2020届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测数学（文）试题（解析版）.rar
第 1 页 共 17 页2020 届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测数学（文）试题届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测数学（文）试题一、单选题一、单选题1集合集合 1,0,1A ，2|1By yxxA,，则，则AB（）A1B0C 1,0D0,1【答案】【答案】C【解析】【解析】根据要求先用列举法表示出集合B，然后根据交集的运算求解出AB的结果.【详解】因为2|1By yxxA,，所以0,1B，所以1,0AB.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2复数复数201911iiA1B-1CiDi【答案】【答案】D【解析】【解析】利用复数代数形式的乘除运算11ii，再由虚数单位i的性质求解【详解】21(1)21(1)(1)2iiiiiii，201920194 50431()()1iiiiii 故答案为：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3若若3cos()23，则，则cos2（）A23B13C13D23第 2 页 共 17 页【答案】【答案】C【解析】【解析】本道题化简式子,计算出sin,结合2cos212sin,即可.【详解】3cossin23 ,得到3sin3,所以211cos21 2sin1 233 ,故选 C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有假设第一次打捞的草鱼有 50 尾，第二次打捞的草鱼总数为尾，第二次打捞的草鱼总数为 50 尾，其中有标记的为尾，其中有标记的为 7 尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（）A250B350C450D550【答案】【答案】B【解析】【解析】根据池塘中带有标记的草鱼数量与草鱼总数的比值等于样本中带有标记的草鱼数量与样本容量的比值.【详解】设池塘中草鱼的数量大约为x，可得50750 x，所以357x，所以池塘中草鱼大约有350条.故选：B.【点睛】本题考查用样本估计总体，难度较易.总体中某一类个体所占的比例等于样本中该类个体所占的比例.5若变量若变量x，y满足约束条件满足约束条件3422xyxyy ，则，则2zxy的最大值为（的最大值为（）A18B8C5D22【答案】【答案】B【解析】【解析】根据约束条件作出可行域，然后利用平移直线法求解出目标函数的最大值.【详解】作出可行域如下图：第 3 页 共 17 页如图所示，当直线2yxz 经过点A时，此时截距最大，此时有maxz，又因为32xyy，所以52xy，所以max2 528z .故选：B.【点睛】根据约束条件求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法将目标函数的最值与对应直线的截距联系在一起，从而根据截距求解出最值.6已知已知 m，n 是不同的直线，是不同的直线，是不重合的平面，下列命题中正确的有（是不重合的平面，下列命题中正确的有（）若若m，m，则，则/若若/m，m，n，则，则/mn若若/m，/m，则，则/若若，m，n，则，则mnABCD【答案】【答案】A【解析】【解析】利用反证法判断对错；根据线面平行的性质定理判断对错；由两平面相交进行判断；从正方体中找出对应模型判断.【详解】若l，则此时过l有两个平面,与已知直线m垂直，与实际矛盾，所以假设不成立，所以命题正确；由线面平行的性质定理内容可知命题正确；当l时，若/,ml mm，此时/,/mm，所以命题不正确；取正方体任意相邻的两个面,，m是的一条面对角线，n是的一条面对角线，此时mn显然不成立，所以命题错误.所以只有正确.第 4 页 共 17 页故选：A.【点睛】本题考查空间中点、线、面位置关系的判断，难度一般.对于符号语言描述的空间中点、线、面位置关系的命题，可通过反证法、特殊模型法、定义法等方法判断命题的真假.7已知已知0.20.5a，0.50.2b，0.5log0.2c，则三者的大小关系正确的是（，则三者的大小关系正确的是（）AacbBcbaCbacDcab【答案】【答案】D【解析】【解析】根据指、对数函数的单调性以及幂函数的单调性，结合中间值1进行判断，即可比较出,a b c的大小关系.【详解】因为 0.5xf x 在R上递减，所以00.20.50.50.50.5，又因为 0.5f xx在0,上单调递增，所以0.50.50.50.2，所以0.20.510.50.2，因为 0.5logg xx在0,上单调递减，所以0.50.5log0.2log0.51，所以cab.故选：D.【点睛】本题考查根据指、对、幂函数的单调性比较数值的大小，难度一般.(1)幂函数 f xx，当0时，f x在0,上递增；(2)指数函数、对数函数的单调性由底数a的大小确定.8函数函数2sin()cosxxf xxx在在,的图像大致为（的图像大致为（）ABCD第 5 页 共 17 页【答案】【答案】A【解析】【解析】先考虑 f x的奇偶性，然后利用导数判断 sing xxx的单调性从而判断函数值的正负，再根据特殊值判断出2cosyxx的正负，从而判断出对应的函数图象.【详解】因为定义域为,关于原点对称，22sinsincoscosxxxxfxf xxxxx ，所以 f x是奇函数，因为 sing xxx，cos10g xx，所以当0,x时，g x在0,上递减且 00g，所以对0,x，0g x.当0 x 且0 x 时，0g x，20cosxx，所以 0f x，排除 BD，当x时，201f，排除 C，结合奇偶性，所以只有 A 符合要求.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，难度一般.