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期末选优拔尖测试卷 （120分，120分钟） 一、选择题（每题3分，共36分） 1.已知x－=3，则4－x2+x的值为（ ） A.1 B. C. D. 2.（吉林长春）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y=x上，则点B与其对应点B′间的距离为（ ） A． B．3 C．4 D．5 图1 3.如图2的几何体的左视图是图3中的（ ） 图2 图3 图4 4.〈山东临沂〉如图4，在平面直角坐标系中，点A1 ，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 5.〈浙江绍兴〉教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图5，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ） A.7：20 B.7：30 C.7：45 D．7：50 图5 6.〈山东威海〉如图6，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°， 反比例函数y1=的图象经过点A，反比例函数y2=的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（ ） A.m=－3n B.m=－n C.m=－n D.m=n 图6 7.如图7，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是（ ） A. B. C. D. 图7 8.〈山东滨州〉如图8，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论： ①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 图8 图9 9.如图9是某几何体的三视图，则组成该几何体的小方块块数为（ ） A.12块 B.9块 C.7块 D.6块 10.〈青海西宁〉已知函数y=kx+b的图象如图10所示，则一元二次方程x2+x+k－1=0根的存在情况是（ ） A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 图10 图11 11.〈山东菏泽，有改动〉如图11，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ） A.16 B.17 C.18 D.19 12.根据如图12所示的程序，得到了y与x的函数图象（如图13），过y轴正半轴上一点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：①x＜0时，y=；②△OPQ的面积为定值；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°，其中正确的是（ ） A.①②④ B.②④⑤ C.③④⑤ D.②③⑤ 图12 图13 二、填空题（每题4分，共24分） 13.〈湖北随州〉如图14，点D，E分别在AB，AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为 . 14.关于x的方程ax2－(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1+x2－x1·x2=1－a，则a= . 图14 图15 15.如图15，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1，AD的中点E的对应点记为E1.若△E1FA1∽△E1BF，则AD= . 16.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6），记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，这样就确定P的一个坐标（x，y），则点P落在双曲线y=上的概率为 . 17.如图16，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论①△AED≌△DFB； ②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2FD，则BG=6GF，其中正确的有 .（填序号） 图16 图17 18.〈辽宁铁岭〉如图17，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B，BA为邻边作平行四边形ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1，B1A1为邻边作平行四边形A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是 . 三、解答题（每题10分，共60分） 19.某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图18所示的两幅不完整的统计图（要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： 图18 （1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m=____，n=____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度； （3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率． 20.如图19，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC. （1） 求证：四边形BCEF为平行四边形. 图19 （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF为菱形？ 21.已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x2－mx+－=0的两个实数根， （1）当m为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）当AB=2时，平行四边形ABCD的周长是多少？ 22.如图20所示，不透明圆锥DEC放在水平面上，在A处灯光照射下形成影子，设BP过圆锥底面的圆心，已知圆锥的高为2m，底面半径为2 m，BE=4 m. （1）求∠B的度数； 图20 （2）若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度（答案用含根号的式子表示）. 