2+4（1）若）若 f（x）在（）在（，+）上单调递增，求）上单调递增，求 a 的取值范围；的取值范围；（2）若）若 x0，不等式，不等式 f（x）0 恒成立，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围【答案】【答案】（1）1,；（2）ln44,10【解析】【解析】（1）对 f x在,上单调递增，转化为 0fx恒成立，参变分离，求出a的范围；（2）通过求导得到 f x的最值，而 fx的正负需要进行分类，通过分类讨论，1,0afx 恒成立，min00f xf，得到a的范围，1a 时，可得到 0minf xf x，虽然0 x解不出来，但可以通过00fx进行代换，得到0 x范围，再得到a的范围.最后两部分取并集，得到最终a的范围.【详解】1由题 xfxexa，由 0fx，得xaex.令 xg xex，则 1xgxe，令 0gx，得0 x.若0 x，0gx；若0 x，则 0gx.则当0 x 时，g x单调递增；当0 x 时，g x单调递减.所以当0 x 时，g x取得极大值，也即为最大值，即为 max01g xg.所以0a，即a的取值范围是.1,2由 2142xf xexa，得 xfxexa，令 xh xexa，则 10 xh xe.所以 h x在0,上单调递增，且 01ha.第 19 页 共 21 页当1a 时，0fx，函数 f x单调递增.由于 0f x 恒成立，则有 210502fa.即1010a.所以110a 满足条件.当1a 时，则存在00,x，使得00h x，当00 xx时，0h x，则 0,fxf x单调递减；当0 xx时，则 0h x，0,fxf x单调递增.所以 0200min1402xf xf xexa，又0 x满足0000 xh xexa，即00 xxae所以0021402xxee，则002280 xxee即00420 xxee，得00ln4x又00 xaxe.令 xuxxe，则 1xuxe，可知，当0ln4x时，0ux，则 u x单调递减.所以 ln44xu xxe，此时ln441a 满足条件.综上所述，a的取值范围是ln44,10.【点睛】利用导数求函数的单调区间、极值，参变分离、等量代换的方法，分类讨论的思想，对思维要求较高，难度较大，属于难题.22 在直角坐标系 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的极坐标方程为的极坐标方程为4cos（1）求）求M的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）将圆）将圆M平移使其圆心为平移使其圆心为102N，设，设P是圆是圆N上的动点，点上的动点，点A与与N关于原点关于原点O对称，线段对称，线段PA的垂直平分线与的垂直平分线与PN相交于点相交于点Q，求，求Q的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程【答案】【答案】（1）2224xy；（2）32xcosysin（为参数）【解析】【解析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得出结果；第 20 页 共 21 页（2）先由题意得到 A 点坐标为102，以及圆N的半径2r，根据题意得到1rNPNQPQQNQANA，进而可得出结果.【详解】（1）将方程4cos两端同乘以，得：24 cos，故224xyx,所以可得M的直角坐标方程为：2224xy，（2）依题意 A 点坐标为102，且圆的半径2rQ在线段PA的垂直平分线上，PQAQ，1rNPNQPQQNQANA，根据椭圆的定义，Q的轨迹为，以NA，为焦点，以 2 为长轴长的椭圆即112ac，32b，Q的参数方程为：32xcosysin（为参数）【点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化、以及曲线的参数方程，熟记极坐标与直角坐标的互化公式、以及曲线的参数方程即可，属于常考题型.23设设 a0，b0，且，且 a+bab（1）若不等式）若不等式|x|+|x2|a+b 恒成立，求实数恒成立，求实数 x 的取值范围的取值范围（2）是否存在实数）是否存在实数 a，b，使得，使得 4a+b8？并说明理由？并说明理由【答案】【答案】（1）1,3；（2）见解析第 21 页 共 21 页【解析】【解析】（1）先求a b的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x的取值范围.（2）求出4ab的最小值，然后进行判断【详解】1由abab，得111,ab 111 1224ababababa b，当且仅当2ab时成立.不等式2xxab即为24xx.当0 x 时，不等式为224x，此时10 x；当02x时，不等式24成立，此时02x；当2x 时，不等式为224x，此时23x；综上，实数x的取值范围是1,3.2由于0,0ab.则114445baabababab 4529baa b.当且仅当4,baababab，即3,32ab时，4ab取得最小值9.所以不存在实数,a b，使得48ab成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.