判断函数图象的常见思路：从奇偶性、单调性、特殊值等方面入手.9已知已知ABC的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，coscos3aBbA，且，且23sin24AB，3b，则，则a（）A34B32C3D3 3【答案】【答案】C【解析】【解析】由射影定理以及coscos3aBbA可得c的值，根据23sin24AB可计算出C的值，结合已知条件可求解出a的值.【详解】因为coscos3aBbA，所以coscos3caBbA，又因为23sin24AB，所以1 cos1 cos3224ABC，第 6 页 共 17 页所以1cos2C，所以3C，又因为3bc，3C，所以ABCV是等边三角形，所以3a.故选：C.【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：coscosabCcB，coscosbaCcA，coscoscaBbA.10设函数设函数()sin3f xx，其中，其中0，若函数，若函数()f x在在0,2 上恰有上恰有 2 个零点，则个零点，则的取值范围是（的取值范围是（）A1 5,3 6B5 4,6 3C5 11,6 6D4 11,3 6【答案】【答案】B【解析】【解析】根据3x的范围以及sinyx的零点分布情况，列出对应的不等式组，求解出的范围即可.【详解】因为0,2x，所以,2333x，因为sinyx在y轴右侧的第二个零点为2，第三个零点为3，所以223233，所以5463，所以5 4,6 3.故选：B.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求解的范围，难度一般.根据sinyAx在给定区间上的零点个数求解参数范围的方法：将x看作一个整体，并利用正弦函数的零点分布确定出x的范围，从而求解出的范围.11过点过点(1,0)P 的直线与圆的直线与圆22:(3)4Exy相切于相切于 M，N 两点，且这两点恰好在椭圆两点，且这两点恰好在椭圆2222:1(0)xyCabab上，设椭圆的右顶点为上，设椭圆的右顶点为 A，若四边形，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为（为平行四边形，则椭圆的离心率为（）第 7 页 共 17 页A217B22C35D427【答案】【答案】D【解析】【解析】根据条件求解出,M N A的坐标，将点代入椭圆方程即可得到关于22,a b的方程，由此求解出离心率的值.【详解】如图所示：设切线方程为:1l yk x，所以圆心到直线的距离2421kdk，所以33k ，所以33:1,:133PMPNlyxlyx，因为2231,334yxxy，所以23xy，所以2,3M，所以2,3N，又因为四边形PMAN为平行四边形且PMPN，所以四边形PMAN为菱形，因为1,0P，MN中点为2,0，所以5,0A，所以222543125ab，所以2257b，所以222617bea，所以427e.故选：D.【点睛】本题考查求解椭圆的离心率，着重考查了直线与圆的相切关系，难度一般.求解直线与圆的相切问题，可通过两种方法求解：(1)几何法：利用半弦长、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形完成求解；(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用0 来进行求解.第 8 页 共 17 页12已知函数已知函数31()2sin331xf xxx在区间在区间 2,2的值域为的值域为,m n，则，则mn（）A2B1C0D1【答案】【答案】D【解析】【解析】构造函数 12g xf x，分析 g x的奇偶性，由此得到 g x值域的特点，即可求解出mn的值.【详解】令 331111 32sin32sin323122 31xxxg xf xxxxx，g x的定义域为R关于原点对称，又因为 3311312sin32sin33122 31xxxgxxxxxg x，所以 g x是奇函数，又因为 f x在2 2,上的值域为,m n，所以 g x在2 2,上的值域为11,22mn，又因为 g x为奇函数，所以 maxmin0g xg x，所以10mn，所以1mn.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用以及构造函数的能力，难度较难.奇函数在对称区间上如果有最值，则最值之和为0；偶函数在对称区间上如果有最值，则最值相等.二、填空题二、填空题13已知已知a，b均为单位向量，均为单位向量，1ab，则，则a，b的夹角为的夹角为_.【答案】【答案】23【解析】【解析】将1ab平方，再根据数量积的计算公式即可求解出cos,a b 的值，从而可求,a b 的值.【详解】第 9 页 共 17 页因为1,1,1abab，所以222cos,22cos,1aba ba ba b ，所以1cos,2a b ，所以2,3a b.故答案为：23.【点睛】本题考查向量夹角的求解，难度较易.已知,0manba b mn的值求解向量夹角时，可考虑将manb平方，然后利用cos,a ba ba b 完成夹角求解.14曲线曲线(1)xyxe在在(0,1)处的切线方程为处的切线方程为_.【答案】【答案】10y【解析】【解析】先求解出函数 yf x的导函数 fx，利用 fx计算出切线的斜率，然后根据点斜式方程写出直线的切线方程即可.【详解】因为 1xyf xxe，所以 xfxxe，所以 00f，所以切线方程为：10y 即10y.故答案为：10y.【点睛】本题考查曲线的切线方程的求解，难度较易.15已知直线已知直线20 xy过双曲线过双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为_.【答案】【答案】2 2【解析】【解析】根据直线方程可知双曲线的焦点坐标，再根据垂直关系得到,a b的关系，结合c的值即可求解出实轴的长度.【详解】因为20 xy过点 2,0,0,2，且双曲线的焦点在x轴上，所以2c，又因为20 xy与一条渐近线垂直，所以1ba，所以2224acba，所以2a，所以实轴长为2 2.第 10 页 共 17 页故答案为：2 2.