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2017年湖南省张家界市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．（3分）﹣2017的相反数是（　　） A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D． 2．（3分）正在修建的黔张常铁路，横跨渝、鄂、湘三省，起于重庆市黔江区黔江站，止于常德市武陵区常德站．铁路规划线路总长340公里，工程估算金额37500000000元．将数据37500000000用科学记数法表示为（　　） A．0.375×1011 B．3.75×1011 C．3.75×1010 D．375×108 3．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 4．（3分）下列运算正确的有（　　） A．5ab﹣ab=4 B．（a2）3=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．=±3 5．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 6．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“美”字所在面相对的面上标的字是（　　） A．丽 B．张 C．家 D．界 7．（3分）某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与y=（m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 9．（3分）不等式组的解集是　 　． 10．（3分）因式分解：x3﹣x=　 　． 11．（3分）如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数是　 　． 12．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n，则m2+n2=　 　． 13．（3分）某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级甲班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表： 植树棵数 3 4 5 6 人数 20 15 10 5 那么这50名学生平均每人植树　 　棵． 14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为　 　． 　 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（5分）计算：（）﹣1+2cos30°﹣|﹣1|+（﹣1）2017． 16．（5分）先化简（1﹣）÷，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值． 17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE． （1）求证：△AGE≌△BGF； （2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由． 18．（6分）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表： 批发价（元） 零售价（元） 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？ 19．（6分）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824） 20．（6分）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i； （1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3=　 　，i4=　 　； （2）计算：（1+i）×（3﹣4i）； （3）计算：i+i2+i3+…+i2017． 21．（7分）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积． 22．（8分）为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（洪家关），B（天门山），C（大峡谷），D（黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为　 　； （2）在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为　 　； （3）请将两个统计图补充完整； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为　 　． 23．（10分）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）． （1）求c1的解析式； （2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值； （3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点； （4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形． 　 2017年湖南省张家界市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．（3分）（2017•黔西南州）﹣2017的相反数是（　　） A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣2017的相反数是2017， 故选：B． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 　 2．（3分）（2017•张家界）正在修建的黔张常铁路，横跨渝、鄂、湘三省，起于重庆市黔江区黔江站，止于常德市武陵区常德站．铁路规划线路总长340公里，工程估算金额37500000000元．将数据37500000000用科学记数法表示为（　　） A．0.375×1011 B．3.75×1011 C．3.75×1010 D．375×108 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：37500000000=3.75×1010． 故选：C． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 　 3．（3分）（2017•张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案． 【解答】解：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO=30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°． 故选D． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 　 4．（3分）（2017•张家界）下列运算正确的有（　　） A．5ab﹣ab=4 B．（a2）3=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．=±3 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式以及算术平平方根的定义和计算公式分别进行计算，即可得出答案． 【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故本选项错误； B、（a2）3=a6，故本选项正确； C、（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2，故本选项错误； D、=3，故本选项错误； 故选B． 【点评】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式以及算术平平方根，熟记公式和定义是解题的关键，是一道基础题． 　 5．（3分）（2017•张家界）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【分析】根据线段中点的性质求出AD=AB、AE=AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=AB，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴AD=AB，AE=AC，DE=BC， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12． 故选B． 【点评】本题考查的是三角形的中点的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 　 6．（3分）（2017•张家界）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“美”字所在面相对的面上标的字是（　　） A．丽 B．张 C．家 D．界 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “张”与“丽”是相对面， “美”与“家”是相对面， “的”与“界”是相对面， 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 　 7．（3分）（2017•张家界）某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可． 【解答】解：如图， ， 共有16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种，故小明和小红分在同一个班的机会==． 故选A． 【点评】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键． 　 8．（3分）（2017•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与y=（m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】在各选项中，先利用反比例函数图象确定m的符号，再利用m的符号对一次函数图象的位置进行判断，从而判断该选项是否正确． 【解答】解：A、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误； B、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误； D、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确． 故选D． 【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的性质． 　 