23.〈四川绵阳〉“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆. （1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ （2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍.假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 24.（1）请在图21①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图21②，M是正方形ABCD内一定点，请在图21②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决： 图21 （3）如图21③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由． 参考答案及点拨 一、1.D 点拨：由x－=3得：x2－3x=1，∴4－x2+x=4－ (x2－3x)=4－×1=. 2. B 3.B 4. D 点拨：所作的三角形共有4个，△OA1B1，△OA1B2，△OA2B2，△OA2B1，其中等腰三角形有2个，△OA1B1，△OA2B2，所以所作三角形是等腰三角形的概率为=. 5. A 点拨：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7 min，设一次函数关系式为：y=k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30，∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；设反比例函数关系式为：y=，将（7，100）代入y=得k=700，∴y=，将y=30代入y=，解得x=；∴y=（7＜x≤），令y=50，解得x=14．所以，饮水机的一个循环周期为 min．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．逐一分析如下： 选项A：7：20至8：45之间有85 min．85－×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；选项B：7：30至8：45之间有75 min． 75 min－×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；选项C：7：45至8：45之间有60 min．60－×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；选项D：7：50至8：45之间有55 min．55－×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A． 6. A 点拨：∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，∴OB=AB，又OA2+OB2=AB2，∴ =.作BE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F， ∵∠BOE+∠AOF=90°，∠OBE+∠BOE=90°，∴∠AOF=∠OBE，∴△OBE∽△AOF，∴===.设B，A， 则BE=，OF=xA，OE=－xB，AF=， 即==，∴=，=， ∴ －=·=， ∴m=－3n，故选A. 7. B 8. D 点拨：AD∥ BC，AD＝ BC， AD∥CE，AD＝CE，∴四边形ABCD、四边形ACED都是平行四边形，又△ABC是等边三角形，∴AC=BC=CE.∴平行四边形ACED为菱形，故①②③全正确. 9. D 点拨：组成该几何体的块数为1+2+3=6（块）.故选D. 10. C 点拨：Δ=1－4(k－1)=5－4k.又由函数y=kx+b的图象可知k＜0，∴5－4k＞0，∴x2+x+k－1=0有两个不相等的实数根，故选C. 11. B 点拨：∵大正方形的边长为6，∴面积为S1的正方形的边长为3.∴S1=9，设面积为S2的正方形的边长为x，则=， ∴x=2.∴S2=(2)2=8.∴S1+S2=9+8=17.故选B. 12. B 二、13. 10 点拨：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ =，∴=，∴AB=10. 14. －1 点拨：x1+x2=，x1·x2=，∴－=1－a，∴a2－1=0，∴a=±1，Δ=［－(3a+1)］2－4a·2(a+1)＞0即（a－1）2＞0，∴a≠1，∴a=－1. 15. 点拨：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴AC=8.设AD=x，由△ADF∽△ACB，得=，∴DF=x，当△E1FA1∽△E1BF时，E1F2=E1A1·E1B.即FD2+DE2=E1A1·E1B，∴ （x）2+(x)2=x·(10－x)，∴x=. 16. 点拨：等可能出现的情况共有36种，其中xy=6的有4种（1，6；2，3；3，2；6，1），∴P==. 答图1 17. ①②③ 点拨：在菱形ABCD中，AB=BD，∴△ABD和△BCD都为等边三角形，又AE=DF，∴△AED≌△DFB，如答图1，作∠BCM=∠DCG，交GB的延长线于M，易知△DCG≌△BCM.∴△GCM为等边三角形，∴S四边形BCDG=S三角形GCM=CG2;作EN∥AD，交BF于N. ∵AF=2FD，DF=AE，∴BE=2AE.∴= =，∴==，又=，∴ =，∴BG=6GF，故①②③都正确. 18.（－×4n－1，4n） 点拨：此题运用数字归纳法.∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，∴易求出直线l对应的函数关系式为y=x．∵AB⊥y轴，点A（0，1），∴可设B点坐标为（xB，1），将（xB，1）代入y=x，得1=xB，解得xB=，∴B点坐标为（，1），AB=．在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°－60°=30°，∠A1AB=90°， ∴A1B=2AB=2，∴AA1= ==3，OA1=OA+AA1=1+3=4，∵平行四边形ABA1C1中，A1C1=AB=，∴C1点的坐标为（－，4），即（－×40，41）；由x=4，解得x=4，∴B1点的坐标为（4，4），A1B1=4．