江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案.rar

南通市、泰州市南通市、泰州市 2020 届高三上学期期末联考届高三上学期期末联考数学试卷数学试卷2020.1.14一、填空题一、填空题1.已知集合 A 1，0，2，B 1，1，2，则 AB=_.2.已知复数 z 满足1 i z 2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为_.3.某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为_.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_.5.已知等差数列an 的公差 d 不为 0，且 a1，a2，a4 成等比数列，则1ad的值为_.6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为_.7.在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1AB2，则三枝锥 A1 BB1C1 的体积为_.8.已如函数.若当 x 6时，函数 f x 取得最大值，则 的最小值为_.9.已 知 函 数 f x m 2x2 m 8x m R 是 奇 函 数.若 对 于 任 意 的 x R，关 于 x 的 不 等 式 f x 2 1 f a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，B 分别在双曲线 C:x2 y 2 1 的两条渐近线上，且双曲线 C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2，则点 B 的横坐标为_.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E(单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE 4.8 1.5M.2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的_倍.12.已知ABC 的面积为 3，且 AB AC.若2CDDA ，则 BD 的最小值为_.13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1:x2 y 2 8 与圆 C2:x2 y 2 2x y a 0 相交于 A，B 两点.若圆 C1 上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为_.14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 x 2af x1 a2 0 有五个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是_.二、解答题二、解答题15.(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面 ABC，PC AB，D，E 分别为 BC，AC 的中点。求证:(1)AB/平面 PDE;(2)平面 PAB 平面 PAC.16.(本小题满分 14 分)在ABC 中，已知 AC4，BC3，cosB14。(1)求 sin A 的值:(2)求 BA BC g的值。17.(本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:22221(0)xyabab的焦距为 4，两条准线间的距离为 8，A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。(1)求椭圆 E 的标准方程:(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC 4，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，AM 与BN 相交于第一象限内的点 P.若 M，N 分别是 BC，CD 的中点，证明:点 P 在椭圆 E 上;若点 P 在椭圆 E 上，证明:BMCN为定值，并求出该定值。18.(本小题满分 16 分)在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋转 到三角形 A1B1C1，且.顺次连结 A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标 AA1BB1CC1.(1)当 6 时，求六边形徽标的面积;(2)求六边形微标的周长的最大值.19.(本小题满分 16 分)已知数列an满足：a1 1，且当 n 2 时，（1）若 1，证明：数列a2n1是等差数列；（2）若 2.设，求数列bn 的通项公式；设，证明：对于任意的 p，m N*，当 p m，都有 p Cm.20.(本小题满分 16 分)设函数，其中 e 为自然对数的底数.（1）当 a 0 时，求函数 f(x)的单调减区间；（2）已知函数 f(x)的导函数 f(x)有三个零点 x1，x2，x3(x1 x2 x3).求 a 的取值范围；若 m1，m2(m1 m2)是函数 f(x)的两个零点，证明：x1 m1 x1 1.21【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知，向量是矩阵的属于特征值3 的一个特征向量（1）求矩阵；（2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点P（2,2），求点 P 的坐标B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t 为参数），椭圆C 的参数方程为(为参数)求椭圆C 上的点到直线 l 的距离的最大值C选修4-5：不等式选讲（本小题满分10 分）已知a，b，c都是正实数，且证明：22(本小题满分10 分)如图，在直四棱柱中ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ABAD，ABADAA12BC2，（1）求二面角C1B1CD1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为4 1515，求AQ的长23(本小题满分10 分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1 只.现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1 只球.（1）当n=3时，求恰好取到3 次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量求 Y 的数学期望（用 n 表示）数学参考答案与评分细则第 1页（共 16页）南通市 2020 届高三第一次调研测试数数学学学学科科参参考考答答案案及及评评分分建建议议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1 1 已知集合，则.【答案】2 已知复数满足，其中 是虚数单位，则的模为.【答案】3 3 某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为.【答案】404 4 根据如图所示的伪代码，输出的a的值为【答案】115 5 已知等差数列的公差不为 0，且成等比数列，则的值为【答案】16 6 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为.【答案】7 7 在正三棱柱中，则三棱锥的体积为.【答案】8 8 已知函数若当时，函数取得最大值，则的最小值为.【答案】59 9 已知函数是奇函数若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是a1i1Whilei4aa+iii+1End WhilePrinta（第 4 题）数学参考答案与评分细则第 2页（共 16页）【答案】1 10 0在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点若点的横坐标为 2，则点的横坐标为【答案】1 11 1尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的倍【答案】10001 12 2已知ABC的面积为 3，且若，则的最小值为【答案】1 13 3在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点若圆上存在点，使得ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为.