2020届福建省南平市高三毕业班第一次综合质量检测数学（文）试题 PDF版.rar

南平市 20192020 学年高中毕业班第一次综合质量检查文文 科科 数数 学学（满分：（满分：150 分分考试时间：考试时间：120 分钟）分钟）出题意图总体指导思想是由于是第一次综合质量检测，以考查基础知识和基础能力为主，考通性通法。设置的题目兼顾到二类校学生的情况，容易和较容易题比例大。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第卷卷一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,Ax xBx x 则RBA A.12xxB.12xxC.12xxD.12xx【解析】1RAx x，21RBAxx，故选 B【考查意图】本题以集合为载体，考查补集与交集等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.2.若复数ii+a1=-z为纯虚数，则实数a的值为A2B1C1D2【解析】i+=ii=1=212121aaa+-a-z）（ii，由已知01=-a且01+a，解得1=a，故选 B【考查意图】本题以复数为载体，考查复数的概念和复数的除法运算等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.3.已知1ln2a，1ln2b,12ec(其中e为自然对数的底数)，则AcabBacbCbcaDcba【解析】11ln2a，1ln02b，120e1c，可得：bca,故选 B【考查意图】本题以对数、指数为为载体，考查对数、指数的运算及比较大小等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.4.已知平面向量a与b满足(3,1)a，|4b，且(2)aba，则abA2B3C4D5【解析】由221(3)2a，又(2)aba得：2(2)2220abaaa ba b，1a b，22222244abaa bb，故选 C【考查意图】本题以平面向量为载体，考查平面向量的坐标运算，模及数量积运算等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.5一个盒子中装有 4 个大小、形状完全相同的小球，其中 1 个白球，2 个红球，1 个黄球，若从中随机取出 1 个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出 1 个球，则两次取出小球颜色不同的概率是A58B18C56D16【解析】基本事件为共 16 个，两次取出小球颜色相同的事件有 6 个，所以，两次取出小球颜色相同的概率是63168，两次取出小球颜色不同的概率是35188故选 A.【考查意图】本题以古典概型为载体，考查用列举法求基本事件的总数、对立事件概率等知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.6.已知椭圆)0(1=2222baby+ax：E过点P（2322，），椭圆E的离心率为22,则椭圆E的焦距为A1B2C2D.22【解析】由已知得ac=22，1432122=+ba，又222c+b=a，联立解得12=c，a,b=1，因此焦距为 2，故选 B【考查意图】本题以椭圆为载体，考查椭圆及其几何性质等知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.7.已知函数()3sin2cos2f xxx，把函数()f x的图象沿 x 轴向左平移6个单位，得到函数()g x的图象下列关于函数()g x的说法正确的是A.在,2上是减函数B.在区间2,63上的值域为1,1C.函数()g x是奇函数D.其图象关于直线2x 对称【解析】()2sin(2)6f xx，()2sin 2()2sin 22cos2662g xxxx.()g x是偶函数,在,2上不单调,在区间2,63上的值域为2,1，其图像关于直线2x对称.故选D.【考查意图】本题以三角函数为载体，考查三角函数图象变换与性质等知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.8.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”右图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则输出的n A.5B.3C.4D.2【解析】n=1 时，a=9,b=4;n=2 时，a=13.5,b=8;n=3 时，a=20.25,b=16;n=4 时，a=30.375,b=32,此时输出 n=4。故选C.【考查意图】利用程序框图的顺序结构、循环结构,结合实际问题的已知条件求出输出的 n 的值。考查程序框图的三种基本逻辑结构及应用，考查学生的文化素养和计算能力。9.函数2xxxx=xf+cossin)(在-，上的图像大致为ABCD【解析】)(xf为奇函数，排除 B、C，当 x0时，0)(xf，排除 D，故选 A【考查意图】本题以函数的大致图像为载体，主要考查从函数的奇偶性判断图像的对称性和从函数取值判断图像的变化趋势等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养.10.