【点睛】本题考查根据双曲线的几何性质求解实轴长度，难度一般.注意：已知双曲线的方程，则可以通过双曲线的方程确定出焦点所在的坐标轴.16已知四棱锥已知四棱锥PABCD的五个顶点在球的五个顶点在球 O 的球面上，底面的球面上，底面ABCD为矩形，且为矩形，且2 3AB，4BC，侧棱长均为，侧棱长均为2 2，则球，则球 O 的表面积为的表面积为_.【答案】【答案】64【解析】【解析】根据条件先确定出球心的位置，然后根据矩形ABCD的外接圆半径以及PE长度，利用勾股定理即可计算出四棱锥外接球的半径，即可求解出球的表面积.【详解】如图所示，记ACBDE，设球的半径为R，球心为O，因为2 3AB，4BC，所以222 7ACABBC，所以7BE，又因为四棱锥的侧棱均相等，所以PE 底面ABCD，所以221PEPBBE且球心O在直线PE上，所以22271RR，所以4R，所以球的表面积为：2464SR.故答案为：64.【点睛】本题考查空间几何体的外接球的表面积计算，难度一般.求解空间几何的外接球的表面积或体积：第一步先确定球心位置，第二步根据已知长度求解出球的半径，第三步利用公式求解出表面积或体积.三、解答题三、解答题17为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，有关部门通过随机抽样，得到如图为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，有关部门通过随机抽样，得到如图 1 的频率分布直方图的频率分布直方图.第 11 页 共 17 页（1）求）求 a 的值，并估计该市公益志愿者年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；的值，并估计该市公益志愿者年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据世界卫生组织确定新的年龄分段，青年是指年龄）根据世界卫生组织确定新的年龄分段，青年是指年龄 1544 岁的年轻人岁的年轻人.据统计，该市人口约为据统计，该市人口约为 300 万人，其中公益志愿者约占总人口的万人，其中公益志愿者约占总人口的 40%.试根据直方图估计该市青年公益志愿者的人数试根据直方图估计该市青年公益志愿者的人数.【答案】【答案】（1）0.03a，49x；（2）39.6 万【解析】【解析】(1)利用频率和为1计算出a的值，再根据每组数据的组中值乘以频率并将结果相加即可得到平均数；(2)先计算青年公益志愿者的频率，然后利用公益志愿者总人数乘以对应的频率即可.【详解】（1）(0.0050.010.020.0250.01)101a，0.03a 该市公益志愿者的平均年龄：200.05300.1400.2500.3600.25700.149x（2）由频率分布直方图可得年龄 1544 岁的频率为：9(0.0050.010.02)100.3310，估计该市青年公益志愿者的人数为：30040%0.3339.6（万）【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，难度较易.(1)频率分布直方图中，各组数据的频率之和为1；(2)频率分布直方图中的小矩形的面积代表该组数据的频率.18若椭圆若椭圆的焦点在的焦点在 x 轴上，离心率为轴上，离心率为35，依次连接，依次连接的四个顶点所得四边形的面积为的四个顶点所得四边形的面积为 40.（1）试求）试求的标准方程；的标准方程；（2）若曲线）若曲线 M 上任意一点到上任意一点到的右焦点的距离与它到直线的右焦点的距离与它到直线3x 的距离相等，直线的距离相等，直线1l第 12 页 共 17 页经过经过的下顶点和右顶点，的下顶点和右顶点，12ll，直线，直线2l与曲线与曲线 M 相交于点相交于点 P、Q（点（点 P 在第一象限内，点在第一象限内，点 Q 在第四象限内），设在第四象限内），设的下顶点是的下顶点是 B，上顶点是，上顶点是 D，且，且14PBDQBDSS，求直线，求直线2l的方程的方程.【答案】【答案】（1）2212516xy；（2）25203840 xy【解析】【解析】(1)根据条件列出关于,a b c的等式构建方程组求解出,a b c，即可求解出椭圆的标准方程；(2)根据抛物线的定义可求M的轨迹方程，利用直线2l联立M的轨迹方程得到韦达定理形式，再根据三角形的面积比求解出直线2l的方程.【详解】（1）由题意可知：22235240caabcab解得543abc，所求的标准方程是2212516xy；（2）由（1）可知的右焦点是(3,0)，下顶点(0,4)B，上顶点(0,4)D，右顶点是(5,0)A又由抛物线定义可知：曲线 M 是一条抛物线，M 的焦点是(3,0)M 的方程是212yx，又10(4)4505lk，12ll121llkk，254lk ，设直线2l的方程为54yxm 则联立方程组：25412yxmyx，消去y得：22258(524)160 xmxm，且，所以2264 52464 250mm，所以125m ，所以由韦达定理得：122128(524)251625mxxmxx，又由14PBDQBDSS可得1214BD xBD x，即：1214xx第 13 页 共 17 页联立方程组：12212128(524)25162514mxxmxxxx，解得：965m，或3215m 又点 P 在第一象限内，点 Q 在第四象限内，3215m 不合，舍去所求直线2l的方程为59645yx，即：25203840 xy.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，难度较难.圆锥曲线中的面积比、长度比等，注意将其转化为坐标的形式，合理运用韦达定理解决问题.19已知函数已知函数2()()ln()f xxxax aR.（1）当）当0a 时，讨论时，讨论()f x的零点情况；的零点情况；（2）当）当1a 时，记时，记21()()2F xf xxx在在1,22上的最小值为上的最小值为 m，求证：，求证：5122m.