2015-2016学年度宁德市霞浦区部分中学九年级上期中数学试卷含答案解析.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2015-2016学年福建省宁德市霞浦区部分中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．若方程（k+1）x2+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则k的值为( ) A．k=﹣1 B．k≠﹣1 C．k=0 D．k≠0 2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分对角 3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是( ) A． B． C． D． 4．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是( ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于( ) A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 6．已知，则的值为( ) A． B． C．2 D． 7．某果园2013年水果产量为100吨，2015年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( ) A．196（1﹣x）2 B．100（1﹣x）2=196 C．196（1+x）2=100 D．100（1+x）2=196 8．我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．已知矩形ABCD是黄金矩形且长AB=10，则宽BC为( ) A．2﹣2 B．5﹣5 C．15﹣5 D．0.618 9．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为( ) A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分） 11．将一元二次方程2x（x﹣3）=1化成一般形式为__________． 12．两个相似多边形的一组对应边边长分别为3cm和4.5cm，那么它们的相似比为__________． 13．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共1000件产品中随机抽取20件进行检测，检测出次品2件，由此估计这一批产品中的次品件数是__________． 14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：__________，使得该菱形为正方形． 15．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是__________． 16．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，DA=2，DE=3，则AC=__________． 17．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为AD边上的中点，若OH的长为2，则菱形ABCD的周长等于__________． 18．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则a2=__________，an=__________． 三、解答题（共54分） 19．解方程： （1）x2+2x﹣4=0 （2）（2x+3）2=4（2x+3） 20．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H． （1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形． 21．甲、乙两同学为了争得一张3D电影票，进行了一场游戏：在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣2、3、4的小球，它们除标的数字不同外无其他区别．游戏规则：随机地从口袋中取出一小球，放回后再取出第二个小球，若两次取出来的数乘积为负数甲同学获胜，若两次取出来的数乘积为正数乙同学获胜． （1）请用画树状图或列表的方式表示出所有可能的结果，并求出乙获胜的概率． （2）游戏规则对甲、乙两位同学公平吗？为什么？ 22．已知四边形ABCD中，AD∥BC请使用无刻度直尺画图，使得所画图形每个顶点都在格点上． （1）在图1中画一个与四边形ABCD面积相等，且以CD为边的平行四边形． （2）在图2中画一个与四边形ABCD面积相等，且以AB为对角线的菱形． 23．霞浦县2015年10月1日对城区超标电动车进行管控，某电动车商场为了减少库存，对一款进价为2700元/辆，售价为3500元/辆的超标电动车进行促销活动．促销发现：促销前每天销售8辆，而当每辆单价下降50元时，每天多销售2辆，请问销售单价为多少时，商场每天可盈利10000元（不考虑其它费用）？ 24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点M以每秒1cm的速度从点B向点C移动；同时动点N以3cm的速度从点C向A移动，当点N到达点A时，两点都停止移动，连接MN，设移动时间为t秒． （1）当t为何值时，S△MNC=S四边形ABMN？ （2）当t为何值时，△MNC与△ABC相似？ 25．提出问题： （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH； 类比探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用： （3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积． 2015-2016学年福建省宁德市霞浦区部分中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．若方程（k+1）x2+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则k的值为( ) A．k=﹣1 B．k≠﹣1 C．k=0 D．k≠0 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义求出k+1≠0，求出即可． 【解答】解：∵（k+1）x2+x﹣3=0是关于x的一元二次方程， ∴k+1≠0， 解得：k≠﹣1． 故选B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分对角 【考点】多边形． 【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案． 【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误； B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误； C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确； D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，注意掌握正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出有一个球，摸到红球的概率是( ) A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】先求出袋子中球的总个数及红球的个数，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：袋子中球的总数为5+2=7，而红球有5个， 则摸出红球的概率为． 