2023届湖南省张家界市民族中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（　　） A． B． C． D． 4．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( ) A．2020 B．20l9 C．2018 D．2017 5．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A． B． C． D． 6．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．5 10．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 11．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 12．设是虚数单位，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________. 14．已知随机变量服从正态分布，，则__________． 15．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______． 16．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表： 戴口罩 不戴口罩 青年人 50 10 中老年人 20 20 （1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？ （2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等比数列是“数列”； （2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列. 19．（12分）在数列和等比数列中，，，. （1）求数列及的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 20．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 21．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=. （1）求证：平面⊥平面； （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点 （1）当直线的方程为时，求抛物线的方程； （2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值. 【题目详解】 设棱长为1，，， 由题意得：，， ， 又 即异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 2、A 【答案解析】 依题意可得 即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【题目详解】 解：依题意可得如下图象， 所以 则 所以 所以 所以，即 故选：A 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题. 3、B 【答案解析】 解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题． ∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题． 故选B． 4、B 【答案解析】 根据题意计算，，，计算，，，得到答案. 【题目详解】 是等差数列的前项和，若， 故，，，，故， 当时，，，， ， 当时，，故前项和最大. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 5、B 【答案解析】 根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【题目详解】 正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为，故选B. 【答案点睛】 本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 6、D 【答案解析】 由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论． 【题目详解】 ，，对应点为，在第四象限． 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 7、C 【答案解析】 由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可. 【题目详解】 ∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题. 8、C 【答案解析】 首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合. 【题目详解】 设公差为d，由题知， ， 解得，， 所以数列为， 故. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 9、B 【答案解析】 利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【题目详解】 .选B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式. 10、A 【答案解析】 设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【题目详解】 设点的坐标为，有，得. 双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 所以，则，即，故，即，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 11、B 【答案解析】 由且可得，故选B. 12、C 【答案解析】 由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值. 【题目详解】 解：， ，解得：. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程. 【题目详解】 双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为. 由题意得，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 14、0.22. 【答案解析】 正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。 【题目详解】 【答案点睛】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题． 15、1 【答案解析】 把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值. 【题目详解】 ，解得＝1． 故答案为：1. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养. 16、 【答案解析】 先求得与关于轴对称的函数，将问题转化为与的图象有交点，即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【题目详解】 因为关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解. 时符合题意. 时转化为有解，即，的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2） 【答案解析】 (1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断. (2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果. 【题目详解】 （1）由题意可知， 有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为. 人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率. 【答案点睛】 本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般. 18、（1）证明见详解；（2）证明见详解 【答案解析】 （1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明. （2）既是“数列”又是“数列”，可得，，则