1.1 第2课时菱形的判定3.doc

优秀领先 飞翔梦想 第2课时 菱形的判定 一、选择题（共10小题） 1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（　　） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（　　） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　） A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 8、能判定一个四边形是菱形的条件是（　　） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 二、填空题（共8小题） 11、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　_________　（只填一个你认为正确的即可）． 12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是　_________　． 13、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　_________　．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：　_________　=＞ABCD是菱形；　_________　=＞ABCD是菱形． 15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件　_________　（写一个即可），使四边形ABCD是菱形． 16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是　_________　．（写四个条件的不给分，只填序号） 17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是　_________　形，再说明　_________　（只需填写一种方法） 18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是　_________　（只需填写一个条件即可）． 三、解答题（共11小题） 19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE． （1）求证：△ABE≌△ACE； （2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由． 20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形． 23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论． 24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD． （1）求证：AD=CE； （2）填空：四边形ADCE的形状是　_________　． 25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD是菱形； （2）设CD=4，求D、F两点间的距离． 26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E． 求证：四边形CDC′E是菱形． 27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP． （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围． 29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA． （1）求△ABC所扫过的图形的面积； （2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由； （3）若∠BEC=15°，求AC的长． 答案与评分标准 一、选择题（共10小题） 1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（　　） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 考点：坐标与图形性质；菱形的判定。 分析：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断． 解答：解：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形． 故选B． 点评：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点． 2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（　　） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 考点：等边三角形的性质；菱形的判定。 专题：操作型。 分析：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形． 解答：解：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等， 即是菱形． 故选B． 点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形． 3、（如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：计算题。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 解答：解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确． 故选A． 点评：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（　　） A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。 专题：应用题。 分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF． ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选C． 点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形． 5、在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 考点：菱形的判定；等边三角形的性质。 专题：操作型。 分析：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形． 解答：解：根据题意得，拼成的四边形四边相等， 则是菱形． 故选B． 点评：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义． 6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 考点：菱形的判定；等边三角形的性质。 分析：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形． 解答：解：由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形． 故选D． 点评：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形． 7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点：菱形的判定。 专题：应用题。 分析：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF． ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选C． 点评：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形． 8、能判定一个四边形是菱形的条件是（　　） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 考点：菱形的判定。 分析：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可． 解答：解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形， 故选D． 点评：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定． 9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（　　） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 考点：菱形的判定；非负数的性质：偶次方。 分析：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形． 解答：解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad， 2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），） ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0， 由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0， ∴a=b=c=d， ∴四边形一定是菱形， 故选C． 点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质． 二、填空题（共8小题） 11、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是　AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD　（只填一个你认为正确的即可）． 考点：菱形的判定。 专题：开放型。 分析：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD． 解答：解：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形， 再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一） 点评：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是　AB=AD或AC⊥BD　． 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． ∴可添加：AB=AD或AC⊥BD． 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD． 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一． 13、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是　AC⊥EF或AF=CF等　．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形． 解答：解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF． 证明：∵AD∥BC， ∴∠FAD=∠AFB， ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠BAF=FAD， ∴∠BAF=∠AFB， ∴AB=BF， 同理ED=CD， ∵AD=BC，AB=CD， ∴AE=CF， 又∵AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形， ∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形， 则添加的一个条件可以是：AC⊥EF． 点评：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一． 14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：　（1）（2）（6）　=＞ABCD是菱形；　（3）（4）（5）@（3）（4）（6）　=＞ABCD是菱形． 考点：菱形的判定。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 解答：解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形． 先由（1）（2）得出四边形是平行四边形， 再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA， 由等角对等边得AD=CD， 所以平行四边形是菱形． （3）（4）（5）=＞ABCD是菱形． 由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． （3）（4）（6）=＞ABCD是菱形． 由（3）（4）得出四边形是平行四边形， 再由（6）得出∠DAC=∠DCA， 由等角对等边得AD=CD， 所以平行四边形是菱形． 点评：本题考查菱形的判定． 15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件　AB=BC@AC⊥BD　（写一个即可），使四边形ABCD是菱形． 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可． 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD． 点评：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角． 16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是　①③④或②③④　．（写四个条件的不给分，只填序号） 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可． 解答：解：设AC与BD交于点E，由③AC⊥BD，④AC平分∠BAD可证得，Rt△AEB≌Rt△AED， ∴AB=AD，BE=DE， 再由∠BEC=∠DEC=90°，CE=CE，证得Rt△BCE≌Rt△DCE， ∴BC=CD， 再由①AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形； 或者再由②AD∥BC，证得：Rt△AED≌Rt△BCE， ∴AE=EC， 由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形． 故填写①③④或②③④． 点评：本题考查了菱形的判定，利用全等三角形的判定和性质来证明． 17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是　平行四边　形，再说明　有一组邻边相等　（只需填写一种方法） 考点：菱形的判定。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等． 解答：解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以，要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等． 点评：本题考查菱形的判定，答案不唯一． 18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是　AB=BC（答案不唯一）　（只需填写一个条件即可）． 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 专题：开放型。 分析：菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 所以可添加AB=BC． 解答：解：AB=BC或AC⊥BD等． 点评：本题考查了菱形的判定，答案不唯一． 三、解答题（共11小题） 19、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE． （1）求证：△ABE≌△ACE； （2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由． 考点：全等三角形的判定；菱形的判定。 专题：证明题。 分析：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形． 解答：（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点， ∴∠BAE=∠CAE， ∵AE=AE ∴△ABE≌△ACE（SAS）． （2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形 理由如下： ∵AE=2AD，∴AD=DE， 又∵点D为BC中点， ∴BD=CD， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∵AB=AC， ∴四边形ABEC为菱形． 点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易． 20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB． （2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形． 解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC， ∵E、F分别为AB、CD的中点， ∴AE=CF． 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB（SAS）； （2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°． ∵E是AB的中点， ∴DE=AB=BE． 由题意可知EB∥DF且EB=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴四边形BFDE是菱形． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点． 21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF； （2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF实菱形． 解答：证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四边形AEDF为菱形． 点评：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况． 22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形． 考点：菱形的判定。 专题：证明题。 分析：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是