给出下列四个命题：*0 xN，使得0sin12x；0a 是210axax 恒成立的充分条件；函数ln()xf xx在点1(e,)e处不存在切线；函数2()9lnf xxx存在零点其中正确命题个数是A1B2C3D.4【解析】01x,sin12,正确；210axax 恒成立，需0a 或2040aaa解得：40a，错误；函数ln()xf xx在点1(e,)e处切线方程为1ey，错误；函数2()9lnf xxx，(1)10f ，(3)9ln390f(1)(3)0ff，所以()f x在1,3存在零点，正确；故选 B【考查意图】本题以充分条件、简易逻辑、函数导数的应用等知识为载体，主要考查不等式恒成立、函数导数的几何意义、函数零点的判断等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养.11.在ABC中，0120ABC,D是线段AC上的点，030DBC，若ABC的面积为2 3，则BD的最大值是A2B3C5D6【解析】由12 3sin1202ac得8ac,因为ABCABDBCDSSS,即112 3sin90sin3022BDcBDa,得8 38 3328BDac，当且仅当2ac时，即4,2ac时，BD取到最大值是3.故选 B.【设计意图】本题以三角形为载体，考查学生运用三角形面积公式的综合能力,并能运用基本不等式求最值.考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养.12.已知定义在R上的连续函数()f x满足()(4)f xfx，且(2)0f，()fx为函数()f x的导函数，当2x 时，有()()0f xfx，则不等式()0 x f x的解集为A(0,6)B(2,0)C(,2)D(,2)(0,6)【解析】构造函数()(),(2)xg xe f xx，则()()()()()0 xxxg xe f xe fxef xfx，()g x在(,2)单调递增，2(2)(2)0gef，当(,2)x 时，()0g x，当(2,2)x 时，()0g x，又0 xe，当(,2)x 时，()0f x，当(2,2)x 时，()0f x，又()f x满足()(4)f xfx，()f x图象关于直线2x 对称，当(2,6)x 时，()0f x，当(,2)(6,)x 时，()0f x，不等式()0 x f x可化为：0()0 xf x或0()0 xf x，可解得：(,2)(0,6)x 故选 D【考查意图】本题以函数性质、导数的应用等知识为载体，主要考查函数的对称性、函数导数应用于判断函数单调性，解不等式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养.第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13.已知2cos()44，则sin2.【解析】由sin2cos(2)cos 2()2422232cos12()1444 .【考查意图】本题以三角恒等变换公式为载体，考查学生运用角的变换的综合能力.考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.14.已知数列na是公差为2的等差数列，若21a，51a，61a 成等比数列，则8a.【解析】2526(1)11aaa，即2111(41)151adadad得110a,又2d ，84a 【考查意图】本题以等差数列、等比数列为载体，考查学生运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.15.已知直三棱柱111-ABC A BC的高为2 3，3BC，0120BAC，则该三棱柱外接球的表面积为.解：底面外接圆半径为12sinBCrA，外接球的半径22211()1342RrAA，外接球的表面积为2416R.【考查意图】考查余弦定理、正弦定理的应用，考查柱体体积、球的表面积计算公式，考查三棱柱与其外接球的结构关系，考查学生的计算能力、空间想象能力。16.已知点12,F F分别为双曲线)0,0(1=：2222babyax-C的左、右焦点，A为直线ax34=与双曲线C的一个交点，若点A在以12FF为直径的圆上，则双曲线C的离心率为_.解：设4,3aAy（），代入1=2222by-ax化简得2297by=，由已知得AFAF21，由向量知识得297)34)(34(bcaca=+-，又222cba=+，整理得27=22ab，则C的离心率223271=+=e【考查意图】本题以双曲线为载体，主要考查直线、双曲线及其几何性质等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想,考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗。以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对照数据x(吨)4567y(吨)2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程axby;),(2121xbyaxnxyxnyxbniiniii（2）已知该厂技术改造前生产 8 吨甲产品的生产能耗为 7 吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？17.