【答案】【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析【解析】【解析】(1)f x必有一个零点1x，可通过分析2()h xxxa的零点得到 f x的零点情况；(2)对 F x求导，分析导函数中1()lng xxx的正负情况，得到 F x的单调性，由此可计算出 minF x的0 x表示，再次构造关于0 x的新函数求解出m的范围即可.【详解】（1）()f x的定义域为(0,).令2()h xxxa，则14a .分情况讨论：当104a时，0141a，则1141022a，1114122a.所以()f x在(0,)上有三个零点，分别为1142a，1142a和 1.当14a 时，2211()()lnln42f xxxxxx，第 14 页 共 17 页所以()f x在(0,)上有两个零点，分别为1,12.当14a 时，1 40a ，所以，对(0,)x，()0h x 恒成立.从而，()f x在(0,)上有一个零点 1.综上所述：当104a时，()f x有三个零点：1142a，1142a和 1；当14a 时，()f x有两个零点：12，1；当14a 时，()f x有一个零点为：1；（2）当1a 时，221()(1)ln2F xxxxxx，定义域为(0,).则11()(21)ln2(21)lnF xxxxxxx.当1,22x时，210 x-，令1()lng xxx，22111()xg xxxx.所以()g x在(1,2)上单调递增.(1)ln1 10g，1(2)ln202g，由零点存在性定理，存在0(1,2)x，使得0()0g x，即001ln xx故当01(,)2xx时，()0F x；当0(,2)xx时，()0F x.()F x在01(,)2x上单调递减，在0(,2)x上单调递增.所以，22222min000000000000011111()()(1)ln(1)1222mF xF xxxxxxxxxxxxx.令211()1,(1,2)2G xxxx，则321()0 xG xx.所以()G x在(1,2)上单调递减.故(2)()(1)GG xG，而5(2)2G，1(1)2G，从而51()22G x，即5122m.【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点个数以及利用导数证明不等式，难度较难.对于导函数的隐零点问题，可通过二次求导分析出导函数的正负，从而得到函数的单调性并完成最值的分析.第 15 页 共 17 页20在直角坐标系在直角坐标系xOy中，直线中，直线l的参数方程为的参数方程为3243xtyt（t 为参数）为参数）.以坐标原点以坐标原点O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为22(13sin)4.（1）求直线）求直线l的普通方程和曲线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）设点）设点 P 为曲线为曲线 C 上的动点，点上的动点，点 M，N 为直线为直线l上的两个动点，若上的两个动点，若PMN是以是以MPN为直角的等腰三角形，求为直角的等腰三角形，求PMN直角边长的最小值直角边长的最小值.【答案】【答案】（1）曲线 C：2214xy，直线l：32110 xy；（2）14【解析】【解析】(1)根据参数方程中t相等的原则求解出直线l的普通方程，根据cossinxy写出曲线C的直角坐标方程；(2)根据等腰直角三角形的直角边长等于直角顶点到底边的长度的2倍，将点P设为参数形式并利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性求解出最小值.【详解】（1）曲线 C 可化为：223(sin)4曲线 C 的直角坐标方程为2244xy，即2214xy 直线l的普通方程为：32110 xy（2）由（1）可设 C 的参数方程为2cossinxy（为参数），(2cos,sin)P 则点 P 到直线l的距离为：|2 3cos2sin11|7d4sin()1137要使PMN是以MPN为直角的等腰三角形，则直角边长为2 4sin()11327d.所以，当6时，直角边长取最小值14.【点睛】本题考查坐标系与参数方程的综合运用，难度一般.(1)极坐标与直角坐标的互化：第 16 页 共 17 页cossinxy；(2)求解椭圆或圆上点到直线的距离的最值时，将椭圆或者圆上的点设为参数形式，利用三角函数的有界性可快速求解出距离最值.21已知函数已知函数()|1|21|f xaxx（1）当）当1a 时，求不等式时，求不等式()3f x 的解集；的解集；（2）当）当2a 时，对任意时，对任意xR，()f xc恒成立，且当恒成立，且当 c 取最大值时，正数取最大值时，正数 m，n满足满足2mnc，求，求12mn的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）|1x x 或1x；（2）9,2【解析】【解析】(1)方法一：作出 f x的图象，利用图象求解出不等式解集；方法二：采用零点分段法，分类讨论不等式成立的条件，从而求解出解集；(2)先根据恒成立条件求解出c的值，然后根据“1”的妙用利用基本不等式求解出12mn的取值范围.【详解】（1）方法一：当1a 时，作出()f x的图像，如图所示3,11()1212,1213,2x xf xxxxxx x 它与直线3y 的交点为(1,3),(1,3)，()3f x 的解集为|1x x 或1x；方法二：1a 时，不等式()3f x 可化为1133xxx 或11223xxx 第 17 页 共 17 页或11233xxx，()3f x 的解集为|1x x 或1x（2）当2a 时，()|21|21|21(21)|2f xxxxx.所以2c，则max2c，即22mn.12121211222mnmnmnmnmnmn 59222n mm n当且仅当23mn时，12mn取最小值92.所以12mn的取值范围为9,2.【点睛】(1)解绝对值不等式的常用方法：零点分段法、几何意义法、图象法；(2)已知,0ambnc a b c m n，求解0,0dedemn的最小值的方法：将demn变形为ambndecmn，然后展开利用基本不等式求解最小值.
