北师大版九年级下册期中模拟数学试卷（解析版）.doc

登陆21世纪教育 助您教考全无忧 北师大版九年级下册期中模拟 数学试卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C B D C B C D B A 解析： 1．tan60°的值等于（　　） A． B． C． D． 解：tan60°=， 故选：B．　 3．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 解：在Rt△ABC中，∠C=90°得 ∠B+∠A=90°． 由一个角的正弦等于它余角的余弦，得 cosB=sinA=， 故选：B．　 4．下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7 D． 解：A、是一次函数，故本选项错误； B、整理后是一次函数，故本选项错误； C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确； D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误． 故选：C． 5．一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　）21·世纪*教育网 A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4）， ∴设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+4， 把（0，﹣4）代入得a=﹣2， ∴这个二次函数的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+4． 故选B．　 6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　） A． B．4 C．8 D．4 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8， cosB=， 即cos30°=， ∴BC=8×=4； 故选：D．　 7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点， ∴c=0， ∴abc=0 ∴①正确； ∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②不正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴是x=﹣， ∴﹣，b＜0， ∴b=3a， 又∵a＜0，b＜0， ∴a＞b， ∴③正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点， ∴△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0， ∴④正确； 综上，可得 正确结论有3个：①③④． 故选：C．　 8．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350﹣10x）件商品，那商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　）www-2-1-cnjy-com A．y=﹣10x2﹣560x+7350 B．y=﹣10x2+560x﹣7350 C．y=﹣10x2+350x D．y=﹣10x2+350x﹣7350 解：每件的利润为x﹣21， ∴y=（x﹣21）（350﹣10x） =﹣10x2+560x﹣7350． 故选B．　 9．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（　　）21*cnjy*com A．60° B．45° C．15° D．90° 解：∵sin∠CAB===， ∴∠CAB=45°． ∵==， ∴∠C′AB′=60°． ∴∠CAC′=60°﹣45°=15°， 鱼竿转过的角度是15°． 故选：C．　 10． 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … 则下列判断正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x=4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间 解：根据图表信息可知，抛物线的顶点坐标（，m）（m＞3）是最高点，所以开口向下，故A错误， 因为x=0时，y=1，所以抛物线与y轴交于正半轴，故B错误， 因为x=4时，y=﹣3，故C错误， 因为y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在0与﹣1之间， ∴另一个交点在3与4之间， 因为方程 ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故D正确， 故选D． 11．如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（　　）海里．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.74，≈2.45）www.21-cn- A．66.8 B．67 C．115.8 D．116 解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=∠BDC=90°， 由题意知：∠BAC=70°﹣25°=45°， ∵AM∥CN， ∴∠MAC+∠NCA=180°， ∴∠NCA=180°﹣70°=110°， ∴∠BCA=110°﹣50°=60°， ∵AB=60海里，∠BAD=45°， ∴AD=AB×cos45°=30海里，BD=AD=30海里，CD==10海里， 30+10≈30×1.41+10×2.45≈67 ∴AC=AD+CD=67海里， 故选B．　 12．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．以下说法正确的是（　　）2·1·c·n·j·y ①PO2=PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大； ③当k=﹣时，BP2=BO•BA； ④三角形PAB面积的最小值为． A．③④ B．①② C．②④ D．①④ 解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0． 联立y=x2﹣2与y=kx得：x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0， ∴m+n=3k，mn=﹣6． 设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得： ，解得a=，b=﹣4， ∴y=（）x﹣4． 令y=0，得x=， ∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）． 同理可得，直线PB的解析式为y=（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）． ∵+====0， ∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称． （1）说法①错误．理由如下： 如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称， ∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上． 连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′． 假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB， ∴， 又∵∠BPO=∠BPO， ∴△POA′∽△PBO， ∴∠POA′=∠PBO， ∴∠AOP=∠PBO． 而∠AOP是△PBO的外角， ∴∠AOP＞∠PBO，矛盾， ∴说法①错误． （2）说法②错误．理由如下： 易知：==， ∴OB=﹣OA． 由对称可知，PO为△APB的角平分线， ∴， ∴PB=﹣PA． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣PA﹣（﹣OA）]=﹣（PA+AO）（PA﹣OA）=﹣（PA2﹣AO2）．【来源：21·世纪·教育·网】 如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km． ∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16，2-1-c-n-j-y ∵m+n=3k，∴k=（m+n）， ∴PA2﹣AO2=8×（m+n）•m+16=m2+mn+16=m2+×（﹣6）+16=m2． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=﹣（PA2﹣AO2）=﹣•m2=﹣mn=﹣×（﹣6）=16．