（本小题满分 12 分）【解析】(1)5.345.4435.2,5.547654yx,2 分,5.805.4746355.2441iiiyx4 分,12676542222412iix5 分,7.05.541265.35.545.80442241241xxyxyxbiiiii7 分,35.05.57.05.3xbya8 分.35.07.0 xy所求的回归方程为9 分(2)把8x代入回归方程可预测相应的生产能耗是吨25.535.087.0y，10 分7-5.25=1.75 吨，11 分所以，预测生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 1.75 吨.12 分【考查意图】本题以统计为载体，主要考查线性回归方程等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析核心素养.18.（本小题满分 12 分）已知等比数列na的前n项和为nS，且21(,)nnSaaR nN.（1）求数列 na的通项公式；（2）设11nnnnabS S,求数列b n的前n项和nT.18.（本小题满分 12 分）【解析】（1）方法一:当1n 时，1121aSa.1 分当2n 时，112nnnnaSSa,3 分因为 na是等比数列，所以121aa满足 式，所以21aa，即1a，5 分因此等比数列 na的首项为 1,公比为 2,所以等比数列 na的通项公式是12nna.6 分方法二:当1n 时，1121aSa.1 分当2n 时，112nnnnaSSa3 分于是232,4aa aa,由已知得2213aa a,解得10()aa或舍去,5 分因此等比数列 na的首项为 1,公比为 2,于是等比数列 na的通项公式是12nna.6 分（2）由（1）知21nnS，8 分则11nnnnabS S,即1121121212121nnnnnnb，10 分所以121111111113377152121nnnnTbbb,所以11121nnT.12 分方法二:111+1111=nnnnnnnnnnassbS Ss sss，8 分于是121223341111111111111nnnnnTbbbssssssssss10 分由（1）知21nnS，于是11121nnT 12 分【考查意图】本题以等比数列为载体，考查学生求数列通项公式的方法、数列前 项和的方法，考查学生运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.19.（本小题满分 12 分）如图，在几何体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1为矩形，AA1CC1且 AA1=2CC1，E 为 AB1的中点（1）求证：CE平面 A1B1C1；（2）若平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，ABBCCC12，求三棱锥 E-ACC1的体积.19.【解析】（本小题满分 12 分）(1)证明如图，取 A1B1中点 F，连接 EF，FC1，E 为 AB1中点，EF/A1A 且 EF=12A1A，2 分AA1CC1且 AA1=2CC1，EF/CC1且 EF=CC1，即四边形 EFC1C 为平行四边形，CEC1F.4 分111CEABC 平面，1111C FABC 平面，CE平面 A1B1C1.6 分(2)平面 AB B1A1平面 ABC，交线为 AB又矩形 AB B1A1中 A A1AB，AA1平面 ABC，8 分AA1CC1，CC1平面 ABC，9 分BB1CC1，111BBCAC 平面，111CCCAC 平面，BB111CAC平面10 分11111111222EACCBACCB ACCCABCVVVV11 分11122222323 12 分【考查意图】考查直线与平面平行、垂直的位置关系，考查平面与平面垂直的性质、锥体体积计算公式，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力，考查化归转化的数学思想。20（本小题满分 12 分）已知抛物线：Cxy42=，抛物线C的准线为l，焦点为F，A点位于第一象限内且在抛物线C上运动，直线AO（O为坐标原点）交l于B点，直线BF交抛物线C于ED、两点，M为线段DE中点.（1）若AF=5，求直线FB的方程；（2）试问直线AM的斜率是否为定值,若是，求出该值；若不是，说明理由.20【解析】（本小题满分 12 分）（1）抛物线：Cxy42=的准线为1x ，焦点为F（1,0）2 分由AF=5 及抛物线定义得A点横坐标为 4，3 分由A点位于第一象限内且在抛物线：Cxy42=上得A点坐标为（4，4），4 分于是OAk=1，则直线OA的方程为xy=，与准线1x 联立解得 B（-1，-1）5 分因此BFk=21，所以直线FB的方程为2121-x=y，即210 xy 6 分（说明：若通过几何法或其它方法得出BFk=21OAk=21，然后再求直线方程也一样给分）（2）由已知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为ykx，与准线1x 联立解得B（k-，1），于是2kkBF=，7 分由已知0k，故设直线FB的方程为12+=ykx，与xy42=联立并消去x得0482=-k-yy，8 分由于264160k 设1122(,),D x yE xy（），则k821=+yy，则212162xxk9 分由于M为线段DE中点，于是M点坐标为284(1,)kk，10 分直线OA的方程）（0=kkxy，与xy42=联立解得A（kk4,42），11 分所以直线AM的斜率为 0，综上可知直线AM的斜率为定值 012 分【考查意图】本题以直线、抛物线为载体，考查直线、抛物线及其几何性质、直线与抛物线位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.21.