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第 1 页 共 21 页2020 届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题一、单选题一、单选题1已知集合已知集合 A0，1，B0，1，2，则满足，则满足 A CB 的集合的集合 C 的个数为（）的个数为（）A4B3C2D1【答案】【答案】A【解析】【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由ACB可知集合C中一定有元素 2，所以符合要求的集合C有 2,2,0,2,1,2,0,1，共 4 种情况，所以选 A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.2已知已知i为虚数单位，复数为虚数单位，复数9321izii，则，则z（）A23 5B2022C5D25【答案】【答案】C【解析】【解析】对z进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到z【详解】对复数z进行化简93193223412iiiziiii所以22345z【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.3已知平面向量已知平面向量,a b 的夹角为的夹角为3，且，且1a，2b，则，则2ab与与b的夹角是（的夹角是（）A56B23C3D6【答案】【答案】D【解析】【解析】先计算22 3ab，再计算26abb，根据夹角公式得到答案.第 2 页 共 21 页【详解】设2ab与b的夹角是，由题设有22244cos2 33abaabb22222cos63abba bbabb 所以263cos22 322abbab b，所以6故选：D【点睛】本小题考查平面向量的基本运算，向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力，应用意识,本小题也可利用向量的几何意义求解4空气质量指数空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：指数与空气质量对应如下表所示：AQI05051100101150151200201300300 以上以上空气质量空气质量优优良良轻度污染轻度污染中度污染中度污染重度污染重度污染严重污染严重污染如图是某城市如图是某城市 2018 年年 12 月全月的指月全月的指AQI数变化统计图数变化统计图根据统计图判断，下列结论正确的是（根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C从从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】【答案】C第 3 页 共 21 页【解析】【解析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故 A，B 不正确；从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以 C 正确；从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故 D 不正确故选 C【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.5622xx的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为A60B15C15D60【答案】【答案】D【解析】【解析】写出二项式展开通项，整理后令x的指数为 0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】622xx的展开式的通项为66 3166222rrrrrrrTC xC xx，令630r，得到2r=所以622xx展开式中常数项为226260C，故选 D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.6若数列若数列 na的前的前n项和为项和为nS，且，且212211,2,111nnnaaSSS，则，则nS（）A12n nB12nC21nD121n【答案】【答案】C第 4 页 共 21 页【解析】【解析】对已知221111nnnSSS，进行化简，令1nnbS，可得221nnnbbb，即 nb为等比数列，利用121,2aa可计算出nb的首项和公比，从而可求得nb的通项，得到nS的通项.【详解】221111nnnSSS，令1nnbS221nnnbbb，可得 nb为等比数列，设其公比为q1112212112,114bSabSaa 212bqb，1112 22nnnnbb q121nnnSb，故选 C 项.【点睛】本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题.7已知已知 f（x）是定义在）是定义在 R 上的奇函数，若上的奇函数，若 x1，x2 R，则，则“x1+x20”是是“f（x1）+f（x2）0”的（）的（）A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【答案】【答案】A【解析】【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，第 5 页 共 21 页故“”是“”的充分不必要条件，所以 A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，且，则已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，且，则()A3BC0D【答案】【答案】D【解析】【解析】根据条件求出 A，和 