【来源：21cnj*y.co*m】 即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误． （3）说法③正确．理由如下： 当k=时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1）， ∴BP2=12，BO•BA=2×6=12， ∴BP2=BO•BA，故说法③正确． （4）说法④正确．理由如下： S△PAB=S△PAO+S△PBO=OP•（﹣m）+OP•n=OP•（n﹣m）=2（n﹣m）=2=2，【版权所有：21教育】 ∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2=4． 故说法④正确． 综上所述，正确的说法是：③④． 故选A．　 二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）=　　，tanα=　　． 解：∵sinα=cos（90°﹣α）， ∴cos（90°﹣α）=； 由sin2α+cos2α=1，得：（）2+cos2α=1， ∴cosα=（负值舍去）； ∴tanα==．　 14．已知函数y=（m+1）x+3x，当m=　1　时，它是二次函数． 解：∵函数y=（m+1）x+3x是二次函数， ∴m2+1=2且m+1≠0． 解得m=1． 故答案是：1．　 15．如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ；②sinα＞sinβ；③cosα＞cosβ，正确的结论为　①②　（填序号）． 解：根据图形得：∠α＞∠β， ∴tanα＞tanβ，sinα＞sinβ，cosα＜cosβ． ∴①②正确． 故答案为①②．　 16．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是　y=5（x﹣2）2+2　．21世纪教育网版权所有 解：y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x﹣4+2）2+3﹣1，即y=5（x﹣2）2+2．【出处：21教育名师】 故答案为y=5（x﹣2）2+2．　 三．解答题（共8小题，满分52分） 17．（6分）计算：． 解：原式===2．　 18．（6分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）． 解：过点C作AB 的垂线，垂足为E， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴四边形CDBE是矩形， ∵CD=12m，∠ECB=45°， ∴BE=CE=12m， ∴AE=CE•tan30°=12×=4（m）， ∴AB=4+12≈19（m）． 答：建筑物AB的高为19米． 19．（6分）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA、cosA、sinB、cosB． 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=， ∴=， ∴sinA=2cosA，① 又sinA＞0，cosA＞0，sin2A+cos2A=1，② 联立①②得：sinA=，cosA=． 又A+B=90°， ∴sinB=cosA=，cosB=sinA=． 　 20．（6分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）21教育名师原创作品 （1）求抛物线的表达式； （2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积． 解：（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得： ， 解得：， 则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5）， ∵A（3，0），即OA=3， ∴S△AOD=×3×5=．　 21．（6分）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据： ∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m． 请你计算出这片水田的面积． （参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732） 解：作CM⊥BD于M，如图所示： ∵∠A=90°，∠ABD=60°， ∴∠ADB=30°， ∴BD=2AB=400m， ∴AD=AB=200m， ∴△ABD的面积=×200×200=20000（m2）， ∵∠CMB=90°，∠CBD=54°， ∴CM=BC•sin54°=300×0.809=242.7m， ∴△BCD的面积=×400×242.7=48540（m2）， ∴这片水田的面积=20000+48540≈83180（m2）． 　 22．（6分）已知：抛物线y=﹣x2﹣2x+1， （1）求出它的顶点坐标；请问函数有最大值还是最小值？求出最值； （2）若抛物线的顶点在双曲线上，求出k值． 解：（1）∵y=﹣x2﹣2x+1=﹣（x2+2x）+1=﹣（x+1）2+2， ∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），该函数有最大值，最大值是2； （2）∵抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），抛物线的顶点在双曲线上， ∴2=， 解得，k=﹣2．　 23．（8分）已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）； （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积； （3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标． 解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3）， ∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1， 把（0，3）代入可得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3． （2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3， ∴C（1，0），D（3，0）， ∵OB=OD=3， ∴∠BDO=45°， ∵A（2，﹣1），D（3，0）， ∴∠ADO=45°， ∴∠BDA=90°， ∵BD=3，AD=， ∴S△ABD=•BD•AD=3． （3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°， ∴∠DBP=∠APD， ∵∠PDB=∠ADP=135°， ∴△PDB∽△ADP， ∴PD2=BD•AD=3=6， ∴PD=， ∴OP=3+， ∴点P（3+，0）． 24．（8分） 如图，抛物线的顶点为C（1，﹣2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B来两点，其中A点在x轴的正半轴上，且OA=3，B点在y轴上，点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E．21·cn·jy·com （1）求直线AB的解析式． （2）设点P的横坐标为x，求点E的坐标（用含x的代数式表示）． （3）求△ABE面积的最大值． 解： （1）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣2）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2， ∵OA=3，且点A在x轴的正半轴上， ∴A（3，0）， ∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a=， ∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣，当x=0时可得y=﹣， ∴B（0，﹣）， 设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入可得，解得， ∴y=x﹣； （2）∵点P为线段AB上的一个动点，且PE⊥x轴， ∴点E的横坐标为x， ∵点E在抛物线上， ∴E点的坐标为（x，x2﹣x﹣）； （3）∵点P为线段AB上的一点， ∴P（x，x﹣），则E（x，x2﹣x﹣）， ∴PE=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x， 由（2）可知点B到PE的距离x，点A以PE的距离为3﹣x， ∴S△ABE=PE•x+PE•（3﹣x）=PE•（x+3﹣x）=PE=（﹣x2+x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，21教育网 　 21世纪教育网 精品资料·第 17 页 （共 17 页） 版权所有@21世纪教育网