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第 1 页 共 17 页2020 届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测数学（文）试题届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测数学（文）试题一、单选题一、单选题1集合集合 1,0,1A ，2|1By yxxA,，则，则AB（）A1B0C 1,0D0,1【答案】【答案】C【解析】【解析】根据要求先用列举法表示出集合B，然后根据交集的运算求解出AB的结果.【详解】因为2|1By yxxA,，所以0,1B，所以1,0AB.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2复数复数201911iiA1B-1CiDi【答案】【答案】D【解析】【解析】利用复数代数形式的乘除运算11ii，再由虚数单位i的性质求解【详解】21(1)21(1)(1)2iiiiiii，201920194 50431()()1iiiiii 故答案为：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3若若3cos()23，则，则cos2（）A23B13C13D23第 2 页 共 17 页【答案】【答案】C【解析】【解析】本道题化简式子,计算出sin,结合2cos212sin,即可.【详解】3cossin23 ,得到3sin3,所以211cos21 2sin1 233 ,故选 C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有假设第一次打捞的草鱼有 50 尾，第二次打捞的草鱼总数为尾，第二次打捞的草鱼总数为 50 尾，其中有标记的为尾，其中有标记的为 7 尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（）A250B350C450D550【答案】【答案】B【解析】【解析】根据池塘中带有标记的草鱼数量与草鱼总数的比值等于样本中带有标记的草鱼数量与样本容量的比值.【详解】设池塘中草鱼的数量大约为x，可得50750 x，所以357x，所以池塘中草鱼大约有350条.故选：B.【点睛】本题考查用样本估计总体，难度较易.总体中某一类个体所占的比例等于样本中该类个体所占的比例.5若变量若变量x，y满足约束条件满足约束条件3422xyxyy ，则，则2zxy的最大值为（的最大值为（）A18B8C5D22【答案】【答案】B【解析】【解析】根据约束条件作出可行域，然后利用平移直线法求解出目标函数的最大值.【详解】作出可行域如下图：第 3 页 共 17 页如图所示，当直线2yxz 经过点A时，此时截距最大，此时有maxz，又因为32xyy，所以52xy，所以max2 528z .故选：B.【点睛】根据约束条件求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法将目标函数的最值与对应直线的截距联系在一起，从而根据截距求解出最值.6已知已知 m，n 是不同的直线，是不同的直线，是不重合的平面，下列命题中正确的有（是不重合的平面，下列命题中正确的有（）若若m，m，则，则/若若/m，m，n，则，则/mn若若/m，/m，则，则/若若，m，n，则，则mnABCD【答案】【答案】A【解析】【解析】利用反证法判断对错；根据线面平行的性质定理判断对错；由两平面相交进行判断；从正方体中找出对应模型判断.【详解】若l，则此时过l有两个平面,与已知直线m垂直，与实际矛盾，所以假设不成立，所以命题正确；由线面平行的性质定理内容可知命题正确；当l时，若/,ml mm，此时/,/mm，所以命题不正确；取正方体任意相邻的两个面,，m是的一条面对角线，n是的一条面对角线，此时mn显然不成立，所以命题错误.所以只有正确.第 4 页 共 17 页故选：A.【点睛】本题考查空间中点、线、面位置关系的判断，难度一般.对于符号语言描述的空间中点、线、面位置关系的命题，可通过反证法、特殊模型法、定义法等方法判断命题的真假.7已知已知0.20.5a，0.50.2b，0.5log0.2c，则三者的大小关系正确的是（，则三者的大小关系正确的是（）AacbBcbaCbacDcab【答案】【答案】D【解析】【解析】根据指、对数函数的单调性以及幂函数的单调性，结合中间值1进行判断，即可比较出,a b c的大小关系.【详解】因为 0.5xf x 在R上递减，所以00.20.50.50.50.5，又因为 0.5f xx在0,上单调递增，所以0.50.50.50.2，所以0.20.510.50.2，因为 0.5logg xx在0,上单调递减，所以0.50.5log0.2log0.51，所以cab.故选：D.【点睛】本题考查根据指、对、幂函数的单调性比较数值的大小，难度一般.(1)幂函数 f xx，当0时，f x在0,上递增；(2)指数函数、对数函数的单调性由底数a的大小确定.8函数函数2sin()cosxxf xxx在在,的图像大致为（的图像大致为（）ABCD第 5 页 共 17 页【答案】【答案】A【解析】【解析】先考虑 f x的奇偶性，然后利用导数判断 sing xxx的单调性从而判断函数值的正负，再根据特殊值判断出2cosyxx的正负，从而判断出对应的函数图象.【详解】因为定义域为,关于原点对称，22sinsincoscosxxxxfxf xxxxx ，所以 f x是奇函数，因为 sing xxx，cos10g xx，所以当0,x时，g x在0,上递减且 00g，所以对0,x，0g x.当0 x 且0 x 时，0g x，20cosxx，所以 0f x，排除 BD，当x时，201f，排除 C，结合奇偶性，所以只有 A 符合要求.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，难度一般.