的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可【详解】由条件知函数的周期满足 T2（）224，即4，则，由五点对应法得+0，即0，得，则 f（x）Asin（x），则 f（0）Asin（）A，得 A3，即 f（x）3sin（x），在（）内的对称轴为 x，若（），且，则关于 x对称，则2，则f（）3sin（）3sin3sin，第 6 页 共 21 页故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键9若直线若直线 xmy+m0 与圆（与圆（x1）2+y21 相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则 m 的取值范围是（）的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（1，0）D（2，0）【答案】【答案】D【解析】【解析】圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y，令其小于 0，可得答案.【详解】圆与直线联立22110 xyxmym，整理得22212120mym mymm图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即 22224142180mmmmmm 得0m.圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201mmy ym，解得20m，故选 D 项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题.10在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，四面体中，四面体ABCD各顶点坐标分别为各顶点坐标分别为2,2,1,2,2,1AB，0,2,1,0,0,1CD，则该四面体外接球的表面积是（，则该四面体外接球的表面积是（）A16B12C4 3D6第 7 页 共 21 页【答案】【答案】B【解析】【解析】在空间坐标系里画出,A B C D四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积.【详解】如图，在空间坐标系里画出,A B C D四个点，可得BAAC,DC 面ABC,因此可以把四面体DABC补成一个长方体，其外接球的半径22222232R所以，外接球的表面积为2412R，故选 B 项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.11 设 设P是抛物线是抛物线2:4C yx上的动点，上的动点，Q是是C的准线上的动点，直线的准线上的动点，直线l过过Q且与且与OQ（O为坐标原点）垂直，则为坐标原点）垂直，则P到到l的距离的最小值的取值范围是（）的距离的最小值的取值范围是（）A01（，）B01（，C01，D0 2（，【答案】【答案】A【解析】【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q的坐标为 10tt，得到直线l的方程，再设与直线l平行的直线方程为0 xtym，与抛物线方程联立，由判别式为 0，得到2mt，最后由点到直线的距离，即可得出结果.【详解】抛物线24yx上的准线方程是1x 设点Q的坐标为 10tt，则直线l的方程为210 xtyt 设与直线l平行的直线方程为0 xtym 代入抛物线方程可得2440ytym，第 8 页 共 21 页由216160tmn，可得2mt故与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为20 x tyt 则P到l的距离的最小值21011dt，故选 A【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12已知函数已知函数 ln122f xxaxa若不等式若不等式 0f x 的解集中整数的个数为的解集中整数的个数为 3，则，则 a 的取值范围是（的取值范围是（）A1 ln3,0B1 ln3,2ln2C1 ln3,1 ln2D0,1 ln2【答案】【答案】C【解析】【解析】变换得到不等式2ln2axaxx，设 ln2g xxx，2h xaxa，判断 g x的单调性和 h x恒过点2,0，画出函数图像，解得答案.【详解】由 0f x 得2ln2axaxx，设 ln2g xxx，2h xaxa由 11gxx，可知 g x在0,1上为减函数，在1,上为增函数，h x恒过点2,0画出 g x与 h x函数图象，如图所示：不等式 0f x 的解集中含有三个整数，则 11,33,44,hghghg即1,1 ln3,222ln2,aaa 解得1 ln31 ln2a 故选：C 第 9 页 共 21 页【点睛】本小题考查函数与导数等基本知识考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力二、填空题二、填空题13中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为里，则该男子的第三日走的里数为_【答案】【答案】120【解析】【解析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为 na，其公差为d，前n项和为nS.根据题意可知，91471260,390Saaa，法一：19955991260,1402aaSaa147443390,130aaaaa，5410daa，34120aad.第 10 页 共 21 页法二：91471260390Saaa，11119 891260236390adaadad解得110010ad所以312120aad【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.14根据下列算法语句，当输入根据下列算法语句，当输入 x，y R 时，输出时，输出 s 的最大值为的最大值为_【答案】【答案】2【解析】【解析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题.【详解】由算法语句可知0023yxyxy，求xy的最大值，并与 0 比较画出可行域如图，AOBV为可行域，所求目标函数zxy，整理得yxz ，为斜率为-1 的一簇平行线，在A点时得到最大值.解方程组023xyxy，解得11xy，A点坐标1,1，所以xy的最大值为 2.故答案为 2.15已知已知 f x是是R上的偶函数，且当上的偶函数，且当0 x 时，时，23f xxx，则不等式，则不等式22f x的解集为的解集为_第 11 页 共 21 页【答案】【答案】117717,01,34,22【解析】【解析】对 f x分类，找到 2f x 的解集，再求22f x的解集【详解】0 x 时，23f xxx，当03x时，23f xxx，解 2f x，即232xx得1x 或2x，01x 或23x当3x 时，23f xxx解 2f x 即232xx得31731722x31732x 当0 x 时，2f x 解集为01x或31722x f x是R上的偶函数，由对称性可知当0 x 时，2f x 解集为31722x 或10 x 2f x解集为31722x 或11x 或31722x22f x时，317222x 或121x 或317222x解得11702x或13x或71742x【点睛】本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.16设设 m，n 为平面为平面 外两条直线，其在平面外两条直线，其在平面 内的射影分别是两条直线内的射影分别是两条直线 m1和和 n1，给出下列，给出下列 4 个命题：个命题：m1 n1m n；m nm1与与 n1平行或重合；平行或重合；m1 n1m n；m nm1 n1其中所有假命题的序号是其中所有假命题的序号是_第 12 页 共 21 页【答案】【答案】【解析】【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断，得出结果.【详解】两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故错误，若m nP，则1m与1n平行或重合或是两个点，故错误因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线所成的角可以是锐角，故错误两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个点等其他情况，故错误故假命题是，故答案为【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线线位置关系即可，属于常考题型.三、解答题三、解答题17在在ABC中，角中，角,A B C的对边分别为的对边分别为,a b c，若，若sin,sin,sinABC成等差数列，且成等差数列，且1cos3C.1求求ba的值；的值；2若若11c，求，求ABC的面积的面积.【答案】【答案】（1）109ba；（2）30 2.S【解析】【解析】【详解】1因为sin,sin,sinABC成等差数列，所以2sinsinsin,BAC由正弦定理得2,bac即2.cba又因为1cos,3C 根据余弦定理有：222222231cos2,2223abbaabcbCababa所以10.9ba 2因为111,cos,3cC根据余弦定理有：2212121,3abab第 13 页 共 21 页由 1知109ba，所以221001012 121,8193aaaa解得281a.由1cos3C 得2 2sin3C，所以ABCV的面积21552 2sinsin8130 2.2993SabCaC【点睛】本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属于简单题.18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在AB，实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图 记综合评分为株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图 记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗及以上的花苗为优质花苗（1）求图中）求图中a的值，并求综合评分的中位数的值，并求综合评分的中位数（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在）用样本估计总体，以频率作为概率，若在AB，两块试验地随机抽取两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关的把握认为优质花苗与培育方法有关优质花苗优质花苗非优质花苗非优质花苗合计合计甲培育法甲培育法20乙培育法乙培育法10合计合计附：下面的临界值表仅供参考附：下面的临界值表仅供参考 20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：（参考公式：22n adbcKabcdacbd，其中，其中nabcd ）第 14 页 共 21 页【答案】【答案】（1）0.040a，中位数82.5；（2）见解析；（3）有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关【解析】【解析】（1）根据频率之和为 1，可得0.0050.0100.0250.02010 1a，即可求出a；设y为评分的中位数，根据题中数据可得0.4800.04 0.5y，进而可求出结果；（2）先由题意确定优质花苗数的可能取值，求出对应概率，即可得到分布列与期望；（3）由题中数据计算出2K，对照临界值表，即可得出结论.