2019届云南师范大学附属中学高三上学期第四次月考数学（理）试题（解析版）.rar

第 1 页 共 21 页2019 届云南师范大学附属中学高三上学期第四次月考数学（理）试题届云南师范大学附属中学高三上学期第四次月考数学（理）试题一、单选题一、单选题1已知集合已知集合2Ax|xx20，x1Bx|0 x2，则，则RAB()A1,2B1,1C1,2D1,1【答案】【答案】D【解析】【解析】分别求解一元二次不等式及分式不等式化简 A，B，再由交集，补集的混合运算求解【详解】解：由2xx20，得2x1 2Ax|xx202,1，由x10 x2，得x1 或x 2.B,1(2，)则RB1,2，RAB1,1 故选 D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，考查交集，补集的混合运算，是基础题2设复数设复数z满足满足3111ziz，则，则z在复平面内对应的点位于（）在复平面内对应的点位于（）A第一象限第一象限B第二象限第二象限C第三象限第三象限D第四象限第四象限【答案】【答案】C【解析】【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，则答案可求【详解】解：由31z1 i1 i1z ，得1 z1z 1 i1 izzi ，第 2 页 共 21 页2i zi，则i 2ii12zi2i2i2i55，z在复平面内对应的点的坐标为12,55，位于第三象限故选 C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3根据如图给出的根据如图给出的 2005 年至年至 2016 年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是()A自自 2005 年以来，我国人口总量呈不断增加趋势年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B自自 2005 年以来，我国人口增长率维持在年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动上下波动C从从 2005 年后逐年比较，我国人口增长率在年后逐年比较，我国人口增长率在 2016 年增长幅度最大年增长幅度最大D可以肯定，在可以肯定，在 2015 年以后，我国人口增长率将逐年变大年以后，我国人口增长率将逐年变大【答案】【答案】D【解析】【解析】利用人口总量及增长率的统计图直接求解【详解】解：由 2005 年至 2016 年我国人口总量及增长率的统计图，知：在 A 中，自 2005 年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故 A 正确；在 B 中，自 2005 年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动，故 B 正确；在 C 中，从 2005 年后逐年比较，我国人口增长率在 2016 年增长幅度最大，故 C 正确；在 D 中，在 2015 年以后，我国人口增长率将逐年变小，故 D 错误故选：D【点睛】第 3 页 共 21 页本题考查命题真假的判断，考查人口总量及增长率的统计图的性质等基础知识，是基础题4251(1)xxx展开式中展开式中 x3的系数为（的系数为（）A5B10C15D20【答案】【答案】C【解析】【解析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得3x的系数.【详解】依题意，展开式中3x的项为1224335515 1015x C xC xxxx，所以3x的系数为15.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题.5以椭圆以椭圆22xy12516的焦点为焦点，以直线的焦点为焦点，以直线2 5lyx5：为渐近线的双曲线的方程为为渐近线的双曲线的方程为()A22xy12516B22xy154C22xy145D22xy143【答案】【答案】B【解析】【解析】根据椭圆方程求出焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标与渐近线方程求出2a和2b，即可写出双曲线的方程【详解】解：椭圆22xy12516中，焦点为1F3,0，2F 3,0；以1F、2F为焦点，以直线2 5lyx5：为渐近线的双曲线的方程中，c3，b2 5a5，2 5ba5，22222249cabaaa955，第 4 页 共 21 页解得2a5，224ba45，所以所求双曲线的方程为22xy154故选 B【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其简单几何性质的应用问题，是基础题6函数函数sin 23yx的图象向右平移的图象向右平移3个单位后与函数个单位后与函数()f x的图象重合，则下列结论中错误的是（的图象重合，则下列结论中错误的是（）A()f x的一个周期为的一个周期为2B()f x的图象关于的图象关于712x 对称对称C76x是是()f x的一个零点的一个零点D()f x在在5,12 12上单调递减上单调递减【答案】【答案】D【解析】【解析】先由图像的平移变换推导出 f x的解析式，再根据图像性质求出结果【详解】解：函数ysin 2x3的图象向右平移3个单位后与函数 f x的图象重合，f xsin 2 xsin 2x333，f x的一个周期为2，故 A 正确；yf x的对称轴满足：2xk32，kZ，当k2 时，yf x的图象关于7x12 对称，故 B 正确；由 f xsin 2x03，23xk得kx26，7x6是 f x的一个零点，故 C 正确；当5x,12 12 时，2x,32 2，f x在5,12 12上单调递增，故 D 错误故选 D第 5 页 共 21 页【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题7给出下列两个命题：命题给出下列两个命题：命题1p：函数：函数 f x是定义在是定义在2,2上的奇函数，当上的奇函数，当x0,2时，时，xf x21.