2015-2016学年度西安市莲湖区五校联考九年级期中数学试卷含答案解析.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2015-2016学年陕西省西安市莲湖区五校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是( ) A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 2．下列事件中，是必然事件的是( ) A．打开电视机，正在播放新闻 B．父亲年龄比儿子年龄大 C．通过长期努力学习，你会成为数学家 D．下雨天，每个人都打着雨伞 3．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( ) A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm 4．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=( ) A． B． C． D． 5．下列命题正确的是( ) A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 6．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( ) A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED 7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 8．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为( ) A．4.5米 B．6米 C．3米 D．4米 9．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是( ) A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为( ) A．1 B． C．2 D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=__________． 12．一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是__________． 13．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的面积为__________cm2． 14．把方程x2+6x+3=0变形为（x+h）2=k的形式，其中h，k为常数，则k=__________． 15．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是__________． 16．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为__________． 三、解答题（共8小题，计72分） 17．解方程： （1）x（x﹣2）=x﹣2； （2）（x+8）（x+1）=﹣12． 18．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB． 20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小． 21．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形． 22．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？ 23．小明和小刚做游戏，用一个不透明袋子，里面装有形状、大小完全相同的2个红球和2个白球，并充分搅匀，让小刚从中摸出一个球不放回，再去摸第二个球，如果两次摸出的球颜色相同小刚赢，反之小明赢．你认为这种游戏是否公平？请你借助树状图或列表的方法，运用概率的知识予以说明． 24．如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE+∠CBE=90°． （1）求证：△CAE∽△CBF； （2）若BE=1，AE=2，求CE的长． 2015-2016学年陕西省西安市莲湖区五校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是( ) A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0，x﹣2=0， x1=0，x2=2， 故选D． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中． 2．下列事件中，是必然事件的是( ) A．打开电视机，正在播放新闻 B．父亲年龄比儿子年龄大 C．通过长期努力学习，你会成为数学家 D．下雨天，每个人都打着雨伞 【考点】随机事件． 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：A、C、D选项都是不确定事件； B、是必然事件． 故选B． 【点评】关键是理解必然事件是一定发生的事件； 解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 3．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( ) A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm 【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】计算题． 【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵AC+BD=20， ∴AC=BD=10cm， ∴OA=OB=5cm， ∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB=OA=5cm， 故选D． 【点评】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长，题目比较典型，是一道比较好的题目． 4．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=( ) A． B． C． D． 【考点】比例的性质． 【分析】首先根据x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，进而得到x：y=3：2． 【解答】解：∵x：（x+y）=3：5， ∴5x=3x+3y， 2x=3y， ∴x：y=3：2=， 故选：D． 【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积． 5．下列命题正确的是( ) A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理． 【专题】计算题． 【分析】A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形； B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改为对角线相等的平行四边形为矩形； C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC与BD垂直，但是显然ABCD不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图所示，根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等，得到平行四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形． 【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形， 例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形， 故本选项为假命题； B、对角线相等的四边形不一定是矩形， 例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形， 故本选项为假命题； C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题； D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形， 已知：四边形ABCD，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， 求证：四边形ABCD为正方形， 证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形为平行四边形，又AC=BD， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题， 故选D 【点评】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定，判断一个命题为假命题，只需举一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定是解本题的关键． 6．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( ) A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED 【考点】相似三角形的判定． 【专题】常规题型． 【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【解答】解：由图得：∠A=∠A ∴当∠B=∠ADE或∠C=∠AED或AE：AC=AD：AB时，△ABC与△ADE相似； 也可AE：AD=AC：AB． C选项中角A不是成比例的两边的夹角． 故选C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根， ∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1． 