故选D． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 4．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是( ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【考点】中点四边形． 【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形． 【解答】解：证明：如图，连接AC， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点， ∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC； ∴EF=HG且EF∥HG； ∴四边形EFGH是平行四边形． 故选A． 【点评】本题考查了平行四边形的判断及三角形的中位线定理的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于( ) A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【考点】根与系数的关系． 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可． 【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2， ∴x1+x2=﹣（﹣4）=4． 故选D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是﹣，两根之积是． 6．已知，则的值为( ) A． B． C．2 D． 【考点】分式的基本性质． 【专题】计算题． 【分析】设=k，则a=2k，b=3k，c=4k．将其代入分式进行计算． 【解答】解：设=k，则a=2k，b=3k，c=4k． 所以==， 故选B． 【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 7．某果园2013年水果产量为100吨，2015年水果产量为196吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( ) A．196（1﹣x）2 B．100（1﹣x）2=196 C．196（1+x）2=100 D．100（1+x）2=196 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题． 【分析】2015年的产量=2013年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【解答】解：2014年的产量为100（1+x）， 2015年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2， 即所列的方程为100（1+x）2=196， 故选：D． 【点评】考查列一元二次方程；得到2015年产量的等量关系是解决本题的关键． 8．我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形．已知矩形ABCD是黄金矩形且长AB=10，则宽BC为( ) A．2﹣2 B．5﹣5 C．15﹣5 D．0.618 【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金比值是列出算式，计算即可． 【解答】解：由题意得：=， 又∵AB=10， ∴BC=5﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 9．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】相似三角形的性质． 【专题】网格型． 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比，代入数值即可求得结果． 【解答】解：∵△RPQ∽△ABC， ∴， 即， ∴△RPQ的高为6． 故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处． 故选B． 【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比．解题的关键是数形结合思想的应用． 10．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为( ) A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 【考点】平移的性质；矩形的性质． 【专题】计算题． 【分析】如图，作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH=BC=2，则由矩形性质得∠BAC1=90°，于是可证明Rt△BAH∽Rt△BC1A，利用相似比可计算出BC1=18，然后根据平移的性质得到BC=B1C1=4，平移的距离等于BB1，再计算BC1﹣B1C1即可． 【解答】解：如图，作AH⊥BC于H， ∵AB=AC， ∴BH=CH=BC=2， ∵四边形ABD1C1是矩形， ∴∠BAC1=90°， ∵∠ABH=∠C1BA， ∴Rt△BAH∽Rt△BC1A， ∴=，即=，解得BC1=18， ∵△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1， ∴BC=B1C1=4，平移的距离等于BB1， ∴BB1=BC1﹣B1C1=18﹣4=14（cm）， 即平移的距离为14cm． 故选A． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分） 11．将一元二次方程2x（x﹣3）=1化成一般形式为2x2﹣6x﹣1=0． 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】计算题． 【分析】方程左边去括号，移项合并即可得到结果． 【解答】解：方程去括号得：2x2﹣6x=1，即2x2﹣6x﹣1=0． 故答案为：2x2﹣6x﹣1=0 【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 12．两个相似多边形的一组对应边边长分别为3cm和4.5cm，那么它们的相似比为． 【考点】相似多边形的性质． 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【解答】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5=， ∴它们的相似比为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键． 13．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共1000件产品中随机抽取20件进行检测，检测出次品2件，由此估计这一批产品中的次品件数是100． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】先求出次品所占的百分比，再根据检测出次品2件，直接相除得出答案即可． 【解答】解：∵随机抽取1000件进行检测，检测出次品20件， ∴次品所占的百分比是：=， ∴这一批次产品中的次品件数是：2÷=100（件）， 故答案为100． 【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键． 14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC，使得该菱形为正方形． 