则则21f log3的值为的值为2；命题；命题2p：函数：函数1xyln1x是偶函数，则下列命题是真命题的是，是偶函数，则下列命题是真命题的是，()A12ppB12pp C12ppD 12pp【答案】【答案】B【解析】【解析】根据函数性质分别判断命题1p，2p的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【详解】解：2log 32221f logflog 3f log 3213 123 ，命题1p是真命题，由1x01x得1x1，则 1x1x1x 1xfxf xlnlnlnln101x1x1x 1x，即 fxf x，则 f x是奇函数，故题2p是假命题，则12pp 是真命题，其余为假命题，故选：B【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，掌握函数性质是解决本题的关键，属于中档题8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为第 6 页 共 21 页AB2C4D12【答案】【答案】B【解析】【解析】由三视图可知，该几何体是底面为扇形、高为3的柱体，其中扇形所在圆的半径为2，易得扇形的圆心角为60，则该几何体的体积为260232360 故选B9ABCV的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，且，且A2B，若，若ABCV的面积为的面积为2b sin3BsinB，则，则B()A2B3C4D6【答案】【答案】C【解析】【解析】由已知将ABCSV化简为2ABCSb sinCsinBV，再结合ABC1SacsinB2V，利用正弦定理边化角及倍角公式化简即可得出【详解】解：222ABCSb sin3BsinBb sin AB sinBb sinCsinBV，又ABC1SacsinB2V，21b sinCsinBacsinB2且sinB0，即22sinbCac，由正弦定理边化角得22sinsinsinsinBCAC sinC0故22sinsinsin22sincosBABBBsinBcosB0，tanB1，B0,B4故选：C【点睛】本题考查了三角形面积公式、正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知在菱形已知在菱形 ABCD 中，中，BCD60，曲线，曲线 C1是以是以 A，C 为焦点，且经过为焦点，且经过 B，D 两两第 7 页 共 21 页点的椭圆，其离心率为点的椭圆，其离心率为 e1；曲线；曲线 C2是以是以 A，C 为焦点，渐近线分别和为焦点，渐近线分别和 AB，AD 平行的双曲线，其离心率为平行的双曲线，其离心率为 e2，则，则 e1e2（）A12B33C1D2 33【答案】【答案】C【解析】【解析】根据菱形的对角线相互垂直平分，判断出,B D的位置，设菱形边长，根据60BCD求得菱形各边的长度，利用椭圆和双曲线的定义，求得两者的离心率，进而求得两个离心率的乘积.【详解】菱形ABCD对角线相互垂直平分，设对角线相交于O，菱形的边长为2m.由于60BCD，所以3,OCOAm OBODm.根据椭圆的定义可知：椭圆的离心率为122 33242cACmeaBABCm.由于双曲线渐近线与AB平行，根据双曲线的几何性质可知：双曲线的离心率为22222 3111tan 303ABcbekaa.所以123 2 3123e e.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线离心率的求法，考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11已知已知 f(x)是定义在是定义在(0,)上的单调函数，且对任意的上的单调函数，且对任意的 x(0,)都有都有第 8 页 共 21 页3()2f f xx，则方程，则方程()()2f xfx的一个根所在的区间是（的一个根所在的区间是（）A（0,1）B（1,2）C（2,3）D（3,4）【答案】【答案】D【解析】【解析】由题意，可知 f（x）-x3是定值令 t=f（x）-x3，得出 f（x）=x3+t，再由 f（t）=t3+t=2 求出 t 的值即可得出 f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出 f（x）-f（x）=2 的解所在的区间选出正确选项【详解】由题意，可知 f（x）-x3是定值，不妨令 t=f（x）-x3，则 f（x）=x3+t又 f（t）=t3+t=2，整理得（t-1）（t2+t+2）=0，解得 t=1所以有 f（x）=x3+1所以 f（x）-f（x）=x3+1-3x2=2，令 F（x）=x3-3x2-1可得 F（3）=-10，F（4）=80，即 F（x）=x3-3x2-1 零点在区间（3，4）内所以 f（x）-f（x）=2 的解所在的区间是（3，4）故选：D【点睛】本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出 f（x）-x3是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度12 在矩形 在矩形 ABCD 中，中，AB2AD2，动点，动点 P 满足满足2PBPC ，若，若APABAD ，则，则+的最大值为（的最大值为（）A2 2B5C1032D52【答案】【答案】C【解析】【解析】建立平面直角坐标系，求得P点的轨迹方程，由此求得的表达式，进而求得的最大值.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系如下图所示，2,0,2,1,0,1BCD，设,P x y，由2PBPC 得222PBPC ，即22222221xyxy，化简得22222xy.故可设22cos,22sinP（0,2）.由于APABADuu u ruu u ruuu r，即22cos,22sin2,.所以第 9 页 共 21 页21cos,22sin2 ，所以21032sincos3sin22，故的最大值为1032.故选：C【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查动点轨迹方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题二、填空题13若若 x，y 满足约束条件满足约束条件2x y 0 xy 10 则则zxy的最小值为的最小值为_【答案】【答案】3【解析】【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象找出最优解，计算目标函数zxy的最小值【详解】解：画出约束条件2x y 0 xy 10 表示的平面区域，如图所示；第 10 页 共 21 页结合图象知目标函数zxy过点 A 时，z 取得最小值，由2x y 0 xy 10 ，解得A 1,2，所以 z 的最小值为minz123 故答案为：3【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基础题14在在 1 和和 2 之间插入之间插入 2016 个正数，使得这个正数，使得这 2018 个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为_【答案】【答案】10092【解析】【解析】根据等比数列的性质可得12018220173201610091010a aa aa aaa，即可求出这个数列中所有项的乘积【详解】解：根据等比数列的性质可得12018220173201610091010a aa aa aaa2，这个数列中所有项的乘积为10092，故答案为：10092【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题15设函数设函数 f x在在,内有定义，对于给定的正数内有定义，对于给定的正数 K，若定义函数，若定义函数 ,f xf xKKfxK f xK，取函数，取函数 2xf x，当，当14K 时，函数时，函数 Kfx的单调递增区间为的单调递增区间为_【答案】【答案】,2 第 11 页 共 21 页【解析】【解析】根据题意，将函数 f x写成分段函数的形式，分析 f xk，即124x的解集，据此可得 Kfx的解析式，进而分析可得答案【详解】解：根据题意，函数 2,022,0 xxxxf xx，14K，若 f xk，即124x，也即21122x 进而2x 解可得22x，则此时 2,21,2242,2xKxxfxxx ，其单调递增区间为,2；故答案为：,2【点睛】本题考查分段函数的应用，注意分析 kfx的含义，属于中档题16如图，在正方体如图，在正方体1111ABCDABC D中，点中，点 P 为为 AD 的中点，点的中点，点 Q 为为11BC上的动点，给出下列说法：上的动点，给出下列说法：PQ可能与平面可能与平面11CDDC平行；平行；PQ与与 BC 所成的最大角为所成的最大角为3；1CD与与 PQ 一定垂直；一定垂直；PQ与与1DD所成的最大角的正切值为所成的最大角的正切值为52；2PQAB其中正确的有其中正确的有_.(写出所有正确命题的序号写出所有正确命题的序号)【答案】【答案】【解析】【解析】由当 Q 为11BC的中点，由线面平行的判定定理可判断；由 Q 为11BC的中第 12 页 共 21 页点，结合线线垂直的判断可判断；由线面垂直的判定和性质可判断；运用异面直线所成角的定义，结合解直角三角形可判断；由 Q 为11BC的中点时，结合图形可判断【详解】解：由在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中点 P 为 AD 的中点，点 Q 为11BC上的动点，知：在中，当 Q 为11BC的中点时，1/PQC D，由线面平行的判定定理可得 PQ 与平面11CDDC平行，故正确；在中，当 Q 为11BC的中点时，1/PQC D，111BCC D，11/BCBC，可得PQBC，故错误；在中，由11CDC D，111.CDBC可得1CD 平面11ADC B，即有1CDPQ，故正确；在中，如图，点 M 为11AD中点，PQ 与1DD所成的角即为 PQ 与PM所成的角，当Q 与1B，或1C重合时，PQ 与1DD所成的角最大，其正切值为52，故正确；在中，当 Q 为11BC的中点时，PQ 的长取得最小值，且长为2AB，故正确故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题三、解答题17已知已知nS为数列为数列 na的前的前 n 项和，且满足项和，且满足4133nnSa 1求数列求数列 na的通项；的通项；第 13 页 共 21 页 2令令112nnblog a，证明：，证明：1 22 33 41111111nnnnbbb bb bb bbb【答案】【答案】（1）11()4nna；（2）详见解析.【解析】【解析】1由数列的递推式：11aS，2n 时，1nnnaSS，计算结合等比数列的通项公式可得所求；2求得2111221()22nnnblog alogn，1111 1122141nnb bnnnn，由数列的裂项相消求和，即可得证【详解】解：41133nnSa，可得1114133aSa，解得11a，2n 时，1141413333nnnnnaSSaa，即有114nnaa，故数列 na是以11a 为首项，以14为公比的等比数列，则11()4nna；2证明：2111221()22nnnblog alogn，1111 1122141nnb bnnnn，1 22 31111111111142231nnbbb bb bnn1114141nnn，112 2141nnnnbbnn，则1 22 33 41111111nnnnbbb bb bb bbb【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题第 14 页 共 21 页18 互联网 互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机时代的今天，移动互联快速发展，智能手机Smartphone技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级 