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2017年湖南省邵阳市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）25的算术平方根是（　　） A．5 B．±5 C．﹣5 D．25 2．（3分）如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 3．（3分）3﹣π的绝对值是（　　） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 4．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 7．（3分）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（　　） A．a2﹣π（）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa 8．（3分）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断下列说法，其中错误的一项是（　　） A．认为依情况而定的占27% B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是234° C．认为不该扶的占8% D．认为该扶的占92% 9．（3分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（　　） A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米 10．（3分）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（　　） A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1） C．Q′（2，2），R′（4，1） D．Q′（3，3），R′（3，1） 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是　 　． 12．（3分）2016年，我国又有1240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献，将1240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值为　 　． 13．（3分）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是　 　．（写一个即可） 14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=，现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　． 15．（3分）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为　 　． 16．（3分）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C； ③作射线OC． 则∠AOC的大小为　 　． 17．（3分）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是　 　． 18．（3分）如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是　 　km． 　 三、解答题（本大题共8小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．（8分）计算：4sin60°﹣（）﹣1﹣． 20．（8分）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形． 21．（8分）先化简，再在﹣3，﹣1，0，，2中选择一个合适的x值代入求值． •． 22．（8分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升） （1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比； （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量． 23．（8分）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个． （1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； （2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值． 24．（8分）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO． （1）求证：DA=DC； （2）求∠P及∠AEB的大小． 25．（8分）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N． 【问题引入】 （1）若点O是AC的中点，=，求的值； 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G． 【探索研究】 （2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：••=1； 【拓展应用】 （3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若=，=，求的值． 26．（10分）如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值． 　 2017年湖南省邵阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2017•邵阳）25的算术平方根是（　　） A．5 B．±5 C．﹣5 D．25 【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 　 2．（3分）（2017•邵阳）如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠4， 故选C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 　 3．（3分）（2017•邵阳）3﹣π的绝对值是（　　） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案． 【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|=π﹣3． 故选B． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握定义是解题关键． 　 4．（3分）（2017•邵阳）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：A、的主视图是圆，故A符合题意； B、的主视图是矩形，故B不符合题意； C、的主视图是三角形，故C不符合题意； D、的主视图是正方形，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键． 　 5．（3分）（2017•邵阳）函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可． 【解答】解：由题意得，x﹣5≥0， 解得x≥5． 在数轴上表示如下： 故选B． 【点评】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 6．（3分）（2017•邵阳）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】解：∵铺设的是平行管道， ∴另一侧的角度为180°﹣120°=60°（两直线平行，同旁内角互补）． 故选D． 【点评】本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键． 　 7．（3分）（2017•邵阳）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（　　） A．a2﹣π（）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa 【分析】根据图形可知阴影部分的面积是正方形的面积减去直径为a的圆的面积，本题得以解决． 【解答】解：由图可得， 阴影部分的面积为：a2﹣， 故选A． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 　 8．（3分）（2017•邵阳）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断下列说法，其中错误的一项是（　　） A．认为依情况而定的占27% B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是234° C．认为不该扶的占8% D．认为该扶的占92% 【分析】根据百分比和圆心角的计算方法计算即可． 【解答】解：认为依情况而定的占27%，故A正确； 认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是65%×360°=234°，故B正确； 认为不该扶的占1﹣27%﹣65%=8%，故C正确； 认为该扶的占65%，故D错误； 故选D． 【点评】本题考查了扇形统计图，掌握百分比和圆心角的计算方法是解题的关键． 　 9．（3分）（2017•邵阳）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（　　） A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米 【分析】小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始，所对应的时间为15分，路程为1.1千米． 【解答】解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米， 故选：A． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键． 　 10．（3分）（2017•邵阳）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（　　） A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1） C．Q′（2，2），R′（4，1） D．Q′（3，3），R′（3，1） 【分析】由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，据此可得． 