判断函数图象的常见思路：从奇偶性、单调性、特殊值等方面入手.9已知已知ABC的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，coscos3aBbA，且，且23sin24AB，3b，则，则a（）A34B32C3D3 3【答案】【答案】C【解析】【解析】由射影定理以及coscos3aBbA可得c的值，根据23sin24AB可计算出C的值，结合已知条件可求解出a的值.【详解】因为coscos3aBbA，所以coscos3caBbA，又因为23sin24AB，所以1 cos1 cos3224ABC，第 6 页 共 17 页所以1cos2C，所以3C，又因为3bc，3C，所以ABCV是等边三角形，所以3a.故选：C.【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：coscosabCcB，coscosbaCcA，coscoscaBbA.10设函数设函数()sin3f xx，其中，其中0，若函数，若函数()f x在在0,2 上恰有上恰有 2 个零点，则个零点，则的取值范围是（的取值范围是（）A1 5,3 6B5 4,6 3C5 11,6 6D4 11,3 6【答案】【答案】B【解析】【解析】根据3x的范围以及sinyx的零点分布情况，列出对应的不等式组，求解出的范围即可.【详解】因为0,2x，所以,2333x，因为sinyx在y轴右侧的第二个零点为2，第三个零点为3，所以223233，所以5463，所以5 4,6 3.故选：B.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求解的范围，难度一般.根据sinyAx在给定区间上的零点个数求解参数范围的方法：将x看作一个整体，并利用正弦函数的零点分布确定出x的范围，从而求解出的范围.11过点过点(1,0)P 的直线与圆的直线与圆22:(3)4Exy相切于相切于 M，N 两点，且这两点恰好在椭圆两点，且这两点恰好在椭圆2222:1(0)xyCabab上，设椭圆的右顶点为上，设椭圆的右顶点为 A，若四边形，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为（为平行四边形，则椭圆的离心率为（）第 7 页 共 17 页A217B22C35D427【答案】【答案】D【解析】【解析】根据条件求解出,M N A的坐标，将点代入椭圆方程即可得到关于22,a b的方程，由此求解出离心率的值.【详解】如图所示：设切线方程为:1l yk x，所以圆心到直线的距离2421kdk，所以33k ，所以33:1,:133PMPNlyxlyx，因为2231,334yxxy，所以23xy，所以2,3M，所以2,3N，又因为四边形PMAN为平行四边形且PMPN，所以四边形PMAN为菱形，因为1,0P，MN中点为2,0，所以5,0A，所以222543125ab，所以2257b，所以222617bea，所以427e.故选：D.【点睛】本题考查求解椭圆的离心率，着重考查了直线与圆的相切关系，难度一般.求解直线与圆的相切问题，可通过两种方法求解：(1)几何法：利用半弦长、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形完成求解；(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用0 来进行求解.第 8 页 共 17 页12已知函数已知函数31()2sin331xf xxx在区间在区间 2,2的值域为的值域为,m n，则，则mn（）A2B1C0D1【答案】【答案】D【解析】【解析】构造函数 12g xf x，分析 g x的奇偶性，由此得到 g x值域的特点，即可求解出mn的值.【详解】令 331111 32sin32sin323122 31xxxg xf xxxxx，g x的定义域为R关于原点对称，又因为 3311312sin32sin33122 31xxxgxxxxxg x，所以 g x是奇函数，又因为 f x在2 2,上的值域为,m n，所以 g x在2 2,上的值域为11,22mn，又因为 g x为奇函数，所以 maxmin0g xg x，所以10mn，所以1mn.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用以及构造函数的能力，难度较难.奇函数在对称区间上如果有最值，则最值之和为0；偶函数在对称区间上如果有最值，则最值相等.二、填空题二、填空题13已知已知a，b均为单位向量，均为单位向量，1ab，则，则a，b的夹角为的夹角为_.【答案】【答案】23【解析】【解析】将1ab平方，再根据数量积的计算公式即可求解出cos,a b 的值，从而可求,a b 的值.【详解】第 9 页 共 17 页因为1,1,1abab，所以222cos,22cos,1aba ba ba b ，所以1cos,2a b ，所以2,3a b.故答案为：23.【点睛】本题考查向量夹角的求解，难度较易.已知,0manba b mn的值求解向量夹角时，可考虑将manb平方，然后利用cos,a ba ba b 完成夹角求解.14曲线曲线(1)xyxe在在(0,1)处的切线方程为处的切线方程为_.【答案】【答案】10y【解析】【解析】先求解出函数 yf x的导函数 fx，利用 fx计算出切线的斜率，然后根据点斜式方程写出直线的切线方程即可.【详解】因为 1xyf xxe，所以 xfxxe，所以 00f，所以切线方程为：10y 即10y.故答案为：10y.【点睛】本题考查曲线的切线方程的求解，难度较易.15已知直线已知直线20 xy过双曲线过双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为_.【答案】【答案】2 2【解析】【解析】根据直线方程可知双曲线的焦点坐标，再根据垂直关系得到,a b的关系，结合c的值即可求解出实轴的长度.【详解】因为20 xy过点 2,0,0,2，且双曲线的焦点在x轴上，所以2c，又因为20 xy与一条渐近线垂直，所以1ba，所以2224acba，所以2a，所以实轴长为2 2.第 10 页 共 17 页故答案为：2 2.【点睛】本题考查根据双曲线的几何性质求解实轴长度，难度一般.