【详解】（1）因为0.0050.0100.0250.02010 1a，解得0.040a，设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知8090y，所以0.4800.04 0.5y，则82.5y；（2）由（1）知，树高为优秀的概率为：0.40.2 0.6，记优质花苗数为，由题意知的所有可能取值为012 3，3030C0.40.064P，2131C0.40.60.288P，2232C0.60.40.432P，2333C0.60.216P，所以的分布列为：0123P0.0640.2880.4320.216第 15 页 共 21 页所以数学期望 E 3 0.6 1.8为；（3）填写列联表如下，优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100计算2210020 1040 3016.6672.70660 40 50 50K，所以有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关【点睛】本题主要考查频率分布直方图、二项分布以及独立性检验等问题，熟记由频率分布直方图求中位数的方法、二项分布的分布列和期望，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.19 如图，在边长为 如图，在边长为 4 的正方形的正方形ABCD中，点中，点E,F分别是分别是AB,BC的中点，点的中点，点M在在AD上，且上，且14AMAD，将，将AED,DCFVV分别沿分别沿DE,DF折叠，使折叠，使A,C点重合于点点重合于点P，如图所示，如图所示2.1试判断试判断PB与平面与平面MEF的位置关系，并给出证明；的位置关系，并给出证明；2求二面角求二面角MEFD的余弦值的余弦值.第 16 页 共 21 页【答案】【答案】（1）见解析；（2）6.3【解析】【解析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；（2）连接BD交EF与点N，先由题中条件得到MND为二面角MEF D的平面角，再解三角形即可得出结果.【详解】（1）PB P平面MEF证明如下：在图 1 中，连接BD，交EF于N，交AC于O，则1124BNBOBD，在图 2 中，连接BD交EF于N，连接MN，在DPBn中，有14BNBD，14PMPD，MNPBPPB 平面MEF，MN 平面MEF，故PB P平面MEF；（2）连接BD交EF与点N，图 2 中的三角形PDE与三角形 PDF 分别是图 1 中的RtADEn与RtCDFn，PDPEPDPF，又PEPEP，PD平面PEF，则PDEF，又EFBD，EF平面PBD，则MND为二面角MEF D的平面角可知PMPN，则在RtMNDn中，12PMPN，则22PMPN3MN 在MNDn中，33 2MDDN ，由余弦定理，得222623MNDNMDcos MNDMN DN二面角MEF D的余弦值为63【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及第 17 页 共 21 页二面角的概念即可，属于常考题型.20已知椭圆已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点为的右焦点为2,0F，过点，过点F且垂直于且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.1求椭圆求椭圆C的方程；的方程；2过椭圆内一点过椭圆内一点0,Pt，斜率为，斜率为k的直线的直线l交椭圆于交椭圆于,M N两点，设直线两点，设直线,OM PN（O为坐标原点）的斜率分别为为坐标原点）的斜率分别为12,k k，若对任意，若对任意k，存在实数，存在实数，使得，使得12kkk，求实数，求实数的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）22142xy；（2）2,.【解析】【解析】（1）根据焦点和通径列出,a b c关系，求出椭圆方程.（2）直曲联立，得到1212,xx xx，再将12kk用12,x x表示，得到与t的关系，由t的范围，得到的范围.【详解】1由题意得2222222cbaabc，解得22ab.所以椭圆C的方程为：221,42xy 2设直线l的方程为,ykxt由221,42,xyykxt消元可得222214240.kxktxt设1122,M x yN xy，则2121222424,.2121kttxxx xkk而12121212221211242,2t xxyykxtkxtkkkkxxxxx xt由12,kkk得24.2kkt因为此等式对任意的k都成立，所以242t，即242.t第 18 页 共 21 页由题意，点0,Pt在椭圆内，故24022t，解得2.所以的取值范围是2,.