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 9．（3分）（2017•张家界）不等式组的解集是　x≥1　． 【分析】直接利用不等式组的解集确定方法得出答案． 【解答】解：不等式组的解集是：x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确把握不等式组解集确定方法是解题关键． 　 10．（3分）（2017•张家界）因式分解：x3﹣x=　x（x+1）（x﹣1）　． 【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）， 故答案为：x（x+1）（x﹣1） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 　 11．（3分）（2017•张家界）如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数是　55°　． 【分析】先延长AP交直线b于C，再根据平行线的性质以及三角形的外角性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示，延长AP交直线b于C， ∵a∥b， ∴∠C=∠1=35°， ∵∠APB是△BCP的外角，PA⊥PB， ∴∠2=∠APB﹣∠C=90°﹣35°=55°， 故答案为：55°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 　 12．（3分）（2017•张家界）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n，则m2+n2=　17　． 【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两个根， ∴m+n=3，mn=﹣4， 则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=9+8=17． 故答案为：17． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 　 13．（3分）（2017•张家界）某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级甲班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表： 植树棵数 3 4 5 6 人数 20 15 10 5 那么这50名学生平均每人植树　4　棵． 【分析】利用加权平均数的计算公式进行计算即可． 【解答】解：平均每人植树（3×20+4×15+5×10+6×5）÷50=4棵， 故答案为：4． 【点评】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度不大． 　 14．（3分）（2017•张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为　9﹣5　． 【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP， ∴PB=BC=AB，∠PBC=30°， ∴∠ABP=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠BAP=60°，AP=AB=2， ∵AD=2， ∴AE=4，DE=2， ∴CE=2﹣2，PE=4﹣2， 过P作PF⊥CD于F， ∴PF=PE=2﹣3， ∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9﹣5， 故答案为：9﹣5． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 　 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（5分）（2017•张家界）计算：（）﹣1+2cos30°﹣|﹣1|+（﹣1）2017． 【分析】先计算负整数指数幂、代入特殊锐角三角函数值、根据绝对值性质去绝对值符号、计算乘方，再计算乘法、去括号，最后计算加减法可得． 【解答】解：原式=2+2×﹣（﹣1）﹣1 =2+﹣+1﹣1 =2． 【点评】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、特殊锐角三角函数值、绝对值性质及乘方的运算法则是解题的关键． 　 16．（5分）（2017•张家界）先化简（1﹣）÷，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值． 【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可． 【解答】解：（1﹣）÷=×=， ∵2x﹣1＜6， ∴2x＜7， ∴x＜， 把x=3代入上式得： 原式==4． 【点评】此题考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，用到的知识点是通分、完全平方公式、平方差公式以及一元一次不等式的解法，熟练掌握公式与解法是解题的关键． 　 17．（5分）（2017•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE． （1）求证：△AGE≌△BGF； （2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可； （2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEG=∠BFG， ∵EF垂直平分AB， ∴AG=BG， 在△AGE和△BGF中，， ∴△AGE≌△BGF（AAS）； （2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下： ∵△AGE≌△BGF， ∴AE=BF， ∵AD∥BC， ∴四边形AFBE是平行四边形， 又∵EF⊥AB， ∴四边形AFBE是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 　 18．（6分）（2017•张家界）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表： 批发价（元） 零售价（元） 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？ 【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解． 【解答】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得 ， 解得， 答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 　 19．（6分）（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824） 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC的长，再利用tan70.5°=求出答案． 【解答】解：∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米， ∴BC=2.3m， ∵在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°， ∴tan70.5°==≈2.824， 解得：AD≈4.2， 答：像体AD的高度约为4.2m． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 　 20．（6分）（2017•张家界）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i； （1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3=　﹣i　，i4=　1　； （2）计算：（1+i）×（3﹣4i）； （3）计算：i+i2+i3+…+i2017． 【分析】（1）把i2=﹣1代入求出即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=﹣1代入求出即可； （3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解． 【解答】解：（1）i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1． 故答案为：﹣i，1； （2）（1+i）×（3﹣4i） =3﹣4i+3i﹣4i2 =3﹣i+4 =7﹣i； （3）i+i2+i3+…+i2017 =i﹣1﹣i+1+…+i =i． 【点评】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键，主要考查了学生的理解能力和计算能力，难度适中． 　 21．（7分）（2017•张家界）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论； （2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵AC=BC，OB=OD， ∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB， ∴∠A=∠ODB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵AC=BC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴ABC=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∵DF⊥OD， ∴∠ODG=90°， ∴∠G=30°， ∴OG=2OD=2×6=12， ∴DG=OD=6， ∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积=×6×6﹣=18﹣6π． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等． 　 22．（8分）（2017•张家界）为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（洪家关），B（天门山），C（大峡谷），D（黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为　120人　； （2）在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为　198°　； （3）请将两个统计图补充完整； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为　500人　． 【分析】（1）由B的人数除以其人数占被调查人数的百分比即可求解； （2）用360°×“天门山”部分所