注意：已知双曲线的方程，则可以通过双曲线的方程确定出焦点所在的坐标轴.16已知四棱锥已知四棱锥PABCD的五个顶点在球的五个顶点在球 O 的球面上，底面的球面上，底面ABCD为矩形，且为矩形，且2 3AB，4BC，侧棱长均为，侧棱长均为2 2，则球，则球 O 的表面积为的表面积为_.【答案】【答案】64【解析】【解析】根据条件先确定出球心的位置，然后根据矩形ABCD的外接圆半径以及PE长度，利用勾股定理即可计算出四棱锥外接球的半径，即可求解出球的表面积.【详解】如图所示，记ACBDE，设球的半径为R，球心为O，因为2 3AB，4BC，所以222 7ACABBC，所以7BE，又因为四棱锥的侧棱均相等，所以PE 底面ABCD，所以221PEPBBE且球心O在直线PE上，所以22271RR，所以4R，所以球的表面积为：2464SR.故答案为：64.【点睛】本题考查空间几何体的外接球的表面积计算，难度一般.求解空间几何的外接球的表面积或体积：第一步先确定球心位置，第二步根据已知长度求解出球的半径，第三步利用公式求解出表面积或体积.三、解答题三、解答题17为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，有关部门通过随机抽样，得到如图为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，有关部门通过随机抽样，得到如图 1 的频率分布直方图的频率分布直方图.第 11 页 共 17 页（1）求）求 a 的值，并估计该市公益志愿者年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；的值，并估计该市公益志愿者年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据世界卫生组织确定新的年龄分段，青年是指年龄）根据世界卫生组织确定新的年龄分段，青年是指年龄 1544 岁的年轻人岁的年轻人.据统计，该市人口约为据统计，该市人口约为 300 万人，其中公益志愿者约占总人口的万人，其中公益志愿者约占总人口的 40%.试根据直方图估计该市青年公益志愿者的人数试根据直方图估计该市青年公益志愿者的人数.【答案】【答案】（1）0.03a，49x；（2）39.6 万【解析】【解析】(1)利用频率和为1计算出a的值，再根据每组数据的组中值乘以频率并将结果相加即可得到平均数；(2)先计算青年公益志愿者的频率，然后利用公益志愿者总人数乘以对应的频率即可.【详解】（1）(0.0050.010.020.0250.01)101a，0.03a 该市公益志愿者的平均年龄：200.05300.1400.2500.3600.25700.149x（2）由频率分布直方图可得年龄 1544 岁的频率为：9(0.0050.010.02)100.3310，估计该市青年公益志愿者的人数为：30040%0.3339.6（万）【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，难度较易.(1)频率分布直方图中，各组数据的频率之和为1；(2)频率分布直方图中的小矩形的面积代表该组数据的频率.18若椭圆若椭圆的焦点在的焦点在 x 轴上，离心率为轴上，离心率为35，依次连接，依次连接的四个顶点所得四边形的面积为的四个顶点所得四边形的面积为 40.（1）试求）试求的标准方程；的标准方程；（2）若曲线）若曲线 M 上任意一点到上任意一点到的右焦点的距离与它到直线的右焦点的距离与它到直线3x 的距离相等，直线的距离相等，直线1l第 12 页 共 17 页经过经过的下顶点和右顶点，的下顶点和右顶点，12ll，直线，直线2l与曲线与曲线 M 相交于点相交于点 P、Q（点（点 P 在第一象限内，点在第一象限内，点 Q 在第四象限内），设在第四象限内），设的下顶点是的下顶点是 B，上顶点是，上顶点是 D，且，且14PBDQBDSS，求直线，求直线2l的方程的方程.【答案】【答案】（1）2212516xy；（2）25203840 xy【解析】【解析】(1)根据条件列出关于,a b c的等式构建方程组求解出,a b c，即可求解出椭圆的标准方程；(2)根据抛物线的定义可求M的轨迹方程，利用直线2l联立M的轨迹方程得到韦达定理形式，再根据三角形的面积比求解出直线2l的方程.【详解】（1）由题意可知：22235240caabcab解得543abc，所求的标准方程是2212516xy；（2）由（1）可知的右焦点是(3,0)，下顶点(0,4)B，上顶点(0,4)D，右顶点是(5,0)A又由抛物线定义可知：曲线 M 是一条抛物线，M 的焦点是(3,0)M 的方程是212yx，又10(4)4505lk，12ll121llkk，254lk ，设直线2l的方程为54yxm 则联立方程组：25412yxmyx，消去y得：22258(524)160 xmxm，且，所以2264 52464 250mm，所以125m ，所以由韦达定理得：122128(524)251625mxxmxx，又由14PBDQBDSS可得1214BD xBD x，即：1214xx第 13 页 共 17 页联立方程组：12212128(524)25162514mxxmxxxx，解得：965m，或3215m 又点 P 在第一象限内，点 Q 在第四象限内，3215m 不合，舍去所求直线2l的方程为59645yx，即：25203840 xy.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，难度较难.圆锥曲线中的面积比、长度比等，注意将其转化为坐标的形式，合理运用韦达定理解决问题.19已知函数已知函数2()()ln()f xxxax aR.（1）当）当0a 时，讨论时，讨论()f x的零点情况；的零点情况；（2）当）当1a 时，记时，记21()()2F xf xxx在在1,22上的最小值为上的最小值为 m，求证：，求证：5122m.