2023届莆田市重点中学高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　 A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 3．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 5．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 9．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．函数（且）的图象可能为（ ） A． B． C． D． 12．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__． 14．已知向量，若向量与共线，则________. 15．已知，若，则a的取值范围是______． 16．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且. （1）求的值； （2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点. 18．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围. 19．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标. 20．（12分）椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值. 21．（12分）已知圆外有一点，过点作直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长． 22．（10分）已知，，分别是三个内角，，的对边，． （1）求； （2）若，，求，． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值. 【题目详解】 由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点与点间的距离， 又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1， 所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题. 2、D 【答案解析】 当时,,∴f(x)不关于直线对称； 当时, ,∴f(x)关于点对称； f(x)得周期， 当时, ,∴f(x)在上是增函数． 本题选择D选项. 3、A 【答案解析】 根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【题目详解】 由三视图的性质和定义知，三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形，其面积都是，正视图与侧视图的面积之和为， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 4、A 【答案解析】 根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案. 【题目详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等. 故，即，两三棱锥高相等，故， 故，故为中点. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5、B 【答案解析】 根据抛物线定义得，即可解得结果. 【题目详解】 因为，所以. 故选B 【答案点睛】 本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 6、A 【答案解析】 ，从而可得，，再解不等式即可. 【题目详解】 由已知， ，所以， ，由， 解得，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 7、C 【答案解析】 作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【题目详解】 如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 8、C 【答案解析】 求出集合，计算出和，即可得出结论. 【题目详解】 ，，，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 9、C 【答案解析】 由题得，，又，联立解方程组即可得，，进而得出双曲线方程. 【题目详解】 由题得 ① 又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2， 所以 ② 又 ③ 由①②③可得：，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力. 10、B 【答案解析】 先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【题目详解】 双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x， ∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍， ∴kl， ∴直线l的方程为y（x﹣c）， 与y＝±x联立，可得y或y， ∵， ∴2•， ∴ab， ∴c＝2b， ∴e． 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 11、D 【答案解析】 因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 12、C 【答案解析】 根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 点不在直线、上， 若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立， 若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下： 若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立 则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 ， 由余弦定理，得， 得，，， 所以，所以． 点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可． 14、 【答案解析】 计算得到，根据向量平行计算得到答案. 【题目详解】 由题意可得， 因为与共线，所以有，即，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力. 15、 【答案解析】 函数等价为，由二次函数的单调性可得在R上递增，即为，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【题目详解】 ，等价为， 且时，递增，时，递增， 且，在处函数连续， 可得在R上递增， 即为，可得，解得， 即a的取值范围是． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16、1 【答案解析】 求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得． 【题目详解】 设， 由题意，∴，，，即， ∴，． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析 【答案解析】 （1）联立直线和抛物线，消去可得，求出，，再代入弦长公式计算即可. （2）由（1）可得，设，计算直线的方程为，代入求出，即可求出，再代入抛物线方程，求出，最后计算直线的斜率，求出直线的方程，化简可得到恒过的定点. 【题目详解】 （1）由，消去可得， 设，，则，. ， 解得或(舍去)， . （2）证明：由（1）可得，设， 所以直线的方程为， 当时，，则， 代入抛物线方程，可得，， 所以直线的斜率， 直线的方程为， 整理可得，故直线过定点. 【答案点睛】 本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题，需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题，需有较强的计算能力，属于难题. 18、（1）；（2） 【答案解析】 （1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程； （2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围. 【题目详解】 （1）设点， ∵点到直线的距离等于， ∴，化简得， ∴动点的轨迹的方程为. （2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，， 设点，过点的拋物