100 名同学使用手机的情况进行调查名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图进行分组整理得到如图 4 的饼图、的饼图、(注：图中注：图中(1,i i 2，7)(单位：小时单位：小时)代表分组为代表分组为1,ii 的情况的情况)1求饼图中求饼图中 a 的值；的值；2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论只需写出结论)3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由【答案】【答案】（1）29%；（2）第 4 组；（3）若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计【解析】【解析】1由饼图性质能求出 a 2估计样本中的 100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第 4 组 3样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况【详解】解：1由饼图得：16%9%27%12%14%3%29%a 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的 100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第 4 组第 15 页 共 21 页 3 样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计【点睛】本题考查概率的求法、饼图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19如图，已知在四棱锥如图，已知在四棱锥 SAFCD 中，平面中，平面 SCD平面平面 AFCD，DAFADC90，AD1，AF2DC4，2SCSD，B，E 分别为分别为 AF，SA 的中点的中点（1）求证：平面）求证：平面 BDE平面平面 SCF（2）求二面角）求二面角 ASCB 的余弦值的余弦值【答案】【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【解析】（1）通过证明/CF平面BDE，/SF平面BDE，由此证得平面/BDE平面SCF.（2）取 CD 的中点 O，连结 SO，取 AB 的中点 H，连结 OH.证得,OH OS OC两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面ASC和平面BSC的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：DAFADC90，DCAF，又 B 为 AF 的中点，四边形 BFCD 是平行四边形，CFBD，BD平面 BDE，CF平面 BDE，CF平面 BDE，B，E 分别是 AF，SA 的中点，SFBE，BE平面 BDE，SF平面 BDE，SF平面 BDE，又 CFSFF，平面 BDE平面 SCF第 16 页 共 21 页（2）取 CD 的中点 O，连结 SO，SCD 是等腰三角形，O 是 CD 中点，SOCD，又平面 SCD平面 AFCD，平面 SCD平面 AFCDCD，SO平面 AFCD，取 AB 的中点 H，连结 OH，由题设知四边形 ABCD 是矩形，OHCD，SOOH，以 O 为原点，OH 为 x 轴，OC 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（1，1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），CA（1，2，0），CS （0，1，1），CB（1，0，0），设平面 ASC 的法向量m（x，y，z），则200m CAxym CSyz ，取 y1，得m（2，1，1），设平面 BSC 的法向量n（x，y，z），则00n CBxn CSyz ，取 y1，得n（0，1，1），cos23362m nmnm n ，由图知二面角 ASCB 的平面角为锐角，二面角 ASCB 的余弦值为33【点睛】本小题主要考查面面平行的证明，考查空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题.20过抛物线外一点过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已知抛物线为对应的切点弦已知抛物线为24xy，点，点 P，Q 在直线在直线 l：1y 上，过上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为两点对应的切点弦分别为 AB，CD第 17 页 共 21 页 1当点当点 P 在在 l 上移动时，直线上移动时，直线 AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由 2当当ABCD时，点时，点 P，Q 在什么位置时，在什么位置时，PQ取得最小值？取得最小值？【答案】【答案】（1）直线 AB 经过定点0,1；（2）当2,1P，2,1Q 时，PQ取得最小值 4.【解析】【解析】1设11,A x y，22,B xy，0,1P x，根据导数的几何意义，分别求出直线 PA，PB 的方程可得，可得直线 AB 的方程进而求出定点 2设,1PP x，,1QQ x，根据ABCD可得4PQx x ，妨设0Px，则0Qx，且4QPxx，4PQPQPPPQxxxxxx，根据基本不等式即可求出【详解】解：1设11,A x y，22,B xy，0,1P x，则2114xy，2224xy，抛物线的方程可变形为214yx，则2xy，直线 PA 的斜率为01|2PAx xxky，直线 PA 的方程1112xyyxx，化简112x xyy，同理可得直线 PB 的方程为222x xyy，由0,1P x 可得0 11x2102221xyx xy，直线 AB 的方程为021x xy，则01xy是方程的解，直线 AB 经过定点0,1 2设,1PP x，,1QQ x，由 1可知2PABxk，2QCDxk，ABCD，第 18 页 共 21 页14PQABCDx xkk，即4PQx x ，Px，Qx异号，不妨设0Px，则0Qx，且4QPxx，44PQPQPPPQxxxxxx，当且仅当2Px，2Qx 时取等号，即当2,1P，2,1Q 时，PQ取得最小值 4【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，导数的几何意义，基本不等式的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题21已知函数已知函数 1af xalnxaRx，（1）讨论）讨论 f（x）的单调性；）的单调性；（2）证明：当）证明：当1a0 时，时，f（x）存在唯一的零点）存在唯一的零点 x0，且，且 x0随着随着 a 的增大而增大的增大而增大【答案】【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【解析】（1）先求得函数 f x的定义域，求得函数的导函数 fx，对a分成0,0,10,1aaaa 等四种情况进行分类讨论，由此求得 f x的单调区间.（2）10a 时，由（1）得到 f x的单调性，结合零点存在性定理判断出 f x存在唯一零点0 x.令00f x，由此对a分离常数，利用导数证得0 x随a增大而增大.【详解】（1）f（x）的定义域为（0，+）；2211axaaaf xxxx；当 a0 时，210f xx，则 f（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，21aa xaf xx，而10aa；则 f（x）在10aa，上单调递减，在1aa，上单调递增；当1a0 时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）上单调递减；第 19 页 共 21 页当 a1 时，f（x）在10aa，上单调递增，在1aa，上单调递减；综上，当 a1 时，f（x）在10aa，上单调递增，在1aa，上单调递减；当1a0 时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，f（x）在10aa，上单调递减，在1aa，上单调递增；（2）由（1）得当1a0 时，f（x）在（0，+）上单调递减；f（x）至多有一个零点；又1a0；11a，f（1）a+10，11faalnaa ；令 g（x）x1lnx，则 111xg xxx；g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；g（x）g（1）0，即 x1lnx0，当且仅当 x1 时取等号；110faalnaa ；f（x）存在唯一得零点011xa，；由 f（x0）0，得0010aalnxx，即00011a lnxxx；x0（1，+），0010lnxx；00011xalnxx，即 a 是 x0的函数；设 11xh xlnxx，x（1，+），则 22101()lnxh xx lnxx；h（x）为（1，+）上的增函数；a随0 x增大而增大，反之亦成立.第 20 页 共 21 页x0随着 a 的增大而增大【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.22 已知曲线 已知曲线 E 的参数方程为的参数方程为2(3xcosysin为参数为参数)，以直角坐标系，以直角坐标系 xOy 的原点的原点 O为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1求曲线求曲线 E 的直角坐标方程；的直角坐标方程；2设点设点 A 是曲线是曲线 E 上任意一点，点上任意一点，点 A 和另外三点构成矩形和另外三点构成矩形 ABCD，其中，其中 AB，AD 分别与分别与 x 轴，轴，y 轴平行，点轴平行，点 C 的坐标为的坐标为3,2，求矩形，求矩形 ABCD 周长的取值范围周长的取值范围【答案】【答案】（1）22143xy；（2）102 7,102 7.【解析】【解析】1直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程 2利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】解：1曲线 E 的参数方程为2(3xcosysin为参数)，转换为直角坐标方程为：22143xy 2设点 A 的坐标为2,3cossin，3,3Bsin，2,2Dcos，所以；3232ABcoscos，2323ADsinsin，2102 7lABADsin，所以矩形的周长的取值范围为102 7,102 7.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程之间的转换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23 1解不等式解不等式2x1x23；2设设 a，b，c0且不全相等，若且不全相等，若abc1，证明：，证明：第 21 页 共 21 页222abcbcacab6【答案】【答案】（1）2,0,3；（2）详见解析.【解析】【解析】1通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；2根据不等式的性质证明即可【详解】解：1原不等式等价于 x22x1x23或 1222123xxx 或 122123xxx，解得：x2 或2x0 或2x3，故原不等式的解集是 2,0,3；2证明：22bc2bc，c0，abc1，22a bc2abc2，同理22b ca2abc2，22c ab2abc2，又 a，b，c0且不全相等，故上述三式至少有 1 个不取“”，故222abcbcacab222222a ba cb cb ac ac b222222a bcb cac ab6【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道基础题