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2017年山东省淄博市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．（4分）﹣的相反数是（　　） A． B． C． D．﹣ 2．（4分）C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（　　） A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108 3．（4分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5 C．a10÷a9=a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2 5．（4分）若分式的值为零，则x的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 6．（4分）若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 7．（4分）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　） A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2 8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0 9．（4分）如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π 10．（4分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（　　） A． B． C． D． 11．（4分）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（　　） A． B． C． D． 12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）分解因式：2x3﹣8x=　 　． 14．（4分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为　 　． 15．（4分）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是　 　． 16．（4分）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=　 　． 17．（4分）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=　 　． 　 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 18．（5分）解不等式：≤． 19．（5分）已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 20．（8分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度． 21．（8分）为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图： 空气污染指数（ω） 30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2 说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，… 根据上述信息，解答下列问题： （1）直接写出空气污染指数这组数据的众数　 　，中位数　 　； （2）请补全空气质量天数条形统计图： （3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图； （4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？ 22．（8分）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1） （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上． ①求OF的长； ②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形． 23．（9分）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F． （1）求证：△BFN∽△BCP； （2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）； ②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长． 24．（9分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标； （3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　 2017年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．（4分）（2017•淄博）﹣的相反数是（　　） A． B． C． D．﹣ 【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵﹣与是只有符号不同的两个数， ∴﹣的相反数是． 故选C． 【点评】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解答此题的关键． 　 2．（4分）（2017•淄博）C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（　　） A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将100万用科学记数法表示为：1×106． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 　 3．（4分）（2017•淄博）下列几何体中，其主视图为三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论． 【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形， ∴A不符合题意； B、正方体的主视图为正方形， ∴B不符合题意； C、球体的主视图为圆形， ∴C不符合题意； D、圆锥的主视图为三角形， ∴D符合题意． 故选D． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，牢记圆锥的主视图为三角形是解题的关键． 　 4．（4分）（2017•淄博）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5 C．a10÷a9=a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2 【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误； B、（﹣a2）3=﹣a6，故B错误； C、a10÷a9=a（a≠0），故C正确； D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2，故D错误； 故选C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 　 5．（4分）（2017•淄博）若分式的值为零，则x的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴|x|﹣1=0，x+1≠0， 解得：x=1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键． 　 6．（4分）（2017•淄博）若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【分析】根据完全平方公式得到（a+b）2=9，再将a2+b2=7整体代入计算即可求解． 【解答】解：∵a+b=3， ∴（a+b）2=9， ∴a2+2ab+b2=9， ∵a2+b2=7， ∴7+2ab=9， ∴ab=1． 故选：B． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 　 7．（4分）（2017•淄博）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　） A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2 【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式． 【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2， ∴二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1﹣2）2﹣2=（x﹣1）2﹣2， 故选D． 【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移． 　 8．（4分）（2017•淄博）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 　 9．（4分）（2017•淄博）如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π 【分析】如图，连接CD，OD，根据已知条件得到OB=2，∠B=45°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，连接CD，OD， ∵BC=4， ∴OB=2， ∵∠B=45°， ∴∠COD=90°， ∴图中阴影部分的面积=S△BOD+S扇形COD=2×2+=2+π， 故选A． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 　 10．（4分）（2017•淄博）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果， ∴两人“心领神会”的概率是=， 故选：B． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 　 11．（4分）（2017•淄博）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象． 【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变， 当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢． 故选：D． 【点评】此题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 　 12．（4分）（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=，据此得出EF=DF﹣DE=． 【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H， ∵EF∥BC、∠ABC=90°， ∴FD⊥AB， ∵EG⊥BC， ∴四边形BDEG是矩形， ∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB， ∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE， ∴四边形BDEG是正方形， 在△DAE和△HAE中， ∵， ∴△DAE≌△HAE（SAS）， ∴AD=AH， 同理△CGE≌△CHE， ∴CG=CH， 设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x， ∵AC===10， ∴6﹣x+8﹣x=10， 解得：x=2， ∴BD=DE=2，AD=4， ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴=，即=， 解得：DF=， 则EF=DF﹣DE=﹣2=， 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 　 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）（2017•淄博）分解因式：2x3﹣8x=　2x（x﹣2）（x+2）　． 【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式． 【解答】解：2x3﹣8x， =2x（x2﹣4）， =2x（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式． 运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式． 　 14．（4分）（2017•淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为　0　． 【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）﹣3α，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4， 所以原式=a（α+β）﹣3α =3α﹣3α =0． 故答案为0． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 　 15．（4分）（2017•淄博）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是　﹣7　． 【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子．然后求值． 【解答】解：根据题意得：（3.5﹣4.5）×32+=﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键． 　 16．（4分）（2017•淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=　2　． 【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2． 【解答】解：如图，作AG⊥BC于G， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AG=AB=2， 连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴AB•DE+AC•DF=BC•AG， ∵AB=AC=BC=4， ∴DE+DF=AG=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG是解题的关键． 　 17．（4分）（2017•淄博）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=　　． 【分析】先连接D1E1，D2E2，D3E3，依据D1E1∥AB，D1E1=AB，可得△CD1E1∽△CBA，且==，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S△CD1E1=S△ABC=，依据E1是BC的中点，即可得出S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，据此可得S1=；运用相同的方法，依次可得S2=，S2=；根据所得规律，即可得出四边形CDnEnFn，其面积Sn=+×n×，最后化简即可． 【解答】解：如图所示，连接D1E1，D2E2，D3E3， ∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点， ∴D1E1∥AB，D1E1=AB， ∴△CD1E1∽△CBA，且==， ∴S△CD1E1=S△ABC=， ∵E1是BC的中点， ∴S△BD1E1=S△CD1E1=， ∴S△D1E1F1=S△BD1E1=×=， ∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=+=， 同理可得： 图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2=+=， 图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3=+=， 以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn， 其面积Sn=+×n×=， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 　 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 18．（5分）（2017•淄博）解不等式：≤． 【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x）， 去括号得：3x﹣6≤14﹣2x， 移项合并得：5x≤20， 解得：x≤4． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 19．（5分）（2017•淄博）已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【分析】证明△AEB≌△CFD，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC． ∴∠BAE=∠DCF． 在△AEB和△CFD中，， ∴△AEB≌△CFD（SAS）． ∴BE=DF． 【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 　 20．（8分）（2017•淄博）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度． 【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2． 【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h， 根据题意得：﹣=2， 解得：x=70 经检验：x=70是原方程的解． 答：汽车原来的平均速度70km/h． 【点评】本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 　 21．（8分）（2017•淄博）为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图： 空气污染指数（ω） 30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2 说明：环境空气质量指