【答案】【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析【解析】【解析】(1)f x必有一个零点1x，可通过分析2()h xxxa的零点得到 f x的零点情况；(2)对 F x求导，分析导函数中1()lng xxx的正负情况，得到 F x的单调性，由此可计算出 minF x的0 x表示，再次构造关于0 x的新函数求解出m的范围即可.【详解】（1）()f x的定义域为(0,).令2()h xxxa，则14a .分情况讨论：当104a时，0141a，则1141022a，1114122a.所以()f x在(0,)上有三个零点，分别为1142a，1142a和 1.当14a 时，2211()()lnln42f xxxxxx，第 14 页 共 17 页所以()f x在(0,)上有两个零点，分别为1,12.当14a 时，1 40a ，所以，对(0,)x，()0h x 恒成立.从而，()f x在(0,)上有一个零点 1.综上所述：当104a时，()f x有三个零点：1142a，1142a和 1；当14a 时，()f x有两个零点：12，1；当14a 时，()f x有一个零点为：1；（2）当1a 时，221()(1)ln2F xxxxxx，定义域为(0,).则11()(21)ln2(21)lnF xxxxxxx.当1,22x时，210 x-，令1()lng xxx，22111()xg xxxx.所以()g x在(1,2)上单调递增.(1)ln1 10g，1(2)ln202g，由零点存在性定理，存在0(1,2)x，使得0()0g x，即001ln xx故当01(,)2xx时，()0F x；当0(,2)xx时，()0F x.()F x在01(,)2x上单调递减，在0(,2)x上单调递增.所以，22222min000000000000011111()()(1)ln(1)1222mF xF xxxxxxxxxxxxx.令211()1,(1,2)2G xxxx，则321()0 xG xx.所以()G x在(1,2)上单调递减.故(2)()(1)GG xG，而5(2)2G，1(1)2G，从而51()22G x，即5122m.【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点个数以及利用导数证明不等式，难度较难.对于导函数的隐零点问题，可通过二次求导分析出导函数的正负，从而得到函数的单调性并完成最值的分析.第 15 页 共 17 页20在直角坐标系在直角坐标系xOy中，直线中，直线l的参数方程为的参数方程为3243xtyt（t 为参数）为参数）.以坐标原点以坐标原点O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为22(13sin)4.（1）求直线）求直线l的普通方程和曲线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）设点）设点 P 为曲线为曲线 C 上的动点，点上的动点，点 M，N 为直线为直线l上的两个动点，若上的两个动点，若PMN是以是以MPN为直角的等腰三角形，求为直角的等腰三角形，求PMN直角边长的最小值直角边长的最小值.【答案】【答案】（1）曲线 C：2214xy，直线l：32110 xy；（2）14【解析】【解析】(1)根据参数方程中t相等的原则求解出直线l的普通方程，根据cossinxy写出曲线C的直角坐标方程；(2)根据等腰直角三角形的直角边长等于直角顶点到底边的长度的2倍，将点P设为参数形式并利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性求解出最小值.【详解】（1）曲线 C 可化为：223(sin)4曲线 C 的直角坐标方程为2244xy，即2214xy 直线l的普通方程为：32110 xy（2）由（1）可设 C 的参数方程为2cossinxy（为参数），(2cos,sin)P 则点 P 到直线l的距离为：|2 3cos2sin11|7d4sin()1137要使PMN是以MPN为直角的等腰三角形，则直角边长为2 4sin()11327d.所以，当6时，直角边长取最小值14.【点睛】本题考查坐标系与参数方程的综合运用，难度一般.(1)极坐标与直角坐标的互化：第 16 页 共 17 页cossinxy；(2)求解椭圆或圆上点到直线的距离的最值时，将椭圆或者圆上的点设为参数形式，利用三角函数的有界性可快速求解出距离最值.21已知函数已知函数()|1|21|f xaxx（1）当）当1a 时，求不等式时，求不等式()3f x 的解集；的解集；（2）当）当2a 时，对任意时，对任意xR，()f xc恒成立，且当恒成立，且当 c 取最大值时，正数取最大值时，正数 m，n满足满足2mnc，求，求12mn的取值范围的取值范围.【答案】【答案】（1）|1x x 或1x；（2）9,2【解析】【解析】(1)方法一：作出 f x的图象，利用图象求解出不等式解集；方法二：采用零点分段法，分类讨论不等式成立的条件，从而求解出解集；(2)先根据恒成立条件求解出c的值，然后根据“1”的妙用利用基本不等式求解出12mn的取值范围.【详解】（1）方法一：当1a 时，作出()f x的图像，如图所示3,11()1212,1213,2x xf xxxxxx x 它与直线3y 的交点为(1,3),(1,3)，()3f x 的解集为|1x x 或1x；方法二：1a 时，不等式()3f x 可化为1133xxx 或11223xxx 第 17 页 共 17 页或11233xxx，()3f x 的解集为|1x x 或1x（2）当2a 时，()|21|21|21(21)|2f xxxxx.所以2c，则max2c，即22mn.12121211222mnmnmnmnmnmn 59222n mm n当且仅当23mn时，12mn取最小值92.所以12mn的取值范围为9,2.【点睛】(1)解绝对值不等式的常用方法：零点分段法、几何意义法、图象法；(2)已知,0ambnc a b c m n，求解0,0dedemn的最小值的方法：将demn变形为ambndecmn，然后展开利用基本不等式求解最小值.
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