【考点】正方形的判定；菱形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据正方形判定定理进行分析． 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC； 故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC． 【点评】本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解． 15．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是a≤1． 【考点】根的判别式． 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根， 所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得a≤1． 故答案为a≤1． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 16．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，DA=2，DE=3，则AC=． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴∠BED∽△BCA， ∴=， ∵DB=4，DA=2，DE=3， ∴=， ∴AC=． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 17．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为AD边上的中点，若OH的长为2，则菱形ABCD的周长等于16． 【考点】菱形的性质． 【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ∵AC⊥BD． ∵为AD边上的中点，OH=2， ∴AD=2OH=4， ∴菱形ABCD的周长=4×4=16． 故答案为：16． 【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解答此题的关键． 18．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则a2=，an=． 【考点】正方形的性质． 【专题】规律型． 【分析】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an﹣1可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式． 【解答】解：∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴a2=a1=， 同理a3=a2=（）2a1=2， a4=a3=（）3a1=2； 由此可知： a2=a1=，a3=a2=（）2a1=2，a4=a3=（）3a1=2 ；… 故找到规律an=（）n﹣1=． 故答案为． 【点评】本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键． 三、解答题（共54分） 19．解方程： （1）x2+2x﹣4=0 （2）（2x+3）2=4（2x+3） 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【专题】计算题． 【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2=5，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程变形为（2x+3）2﹣4（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x2+2x=4， x2+2x+1=5， （x+1）2=5， x+1=±， 所以x1=﹣1+，x2=﹣1﹣； （2）（2x+3）2﹣4（2x+3）=0， （2x+3）（2x+3﹣4）=0， 2x+3=0或2x+3﹣4=0， 所以x1=﹣，x2=． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 20．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H． （1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形． 【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）利用两角对应相等可证出△ABE∽△ADF； （2）利用（1）的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90度． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE=∠ADF． ∴△ABE∽△ADF． （2）∵△ABE∽△ADF， ∴∠BAG=∠DAH． ∵AG=AH， ∴∠AGH=∠AHG， 从而∠AGB=∠AHD， ∴△ABG≌△ADH， ∴AB=AD． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定． 21．甲、乙两同学为了争得一张3D电影票，进行了一场游戏：在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣2、3、4的小球，它们除标的数字不同外无其他区别．游戏规则：随机地从口袋中取出一小球，放回后再取出第二个小球，若两次取出来的数乘积为负数甲同学获胜，若两次取出来的数乘积为正数乙同学获胜． （1）请用画树状图或列表的方式表示出所有可能的结果，并求出乙获胜的概率． （2）游戏规则对甲、乙两位同学公平吗？为什么？ 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与乙获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）首先由（1）求得甲同学获胜的概率，比较概率的大小，即可知游戏规则对甲、乙两位同学是否公平． 【解答】解：（1）画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，乙获胜的有5种情况， ∴乙获胜的概率为：； （2）不公平． 理由：∵甲获胜的有4种情况， ∴P（甲获胜）=， ∴P（甲获胜）≠P（乙获胜）， ∴游戏规则对甲、乙两位同学不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 22．已知四边形ABCD中，AD∥BC请使用无刻度直尺画图，使得所画图形每个顶点都在格点上． （1）在图1中画一个与四边形ABCD面积相等，且以CD为边的平行四边形． （2）在图2中画一个与四边形ABCD面积相等，且以AB为对角线的菱形． 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】（1）因为四边形ABCD的上下底之和为2+8=10，找出在A的左边左数3个格，B的右边右数3个格，连接两个点即可； （2）因为四边形ABCD的面积为×（2+8）×4=20，对角线AB==2，另一条的对角线为4==，找出AB的中点且与AB垂直即可． 【解答】解：如图， 【点评】本题主要考查了作图的设计和应用，勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形、菱形的面积以及格点的数字特点． 23．霞浦县2015年10月1日对城区超标电动车进行管控，某电动车商场为了减少库存，对一款进价为2700元/辆，售价为3500元/辆的超标电动车进行促销活动．促销发现：促销前每天销售8辆，而当每辆单价下降50元时