（本小题满分 12 分）已知函数()lnaf xxx，其中aR.（1）试讨论函数)(xf的单调性；（2）若1a，试证明：ecos()xxf xx.20.（本小题满分 12 分）【解析】（1）由221()axafxxxx(0)x 知：1 分（i）若0a，2()0(0)xafxxx，)(xf在区间0,上为增函数2 分（ii）若0a，当x0,a时，有()0fx，)(xf在区间0,a上为减函数当x,a 时，有()0fx，)(xf在区间,a 上为增函数 4 分综上：当0a 时，)(xf在区间0,上为增函数；当0a 时，)(xf在区间0,a上为减函数；)(xf在区间,a 上为增函数5 分（2）若1a，则1()ln(0)f xxxx要证ecos()xxf xx，只需证ln1ecosxxxx，即证：ln ecos1xxxx（i）当01x时，ln0 xx，而ecos1 1cos1 1cos10 xx 此时：ln ecos1xxxx6 分（ii）当1x 时，令()ecosln1xg xxxx，0,x7 分()esinln1xg xxx8 分设()()esinln1xh xg xxx，则1()ecosxh xxx1x，1()ecose1 10 xh xxx 9 分当1x 时，()h x单调递增，()(1)esin1 10h xh，即()0g x()g x在1,单调递增，()(1)ecos1 10g xg 10 分即：()ecosln10 xg xxxx ln ecos1xxxxecos()xxf xx11 分综上：当0 x 时，有ecos()xxf xx12 分【考查意图】本题以函数导数的应用知识为载体，主要考查函数导数应用于判断函数单调性，证明不等式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论思想，构造新函数思想方法，考查逻辑推理核心素养.请考生在第 22、23 二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos()14，曲线C的参数方程为：2(cossin)cossinxy，（为参数），BA,为直线l上距离为 2 的两动点，点P为曲线C上的动点且不在直线l上(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程(2)求PAB面积的最大值【解析】法一：直线l的极坐标方程1)4(cos2化成1sincossin,cosyx，直线l的直角坐标方程为01 yx2 分曲线C的参数方程化成：为参数）(,sincossincos2yx.平方相加得2422 yx，即12822yx5 分（2）设点P)sincos,sin2cos2(,则P到直线l的距离为：2|1sincos3|d2|1)sin(10|8 分max252d9 分设PAB的面积为S，则)225(|21maxABS225 10 分法二：也可设点P)sin2,cos22(23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数|2|)(txxf，若1)(xf的解集为)0,1(（1）求t并解不等式2)(xxf；（2）已知,Ra b，若|22|2)(xbaxf,对一切实数x都成立，求证：12ba【解析】（1）由1)(xf可得：121tx，即2121txt解集为（-1，0），所以1t3 分当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x综上所述，解集为(,1)(1,)5 分（2）由题意得baxx2|22|12|对一切实数x恒成立，从而min|)22|12(|2xxba6 分3|)22()12(|22|12|xxxx|22|12|xx的最小值为 3 8 分32ba，又 Rba,1)3(32baaba10 分22.【解析】（本小题满分 10 分）直线l的极坐标方程1)4(cos2化成1sincossin,cosyx，直线l的直角坐标方程为01 yx2 分曲线C的参数方程化成：为参数）(,sincossincos2yx.平方相加得2422 yx，即12822yx5 分设点P)sincos,sin2cos2(,则P到直线l的距离为：2|1sincos3|d2|1)sin(10|8 分max252d9 分设PAB的面积为S，则)225(|21maxABS225 10 分法二：也可设点P)sin2,cos22(23.【解析】（本小题满分 10 分）已知函数|2|)(txxf，若1)(xf的解集为)0,1(.（1）求t并解不等式2)(xxf；（2）已知：Rba,，若|22|2)(xbaxf,对一切实数x都成立，求证：12ba.解：（1）由1)(xf可得：121tx，即2121txt解集为（-1，0），所以1t3 分当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x综上所述，解集为(,1)(1,)5 分（3）由题意得baxx2|22|12|对一切实数x恒成立，从而min|)22|12(|2xxba6 分3|)22()12(|22|12|xxxx|22|12|xx的最小值为 3 8 分32ba，又 Rba,1)3(32baaba10 分