【解答】解：由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位， ∴点Q（﹣3，1）的对应点Q′坐标为（2，3），点R（﹣1，﹣1）的对应点R′（4，1）， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是解题的关键． 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）（2017•邵阳）将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是　m（n+1）2　． 【分析】根据提公因式法、公式法，可得答案． 【解答】解：原式=m（n2+2n+1）=m（n+1）2， 故答案为：m（n+1）2． 【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式、完全平方公式是解题关键． 　 12．（3分）（2017•邵阳）2016年，我国又有1240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献，将1240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值为　1.24　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1240万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7． 【解答】解：1240万=1.24×107， 故a=1.24． 故答案为：1.24． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 　 13．（3分）（2017•邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是　﹣1　．（写一个即可） 【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，是基础题，需熟记． 　 14．（3分）（2017•邵阳）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=，现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　1　． 【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵S=， ∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为： S==1， 故答案为：1． 【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 　 15．（3分）（2017•邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为　90°　． 【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°， ∵EF=DE， ∴∠EDF=∠EFD=30°， ∴∠FDC=90°， 故答案为：90° 【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 　 16．（3分）（2017•邵阳）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C； ③作射线OC． 则∠AOC的大小为　20°　． 【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论． 【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠AOB=20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 　 17．（3分）（2017•邵阳）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是　　． 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为3， 所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率=． 故答案为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 　 18．（3分）（2017•邵阳）如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是　（20﹣20）　km． 【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ARL中， ∵LR=AR•cos30°=40×=20（km），AL=AR•sin30°=20（km）， 在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°， ∴RL=LB=20， ∴AB=LB﹣AL=（20﹣20）km， 故答案为（20﹣20）km． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题． 　 三、解答题（本大题共8小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．（8分）（2017•邵阳）计算：4sin60°﹣（）﹣1﹣． 【分析】依据特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质进行解答即可． 【解答】解：原式=4×﹣2﹣2 =2﹣2﹣2 =﹣2． 【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质是解题的关键． 　 20．（8分）（2017•邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明； （2）根据正方形的判定方法添加即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 或：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键． 　 21．（8分）（2017•邵阳）先化简，再在﹣3，﹣1，0，，2中选择一个合适的x值代入求值． •． 【分析】根据分式的乘法和加法可以化简题目中的式子，然后在﹣3，﹣1，0，，2中选择一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题． 【解答】解：• = = = = =x， 当x=﹣1时，原式=﹣1． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的方法． 　 22．（8分）（2017•邵阳）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升） （1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比； （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量． 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解可得； （2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得； （3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所． 【解答】解：（1）这7天内小申家每天用水量的平均数为=800（升）， 将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825， ∴用水量的中位数为800升； （2）×100%=12.5%， 答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%； （3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所， 采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3000升． 【点评】此题主要考查了统计图、平均数、中位数，关键是看懂统计表，从统计表中获取必要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法． 　 23．（8分）（2017•邵阳）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个． （1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； （2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值． 【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案； （2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个， 根据题意可得：， 解得：， 答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个； （2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则 18a+35（11﹣a）≥300+30， 解得：a≤3， 符合条件的a最大整数为3， 答：租用小客车数量的最大值为3． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键． 　 24．（8分）（2017•邵阳）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO． （1）求证：DA=DC； （2）求∠P及∠AEB的大小． 【分析】（1）欲证明DA=DC，只要证明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可； （2）想办法证明∠P=30°即可解决问题； 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∵CB⊥AE， ∴AD⊥AE， ∴∠DAO=90°， ∵DP与⊙O相切于点C， ∴DC⊥OC， ∴∠DCO=90°， 在Rt△DAO和Rt△DCO中， ， ∴Rt△DAO≌△Rt△DCO， ∴DA=DC． （2）∵CB⊥AE，AE是直径， ∴CF=FB=BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∴CF=AD， ∵CF∥DA， ∴△PCF∽△PDA， ∴==， ∴PC=PD，DC=PD， ∵DA=DC， ∴DA=PD， 在Rt△DAP中，∠P=30°， ∵DP∥AB， ∴∠FAB=∠P=30°， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90°， ∴∠AEB=60°． 【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考