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 8．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为( ) A．4.5米 B．6米 C．3米 D．4米 【考点】相似三角形的应用． 【专题】应用题． 【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答． 【解答】解：如图： ∵CD∥BE， ∴△ACD∽△ABE， ∴AC：AB=CD：BE， ∴1：4=1.5：BE， ∴BE=6m． 故选B． 【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想． 9．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是( ) A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况， ∴恰好选中两名男学生的概率是：=． 故选A． 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为( ) A．1 B． C．2 D． 【考点】菱形的性质． 【专题】动点型． 【分析】由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，再由勾股定理可求出DE． 【解答】解：连接DE、BD， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD=PB， ∴PE+PB=PE+PD=DE， 即DE就是PE+PB的最小值， ∵∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD是等边三角形， ∵AE=BE， ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）， 在Rt△ADE中，DE=． 故选：B． 【点评】此题是有关最短路线问题，熟悉菱形的基本性质是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=±6． 【考点】比例线段；比例的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据比例中项的概念，得c2=ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值． 【解答】解：∵c是a，b的比例中项， ∴c2=ab， 又∵a=4，b=9， ∴c2=ab=36， 解得c=±6． 【点评】理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算． 12．一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是． 【考点】概率公式． 【分析】从袋中任取一球有4+1+7=12种可能，其中摸出白球有四种可能，利用概率公式进行求解． 【解答】解：随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是． 【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 13．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的面积为cm2． 【考点】菱形的性质；三角形三边关系；勾股定理． 【专题】计算题． 【分析】根据题意，先求出方程的解，根据三角形的三边关系确定出菱形的边长，再求面积． 【解答】解：∵边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根， x2﹣7x+12=0， （x﹣3）（x﹣4）=0， 解得x1=3，x2=4， 当x1=3时，3+3=6，根据三角形的三边关系可知不合题意，所以舍去； 当x2=4时，4+4＞6，所以菱形的边长为4cm． ∵菱形的对角线互相垂直构成直角三角形， 利用勾股定理可求另一条对角线的一半长为=cm， ∴S菱形ABCD==6cm． 故答案为6cm． 【点评】本题综合考查了勾股定理与一元二次方程，解这类题的关键是要利用菱形的特性：菱形的对角线互相垂直构成直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 14．把方程x2+6x+3=0变形为（x+h）2=k的形式，其中h，k为常数，则k=6． 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再通过比较得到k的值． 【解答】解：移项，得 x2+6x=﹣3， 配方，得 x2+6x+9=﹣3+9， 所以，（x+3）2=6． 故答案是：6． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 15．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后求得两次抽出的卡片所标数字不同的情况，再利用概率公式求解即可． 【解答】解：列表得： 1 2 2 3 1 11 12 12 13 2 21 22 22 23 2 21 22 22 23 3 31 32 32 33 ∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种， ∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是=． 故答案为：． 【点评】考查了列表与树状图的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为（﹣，）或（，﹣）． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）． 【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky） ∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）． 故答案为：（﹣，）或（，﹣）． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 三、解答题（共8小题，计72分） 17．解方程： （1）x（x﹣2）=x﹣2； （2）（x+8）（x+1）=﹣12． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）直接提取公因式（x﹣2），可得到（x﹣2）（x﹣1）=0，再解两个一元一次方程即可； （2）先去括号，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）∵x（x﹣2）=x﹣2， ∴（x﹣2）（x﹣1）=0， ∴x﹣2=0或x﹣1=0， ∴x1=2，x2=1； （2）∵（x+8）（x+1）=﹣12， ∴x2+9x+20=0， ∴（x+4）（x+5）=0， ∴x1=﹣4，x2=﹣5． 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是要掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 18．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】（1）由平行可得=，可求得AC，且EC=AC﹣AE，可求得EC； （2）由平行可知==，可得出结论． 【解答】（1）解： ∵DE∥BC， ∴=， 又=，AE=3， ∴=， 解得AC=9， ∴EC=AC﹣AE=9﹣3=6； （2）证明： ∵DE∥BC，EF∥CG， ∴==， ∴AD•AG=AF•AB． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解． 【解答】解：在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴=， 即=， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m， 即树高5.5m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键． 20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD； （2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵=． ∴△ACD∽△CBD； （2）解：∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD， 在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理． 21．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形． 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可； （2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可． 【解答】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C． ∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB． ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB． ∴∠ABE=∠CDF． ∵在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）． （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DE∥BF，DE=BF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵AB=DB，