2023届湖北省黄冈市罗田县第一中学高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的虚部为（ ） A．－1 B． C．1 D． 2．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知复数，满足，则（ ） A．1 B． C． D．5 5．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则为( ) A． B． C． D． 8．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 9．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设为锐角，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 12．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______. 14．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为_______. 15．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 16．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 18．（12分）椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值. 19．（12分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数） 年份（届） 2014 2015 2016 2017 2018 41 49 55 57 63 82 96 108 106 123 （1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字） （2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数； （3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望. 参考公式：， 参考数据：，，， 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1． （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值． 21．（12分）已知函数（，为自然对数的底数），. （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 22．（10分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【题目详解】 ，故的虚部为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 2、D 【答案解析】 根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解. 【题目详解】 如图， 因为为等腰三角形，， 所以，, ， 又， ， 解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题. 3、B 【答案解析】 根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积． 【题目详解】 解：分析题意可知，如下图所示， 该几何体为一个正方体中的三棱锥， 最大面的表面边长为的等边三角形， 故其面积为， 故选B． 【答案点睛】 本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 4、A 【答案解析】 首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可． 【题目详解】 解：， ， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 5、B 【答案解析】 由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可. 【题目详解】 解：显然是偶函数 所以只需时，有且只有2个零点即可 令，则 令， 递减，且 递增，且 时，有且只有2个零点， 只需 故选：B 【答案点睛】 考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题. 6、D 【答案解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D． 考点：数列的通项公式． 7、C 【答案解析】 分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【题目详解】 因为集合，， 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 8、D 【答案解析】 根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项. 【题目详解】 因为是定义在上的增函数，故. 又有意义，故，故，所以. 令，则， 故在上为增函数，所以即， 整理得到. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题. 9、C 【答案解析】 由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解 【题目详解】 先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时， 故选：C 【答案点睛】 本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 10、C 【答案解析】 讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案. 【题目详解】 解：当时，，由开口向上，则恒成立； 当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意， 若 时，要使得恒成立，则 ，即 . 所以“”是“恒成立”的充要条件. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件. 11、D 【答案解析】 用诱导公式和二倍角公式计算． 【题目详解】 ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 12、D 【答案解析】 设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【题目详解】 显然直线不满足条件，故可设直线：， ，，由，得， ， 解得或， ，， ， ， ， 解得， 直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 【答案点睛】 本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据向量关系表示，只需求出的取值范围即可得解. 【题目详解】 由题可得：， 故答案为： 【答案点睛】 此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题. 14、 【答案解析】 设为的中点，根据弦长公式，只需最小，在中，根据余弦定理将表示出来，由，得到 ，结合弦长公式得到，求出点的轨迹方程，即可求解. 【题目详解】 设为的中点， 在中，，① 在中，，② ①②得， 即， ，. ，得. 所以，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题. 15、1344 【答案解析】 分四种情况讨论即可 【题目详解】 解：数学排在第一节时有： 数学排在第二节时有： 数学排在第三节时有： 数学排在第四节时有： 所以共有1344种 故答案为：1344 【答案点睛】 考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题. 16、（或写成） 【答案解析】 设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案. 【题目详解】 设与的夹角为 可得， 故，将代入可得 得到， 于是与的夹角为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （2）把（1）中求得的结