【答案】1 14 4已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是.【答案】二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分1 15 5（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥中，平面，分别为的中点（第 15 题）数学参考答案与评分细则第 3页（共 16页）求证：（1）AB平面；（2）平面平面【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以ABDE 3 分又因为平面，平面，所以AB平面 6 分（2）因为平面，平面，所以 8 分又因为，平面，所以平面 11 分因为平面，所以平面平面 14 分1 16 6（本小题满分 14 分）在ABC中，已知，（1）求的值；（2）求的值【解】（1）在ABC中，因为，由，得 2 分又，由正弦定理，得，4 分所以 6 分（2）（方法一）由余弦定理，得，8 分数学参考答案与评分细则第 4页（共 16页）即，解得或（舍去）11 分所以 14 分（方法二）在ABC中，由条件得，所以，所以所以 8 分所以 10 分由正弦定理，得，所以 12 分所以 14 分1 17 7（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点 若分别是的中点，证明：点在椭圆上；若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值【解】（1）设椭圆的焦距为，数学参考答案与评分细则第 5页（共 16页）则由题意，得解得所以所以椭圆的标准方程为 3 分（2）由已知，得，直线的方程为，直线的方程为联立解得即 6 分因为，所以点在椭圆上 8 分（解法一）设，则，直线的方程为，令，得 10 分直线的方程为，令，得 12 分所以 14 分数学参考答案与评分细则第 6页（共 16页）（第 18 题）O（解法二）设直线的方程为，令，得设直线的方程为，令，得 10 分而 12 分设，则，所以，所以 14 分1 18 8（本小题满分 16 分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且顺次连结，得到六边形徽标（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值【解】连结在正三角形中，2 分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，数学参考答案与评分细则第 7页（共 16页），所以，所以，4 分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则 6 分答：当时，六边形徽标的面积为 9 分（2）设六边形徽标的周长为，则 11 分，13 分所以当，即时，取最大值答：六边形徽标的周长的最大值为 16 分1 19 9（本小题满分 16 分）已知数列满足：，且当时，（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若 设，求数列的通项公式；数学参考答案与评分细则第 8页（共 16页）设，证明：对于任意的，当时，都有【解】（1）时，由，得 2 分所以，即（常数），所以数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列 4 分（2）时，时，时，所以 6 分所以又，所以 8 分又，所以（常数）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为 10 分由知，所以，所以 12 分所以 14 分当时，所以；数学参考答案与评分细则第 9页（共 16页）当时，所以；当时，所以所以若，则 16 分2 20 0（本小题满分 16 分）设函数，其中 为自然对数的底数（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，求的取值范围；若，是函数的两个零点，证明：【解】（1）时，其定义域为，令，得，所以函数的单调减区间为 3 分（2），设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点又，若，则，所以在上是减函数，至多有 1 个零点，不符合题意，所以 5 分令，列表如下：数学参考答案与评分细则第 10页（共 16页）所以即解得 8 分又，所以在上有且只有 1 个非零的零点因为当时，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有 1 个非零的零点所以实数的取值范围是 10 分（证法一）由，得设，且，所以又因为，所以所以或时，；时，由知，因为，所以，所以，极大值极小值数学参考答案与评分细则第 11页（共 16页）14 分所以成立 16 分（证法二）依题设知：，由知，设，由知，所以，在上单调递减 12 分又由，得：，即，所以，又，故，于是（），即，又，所以；14 分（），即，又，故，又，所以，即所以，得证 16 分2 21 1【选做题】本题包括 A A、B B、C C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知，向量是矩阵的属于特征值 3 的一个特征向量（1）求矩阵；数学参考答案与评分细则第 12页（共 16页）（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值 3 的一个特征向量，所以，即，所以解得所以 5 分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为 10 分B B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)求椭圆C上的点到直线 的距离的最大值【解】（方法一）直线 的普通方程为 2 分设，则点到直线 的距离 8 分当，即（）时，10 分（方法二）直线 的普通方程为数学参考答案与评分细则第 13页（共 16页）椭圆C的普通方程为 4 分设与直线 平行的直线方程为，由消，得令，得 8 分所以直线与椭圆相切当时，点到直线 的距离最大，10 分C C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知都是正实数，且证明：（1）；（2）【证】（1）因为都是正实数，所以又因为，所以，即，得证 4 分（2）因为都是正实数，所以，6 分由+，得，所以，又因为，所以，得证 10 分【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出数学参考答案与评分细则第 14页（共 16页）（第 22 题）文字说明、证明过程或演算步骤2 22 2(本小题满分 10 分)如图，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长【解】在直四棱柱中，因为平面，平面，所以，又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系由，得，2 分（1），设平面的一个法向量，则即不妨取，则，所以 4 分因为平面，所以平面的一个法向量为设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，数学参考答案与评分细则第 15页（共 16页）所以二面角的余弦值为 6 分（2）设，则又为的中点，则，设平面的一个法向量，由得取，则，所以 8 分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.10 分2 23 3(本小题满分 10 分)一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取 1 只球.（1）当时，求恰好取到 3 次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有 5 只小球的口袋中有放回的取球 6 次，共有个基本事件.记“恰好取到 3 次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.数学参考答案与评分细则第 16页（共 16页）答：当时，恰好取到 3 次红球的概率为.3 分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则.5 分所以.7 分令，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.10 分