在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，∴A2B1=2A1B1=8，∴A1A2= ==12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，∵平行四边形A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，∴C2点的坐标为（－4，16），即（－×41，42）；同理，可得C3点的坐标为（－16，64），即（－×42，43）；以此类推，则Cn的坐标是（－×4n－1，4n）． 故答案为（－×4n－1，4n）． 三、19. 解：（1）40，如答图2： 答图2 (2)10;20；72；（3）列表如下： 第二次 第一次 男1 男2 男3 女 男1 男1男2 男1男3 男1女 男2 男2男1 男2男3 男2女 男3 男3男1 男3男2 男3女 女 女男1 女男2 女男3 从上表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性均相同，其中1男1女的结果有6种，∴P（1男1女）==.点拨：条形图和扇形图相结合，由篮球人数为12，篮球占30%，即可求出总人数，进而可求出足球的人数和排球和足球所占的百分比及足球在扇形统计图中所占的圆心角度数.（3）4名学生中抽取2名实际上是两次试验，是抽出不放回的概率模型问题. 20.（1）证明：∵AF=CD， ∴AC=DF. 又∠A=∠D，AB=DE， ∴△ABC≌△DEF， ∴BC=EF，∠ACB=∠DFE. ∴BC∥EF. ∴四边形BCEF为平行四边形. （1） 解：连接BE交CF于G. 若四边形BCEF为菱形，则有BE⊥CF，FG=CG， 又∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC=5.又∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG. ∴△ABC∽△BGC， ∴ =，即=. ∴CG=.∴FC=2CG=. ∴AF=AC－FC=5－=. 故当AF=时，四边形BCEF为菱形. 点拨：当AF为何值时，四边形BCEF为菱形，我们可以把四边形BCEF为菱形作为条件去求AF的值.这也是我们解决探究问题的一个常用方法. 21. 解：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD. 又∵Δ=m2－4（－）=m2－2m+1=(m－1)2. ∴当(m－1)2=0，即m=1时，四边形ABCD是菱形. 把m=1代入x2－mx+－=0得x2－x+=0，∴x1=x2=. ∴菱形ABCD的边长为. （2） 把x=2代入x2－mx+－=0得4－2m+－=0， 解得m=.把m=代入x2－mx+－=0得x2－x+1=0， 解得x1=2，x2=∴AD=. ∵四边形ABCD为平行四边形. ∴平行四边形ABCD的周长为2（2+）=5. 点拨：把平行四边形的边长与一元二次方程的根相联系，那么平行四边形的性质和一元二次方程根的性质都要掌握.首先平行四边形变为菱形，各边相等，那么一元二次方程就有两个相等的实数根.对于（2）就是已知一元二次方程的一根再求另一根. 22. 解：（1）圆锥的高DO=2m. 在Rt△DOB中，OB=BE+EO=4+2=6(m). ∴BD2=BO2+DO2=62+(2)2=48. ∴BD=4m，则BD=2DO. ∴∠B=30°. （3） 过A作AF⊥BP于F. ∵∠ACP=∠B+∠BAC=2∠B， ∴∠B=∠BAC=30°. ∴AC=BC=BE+EC=8(m). 在Rt△ACF中，∠CAF=90°－∠ACP=90°－2∠B=30°. ∴CF=AC=4(m). ∴AF= ==4 (m). 故光源A距水平面的高度为4m. 点拨：投影问题在本题中转化为在直角三角形中求角度和边长的问题，通过作高，构造直角三角形，应用直角三角形中边、角之间的关系去求值. 23. 解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ， 根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ， 解得x1=－225%（不合题意，舍去）， x2= 25%. 100×(1+25%)=125(辆). 答：该商城4月份卖出125辆自行车. （2）设进B型车x辆，则进A型车辆， 根据题意得不等式组2x≤ ≤2.8x ， 解得 12.5≤x≤15，自行车辆数为整数， 所以13≤x≤15， 设销售利润为W元， 则W=（700－500）× +（1 300－1 000）x . 整理得：W=－100x+12 000， ∵ W随着x的增大而减小， ∴ 当x=13时，W有最大值，此时，=34， 所以该商城应进A型车34辆，B型车13辆. 点拨：方程、不等式（组）、一次函数相结合的问题，除了要考虑数学知识之间的融会贯通之外，还应考虑它们所表示的实际问题的意义，如舍去负根，不等式组的正整数解，根据一次函数的性质求最大利润等. 24. 解：（1）如答图3①. 答图3 （4） 如答图3②.理由如下： ∵点O是正方形ABCD的对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心，∴AP=CQ，EB=DF，在△AOP和△EOB中， ∵∠AOP=90°－∠AOE，∠BOE=90°－∠AOE， ∴∠AOP=∠BOE，∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°， ∴△AOP≌△BOE，∴AP=BE=DF=CQ， 设O到正方形ABCD一边的距离为d， 则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，∴S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF， ∴直线EF、OM将正方形ABCD面积四等分； 答图4 （3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分. 理由如下：如答图4，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF. ∴BE∥CF，BE=CF， ∴四边形BCFE为平行四边形， ∵BC=BE=a+b， ∴平行四边形BCFE为菱形.连接BF交AD于点M， 则△MAB≌△MDF， ∴AM=DM.即点P、M重合. ∴点P是菱形EBCF对角线的交点， 在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a. 设点P到菱形EBCF一边的距离为d.连接CP， ∴S△ABP+S△QBP= (AB+BQ)d= (CQ+CD)d=S△CQP+S△CDP， 即S四边形ABQP=S四边形PQCD. ∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分. 17 / 17