2020届全国中学生标准学术能力诊断性测试1月数学（理）试题（一卷） PDF版.rar

第1页 共 8 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理理科数学科数学（一卷）答案（一卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C B A A C C D C D 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 23 14 817 15 312 16 2 三、解答题三、解答题：共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17解：（1）由题意得2OP=，则1cos2=，3sin2=，2 分 3cos()sin22+=5 分(2)()2213131sincoscossincos222222f xxxxxx=+=，8 分 故22T=10 分 由222kxk，知单调递增区间为(),2kkkZ 12 分 第2页 共 8 页 18解：（1）如图，取的中点，连接、在菱形中，是正三角形，1 分 同理，在菱形CDFE中，可证，DGBGG=，2 分 且DGBG均 在 面BDG内 平 面，BDBDG面 4 分 又，5 分（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，又，所以是正三角形，故有，7 分 如图，取的中点，连接，则，又由（1）得，又因为,DGEFG DGCDEF EFCDEF=平面平面 所以，平面，且，又，在直角中，所以，9 分 设到平面的距离为，则，所以，11 分 EFGBGDGABEF60BAF=BEFEFBGEFDGEF BDGEFBD/CDEFCDBDBGDBEFD60BGD=3BGGD=BDG3BD=DGOBOBODGEFBOBO CDFE32BO=BDCDBDC7BC=173 774244BCES=DBCEh11333433242B DCEDCEVBO S=113 733342D BCEBCEVh Sh=2 217h=第19题图EFDCBAG（第 18 题图）OEFDCBAG（第 18 题图）第3页 共 8 页 故直线与平面所成角正弦值为 12 分（建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）19解：（1）由39a+是1a，5a的等差中项得153218aaa+=+，1 分 所以135331842aaaa+=+=，解得 38a=，3 分 由1534aa+=，得 228834qq+=，解得24q=或214q=，因为1q，所以2q=5 分 所以2nna=6 分（2）法 1：由（1）可得122121nnnnb+=+，*nN 111122(2121)2121(2121)(2121)nnnnnnnnnnnb+=+11112(2121)2(2121)212121 212nnnnnnnnnnn+=+,9 分 2132112(2121)(2121)2121nnnbbb+=+1121 121nn+=12 分 法 2：由（1）可得122121nnnnb+=+，*nN 我们用数学归纳法证明（1）当1n=时，123 1313b=+，不等式成立；7 分（2）假设nk=（*kN）时不等式成立，即 BDBCE2 77hBD=第4页 共 8 页 11221kkbbb+那么，当1nk=+时，11121122212121kkkkkkbbbb+112112122(2121)21(2121)(2121)kkkkkkkk+=+9 分 1121212(2121)21212kkkkkk+=+=，11 分 即当1nk=+时不等式也成立 根据（1）和（2），不等式11221nnbbb+，对任意*nN成立12 分 20解：（1）由已知可得0,2pF，02pE，22,Pp，2PEPF=，222242422pppp+=+，0,2pp=，抛物线 C 的方程为24xy=4 分（2）由（1）得()()2,10,1PE，易求得()1,0Q 5 分 由题意得，直线l的斜率存在且不为 0，可设直线l的方程为1xmy=+，联立方程组214xmyxy=+=整理得()222410,m ymy+=16 160,1.-mm=设点()()1122,M x yN xy，121222421,myyyymm+=7分 第5页 共 8 页 1212124211,42,1yymmyyyy+=+=,QMMN=()11212,1yyyyy=+()121 21,2,12 3yy=+，9 分 设OMP在OP边上的高为Mh,ONP在OP边上的高为Nh,OMPONPSS=1122122122MMNNOP hxyhhxyOP h=()()()()11222124221242mymymymy+=+10 分 11221 2,.2 3yyyy=OMPONPSS的取值范围是1 22 3，12 分 21解：（1）()()21xfxxe=+，1 分()111fe=，()10f=，2 分 所以切线方程为()11eyxe=+3 分（2）由（1）知()f x在点()1,(1)f处的切线方程为()11eyxe=+()()21121122422422112121+=yyyyyyymym 第6页 共 8 页 设1)(1)eS xxe=+（构 造()()()()1111xeF xf xxxeee=+=+，()()12xFxxee=+，()()3xFxxe=+所以()Fx在(),3 上单调递减，在()3,+上单调递增 5 分 又()31130Fee=，()1limxFxe=，()10F=，所以()F x在(),1 上单调递减，在()1,+上单调递增 所以()()()()()1101eF xFf xS xxe=+当且仅当1x=时取“=”方程()11=exbe+的根111ebxe=又()()()111bs xf xs x=，由()s x在R上单调递减，所以11xx 7 分 另一方面，()f x在点()1,22e处的切线方程为()311yexe=设()(31)1t xexe=构造()()()()()()()1131113=xxG xf xt xxeexexeexe=+()()23xGxxee=+，()()3xGxxe=+所以()Gx在在(),3 上单调递减，在()3,+上单调递增 9 分 又()31330Gee=，()lim3xG xe=，()10G=，所以()G x在(),1上单调递减，在()1,+上单调递增 所以()()()()()10311G xGf xt xexe=，当且仅当1x=时取“=”10 分 方程()()311=t xexeb=的根2131ebxe+=,又()()()222bt xf xt x=，由 第7页 共 8 页 ()t x在R上单调递增，所以22xx 所以212111311beebxxxxee+=+，得证 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分第一题计分作答时请写清题号作答时请写清题号 22【选修【选修 44：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】（10 分）分）解：（1）当0 时，极坐标方程两边同乘以得3sincos2+=在直角坐标系下，22cos,sin,.xyxy=+故化成直角坐标系方程()22222yxxyxy+=+，不包括点()0,0 3 分 当0=时，()0,0满足原极坐标方程，4 分 综上，所求的直角坐标方程为()22222yxxyxy+=+5 分（2）由 题 意 得，直 线l的 普 通 方 程 为30 xy+=设 曲 线 C上 的 动 