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直曲联立构造等量关系.对计算能力要求较高，有一定的难度，属于中档题.21已知函数已知函数 f（x）ex12（xa）2+4（1）若）若 f（x）在（）在（，+）上单调递增，求）上单调递增，求 a 的取值范围；的取值范围；（2）若）若 x0，不等式，不等式 f（x）0 恒成立，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围【答案】【答案】（1）1,；（2）ln44,10【解析】【解析】（1）对 f x在,上单调递增，转化为 0fx恒成立，参变分离，求出a的范围；（2）通过求导得到 f x的最值，而 fx的正负需要进行分类，通过分类讨论，1,0afx 恒成立，min00f xf，得到a的范围，1a 时，可得到 0minf xf x，虽然0 x解不出来，但可以通过00fx进行代换，得到0 x范围，再得到a的范围.最后两部分取并集，得到最终a的范围.【详解】1由题 xfxexa，由 0fx，得xaex.令 xg xex，则 1xgxe，令 0gx，得0 x.若0 x，0gx；若0 x，则 0gx.则当0 x 时，g x单调递增；当0 x 时，g x单调递减.所以当0 x 时，g x取得极大值，也即为最大值，即为 max01g xg.所以0a，即a的取值范围是.1,2由 2142xf xexa，得 xfxexa，令 xh xexa，则 10 xh xe.所以 h x在0,上单调递增，且 01ha.第 19 页 共 21 页当1a 时，0fx，函数 f x单调递增.由于 0f x 恒成立，则有 210502fa.即1010a.所以110a 满足条件.当1a 时，则存在00,x，使得00h x，当00 xx时，0h x，则 0,fxf x单调递减；当0 xx时，则 0h x，0,fxf x单调递增.所以 0200min1402xf xf xexa，又0 x满足0000 xh xexa，即00 xxae所以0021402xxee，则002280 xxee即00420 xxee，得00ln4x又00 xaxe.令 xuxxe，则 1xuxe，可知，当0ln4x时，0ux，则 u x单调递减.所以 ln44xu xxe，此时ln441a 满足条件.综上所述，a的取值范围是ln44,10.【点睛】利用导数求函数的单调区间、极值，参变分离、等量代换的方法，分类讨论的思想，对思维要求较高，难度较大，属于难题.22 在直角坐标系 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的极坐标方程为的极坐标方程为4cos（1）求）求M的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）将圆）将圆M平移使其圆心为平移使其圆心为102N，设，设P是圆是圆N上的动点，点上的动点，点A与与N关于原点关于原点O对称，线段对称，线段PA的垂直平分线与的垂直平分线与PN相交于点相交于点Q，求，求Q的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程【答案】【答案】（1）2224xy；（2）32xcosysin（为参数）【解析】【解析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得出结果；第 20 页 共 21 页（2）先由题意得到 A 点坐标为102，以及圆N的半径2r，根据题意得到1rNPNQPQQNQANA，进而可得出结果.【详解】（1）将方程4cos两端同乘以，得：24 cos，故224xyx,所以可得M的直角坐标方程为：2224xy，（2）依题意 A 点坐标为102，且圆的半径2rQ在线段PA的垂直平分线上，PQAQ，1rNPNQPQQNQANA，根据椭圆的定义，Q的轨迹为，以NA，为焦点，以 2 为长轴长的椭圆即112ac，32b，Q的参数方程为：32xcosysin（为参数）【点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化、以及曲线的参数方程，熟记极坐标与直角坐标的互化公式、以及曲线的参数方程即可，属于常考题型.23设设 a0，b0，且，且 a+bab（1）若不等式）若不等式|x|+|x2|a+b 恒成立，求实数恒成立，求实数 x 的取值范围的取值范围（2）是否存在实数）是否存在实数 a，b，使得，使得 4a+b8？并说明理由？并说明理由【答案】【答案】（1）1,3；（2）见解析第 21 页 共 21 页【解析】【解析】（1）先求a b的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x的取值范围.（2）求出4ab的最小值，然后进行判断【详解】1由abab，得111,ab 111 1224ababababa b，当且仅当2ab时成立.不等式2xxab即为24xx.当0 x 时，不等式为224x，此时10 x；当02x时，不等式24成立，此时02x；当2x 时，不等式为224x，此时23x；综上，实数x的取值范围是1,3.2由于0,0ab.则114445baabababab 4529baa b.当且仅当4,baababab，即3,32ab时，4ab取得最小值9.所以不存在实数,a b，使得48ab成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.
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