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2017年四川省泸州市中考数学试卷 　 一、选择题（大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）﹣7的绝对值是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 2．（3分）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（　　） A．567×103 B．56.7×104 C．5.67×105 D．0.567×106 3．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x 4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　） A． B．2 C．6 D．8 7．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．四边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 8．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　） A．7 B．11 C．12 D．16 11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 12．（3分）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 　 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是　 　． 14．（3分）分解因式：2m2﹣8=　 　． 15．（3分）若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　． 16．（3分）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为　 　cm． 　 三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分） 17．（6分）计算：（﹣3）2+20170﹣×sin45°． 18．（6分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE． 19．（6分）化简：•（1+） 　 四、本大题共2小题，每小题7分，共14分 20．（7分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数； （3）估计该单位750名职工共捐书多少本？ 21．（7分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 　 五、本大题共2小题，每小题8分，共16分. 22．（8分）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离． 23．（8分）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣的图象交于点B（a，4） （1）求一次函数的解析式； （2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2=的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围． 　 六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分 24．（12分）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G． （1）求证：DF∥AO； （2）若AC=6，AB=10，求CG的长． 25．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 　 2017年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2017•泸州）﹣7的绝对值是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a． 【解答】解：|﹣7|=7． 故选A． 【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 　 2．（3分）（2017•泸州）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（　　） A．567×103 B．56.7×104 C．5.67×105 D．0.567×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：567000=5.67×105， 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 　 3．（3分）（2017•泸州）下列各式计算正确的是（　　） A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=6x2，不符合题意； B、原式=x，符合题意； C、原式=4x2，不符合题意； D、原式=3，不符合题意， 故选B 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 4．（3分）（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答． 【解答】解：左视图有2行，每行一个小正方体． 故选D． 【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 　 5．（3分）（2017•泸州）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得 a=4，b=﹣1， a+b=3， 故选：C． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 　 6．（3分）（2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　） A． B．2 C．6 D．8 【分析】根据垂径定理，可得答案． 【解答】解：连接OC， 由题意，得 OE=OB﹣AE=4﹣1=3， CE=ED==， CD=2CE=2， 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键． 　 7．（3分）（2017•泸州）下列命题是真命题的是（　　） A．四边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论． 【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误； B、矩形的对角线相等，故错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确， 故选D． 【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 　 8．（3分）（2017•泸州）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】函数是在一个变化过程中有两个变量x，y，一个x只能对应一个y． 【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量． 选项C中的图形中对于一个自变量的值，图象就对应两个点，即y有两个值与x的值对应，因而不是函数关系． 故选C． 【点评】考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键． 　 9．（3分）（2017•泸州）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵S=， ∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==， 故选B． 【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 　 10．（3分）（2017•泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　） A．7 B．11 C．12 D．16 【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值． 【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根， ∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4， ∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7． ∵方程有两个实数根， ∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0， ∴t≥2， ∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16． 故选D． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7是解题的关键． 　 11．（3分）（2017•泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE=BC=AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴=， ∴EF=AF， ∴EF=AE， ∵点E是边BC的中点， ∴由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x， ∴DF==2x， ∴tan∠BDE===； 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 　 12．（3分）（2017•泸州）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值． 【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值， ∵F（0，2）、M（，3）， ∴ME=3，FM==2， ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5． 故选C． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键． 　 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13．（3分）（2017•泸州）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是　　． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解；袋子中球的总数为：4+2=6， ∴摸到白球的概率为：=， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 　 14．（3分）（2017•泸州）分解因式：2m2﹣8=　2（m+2）（m﹣2）　． 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式． 【解答】解：2m2﹣8， =2（m2﹣4）， =2（m+2）（m﹣2）． 故答案为：2（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 　 15．（3分）（2017•泸州）若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　m＜6且m≠2　． 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：+=3， 方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6， 解得，x=， ∵≠2， ∴m≠2， 由题意得，＞0， 解得，m＜6， 故答案为：m＜6且m≠2． 【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键． 　 16．（3分）（2017•泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为　4　cm． 【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答． 【解答】解：连接AO并延长，交BC于H， 由勾股定理得，DE==2， ∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线， ∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心， ∴AH是中线，又BD⊥CE， ∴OH=BC=2， ∵O是△ABC的重心， ∴AO=2OH=4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 　 三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分） 17．（6分）（2017•泸州）计算：（﹣3）2+20170﹣×sin45°． 【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（﹣3）2+20170﹣×sin45° =9+1﹣3× =10﹣3 =7 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 　 18．（6分）（2017•泸州）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE． 【分析】欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可． 【解答】证明：∵AF=CD， ∴AC=DF， ∵BC∥EF， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 　 19．（6分）（2017•泸州）化简：•（1+） 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：原式=•=． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 四、本大题共2小题，每小题7分，共14分 20．（7分）（2017•泸州）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数； （3）估计该单位750名职工共捐书多少本？ 【分析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可； （2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数； （3）用捐款平均数乘以总人数即可． 【解答】解（1）捐D类书的人数为：30﹣4﹣6﹣9﹣3=8， 补图如图所示； （2）众数为：6 中位数为：6 平均数为：=（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）=6； （3）750×6=4500， 即该单位750名职工共捐书约4500本． 【点评】此题主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 　 21．（7分）（2017•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案． 【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得： ， 解之得：， 答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个； 由题意得： 解之得：8≤m≤10 因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10 即：学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个， 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． 　 五、本大题共2小题，每小题8分，共16分. 22．（8分）（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得： ∠BCD=30°，设BC=x，则： 在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°=x，CD=BC•cos30°=x； ∴AD=30x， ∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702， 解之得：x=50（负值舍去）， 答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里． 【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键． 　 23．（8分）（2017•泸州）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣的图象交于点B（a，4） （1）求一次函数的解析式； （2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2=的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围． 【分析】（1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可