点(2cos,sin)Ra（，因为曲线C上所有点均在直线l的右上方，所以对R恒有2cossin30a+，7 分 即()24sin3a+，其中2tan,0.aa=所以243,a+9 分 解得05.a 10分 23【选修【选修 45：不等式选讲】：不等式选讲】（10 分）分）解：(1)因为0,0,0,xyz所以由柯西不等式得()()()()2222232323.232323xyzyzzxxyxyzyzzxxy+3 分 又因为1.xyz+=所以()()()()()()22222123232323232355xyzxyzxyzyzzxxyyzzxxyxyz+=+5 分(2)2161616xyz+2222444xyz=+第8页 共 8 页 由均值不等式2222444xyz+232223 4xyz+,当且仅当2xyz=时“=”成立7 分 1.xyz+=()()22223222222 122222xyzxyzzzzz+=+=+=+当且仅当12=z时取“=”9 分 23322224443 46xyz+=，当 且 仅 当1142xyz=，时 等 号 成 立，所 以2161616xyz+的最小值为 6 10 分 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理科理科数学试卷数学试卷（一卷）（一卷）本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1若集合12Axx=,2,0,1,2B=，则AB=A B0,1 C0,1,2 D2,0,1,2 2若(2)5i z+=，则z的虚部为 A1 B1 Ci Di 3已知双曲线()222102xybb=的两条渐近线互相垂直，则b=A1 B2 C3 D2 4由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A3 B2 C D2 5函数xexxxf)2()(2=的图象可能是 A B C D 6已知关于x的不等式2230axxa+在(0,2上有解，则实数a的取值范围是 A3,3 B4,7 C3,3+D4,7+7已知a,b为实数，则01ba是loglogabba的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知随机变量,的分布列如下表所示则 A,EEDD B,EEDD C,EEDD=D,EEDD=9在ABC中，若2AB BCBC CACA AB=，则ABBC=A1 B22 C32 D62 10在矩形ABCD中，已知3,4ABAD=，E是边BC上的点，1EC=，/EFCD，将平面EFDC绕EF旋转90后记为平面，直线AB绕AE旋转一周，则旋转过程中直线AB与平面相交形成的点的轨迹是 A圆 B双曲线 C椭圆 D抛物线 （第 10 题图）11已知函数()(ln1)(2)(1,2)if xxxm i=,e是自然对数的底数，存在Rm A当1=i时，()f x零点个数可能有 3 个 B当1=i时，()f x零点个数可能有 4 个 C当2=i时，()f x零点个数可能有 3 个 D当2=i时，()f x零点个数可能有 4 个 12已知数列 na的前n项和为nS，且满足(2)1nnnaSa=，则下列结论中 数列2nS是等差数列；2nan；11nna a+A仅有正确 B仅有正确 C仅有正确 D均正确 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 131742 年 6 月 7 日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于 2 的偶数都可写成两个质数的和这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1”1966 年，我国数学家陈景润证明了 1 2 3 1 2 3 16 12 13 P131216P俯视图侧视图正视图1122（第 4 题图）第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 “1+2”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过 30 的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过 30 的概率是 14 已知ABC的面积等于1，若1BC=，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A=15已知F是椭圆22221(0)xyCabab+=：的一个焦点，P是C上的任意一点，则FP称为椭圆C的焦半径设C的左顶点与上顶点分别为AB、，若存在以A为圆心，FP为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为 16 设函数32()|6|f xxxaxb=+，若对任意的实数a和b，总存在3,00 x，使得()mxf0，则实数m的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17（12 分）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,3)P （1）求cos2+的值；（2）求函数22()sin()cos()()Rf xxxx=+的最小正周期与单调递增区间 18（12 分）如图，多面体ABCDFE中，四边形ABEF和四边形CDFE是两个全等的菱形，2=AB,60=ECDBAF（1）求证：DCBD；（2）如果二面角BEFD的平面角为60，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值 19（12 分）已知等比数列na的公比1q，且42531=+aaa,93+a是1a,5a的等差中项数列nb的通项公式1121+=+nnnnaab,*Nn（1）求数列na的通项公式；（2）证明：12121+nnbbb,*Nn 20（12 分）已知抛物线2:2(0)C xpy p=，焦点为F，准线与 y 轴交于点 E若点 P 在 C 上，横坐标为 2，且满足：PFPE2=（1）求抛物线C的方程；（2）若直线PE交x轴于点Q，过点Q做直线l，与抛物线C有两个交点,M N(其中，点M在第一象限)若QMMN=，当()2,1时，求OMPONPSS的取值范围 21（12 分）已知函数()(1)(1)xf xxe=+（1）求()f x在点1,(1)f（-处的切线方程；（2）若方程()f xb=有两个实数根21,xx，且21xx，证明：1131112+eebeebxx（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分分作答时请写清题号作答时请写清题号 22选修 44：极坐标与参数方程（10 分）（1）以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴x为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程2cossin2=+化成直角坐标方程（2）在直角坐标系xOy中，直线l：32cos4()31sin4xttyt=+=+为参数，曲线2cos:(),sinxCya=为参数其中0a若曲线C上所有点均在直线l的右上方，求a的取值范围 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知正数zyx,满足1xyz+=（1）求证：51323232222+yxzxzyzyx；（2）求2161616zyx+的最小值（第 18 题图）（第 20 题图）