重庆市南开中学2017-2018年八年级（下）期末数学试卷（解析版）_20191122103410.doc

2017-2018学年重庆市南开中学八年级（下）期末数学试卷 　 一、选择题：（本大题12小题，每小题4分，共48分）在美国小题的小面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内. 1．若分式的值为零，则x的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 2．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．m2+n2=（m+n）2 B．x2﹣1=x（x﹣） C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2﹣2 D．x2﹣4y2=（x﹣2y）（x+2y） 4．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．六边形的内角和为（　　） A．360° B．540° C．720° D．1080° 6．若函数的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（　　） A．（3，4） B．（2，6） C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4） 7．已知关于x方程2x2﹣x+3=0，下列叙述正确的是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 8．融侨半岛某文具店购入一批笔袋进行销售，进价为每个20元，当售价为每个50元时，每星期可以卖出100个，现需降价处理：售价每降价3元，每星期可以多卖出15个，店里每星期笔袋的利润要达到3125元．若设店主把每个笔袋售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（30+x）（100﹣15x）=3125 B．（30﹣x）（100+15x）=3125 C．（30+x）（100﹣5x）=3125 D．（30﹣x）（100+5x）=3125 9．如图，身高1.8m的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，经测量，此时小超离路灯底部的距离是9m，则路灯离地面的高度是（　　） A．5.4m B．6m C．7.2m D．9m 10．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（　　） A．△ACD B．△ADF C．△BDF D．△CDE 11．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是（　　） A．140 B．120 C．99 D．86 12．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A坐标为（﹣1，0），顶点B的坐标为（0，﹣2），经过顶点C的双曲线y=（k＞0）与线段AD交于点E，且AE：DE=2：1，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 　 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填写在答题卷对应的横线上. 13．若，则=　　　　　　． 14．若△ABC∽△DEF，且周长的比为3：1，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为　　　　　　． 15．如图，△ABC中，CE：EB=2：3，DE∥AB，若△ABC的面积为25，则△BDE的面积为　　　　　　． 16．如图，等腰△ABC的腰长为2，D为底边BC上一点，且BD=2，E为腰AC上一点，若∠ADE=∠B=30°，则CE的长为　　　　　　． 17．从﹣2，﹣1，1，2，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既能使关于x的方程﹣a=无解，又能使关于x的反比例函数y=的图象不经过第二象限的概率是　　　　　　． 18．如图，正方形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，反比例函数y=﹣在第二象限的图象经过点B，点D坐标为（﹣2，0），将正方形沿BD翻折，使点C落在E处，分别延长BE、DE角y轴于点F和G，则线段FG的长度是　　　　　　． 　 三、计算题：(本大题共3个小题，19题、20题每小题8分，21题8分，共28分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上. 19．（1）分解因式：2x2+4xy+2y2； （2）分式计算： +． 20．解方程： （1）x2=（3﹣2x）2； （2）x2+4x﹣3=0； （3）+=． 21．先化简，再求值：÷（﹣x﹣3y）+，其中x、y满足（x﹣1）2+|y﹣2|=0． 　 四、解答题：（本大题共5个小题，22题8分，23题、24题、25题命题10分，26题12分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷对应的位置上） 22．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的重庆﹣﹣我最喜爱的重庆小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全条形统计图； （2）若全校有3000名同学，请估计全校同学中最喜爱“米花糖”的同学有多少人？ （3）在此次调查活动中，有3男2女共5名工作人员，若从中随机选择2名负责调查问卷的发放和回收工作，请用列表或画树状图的方法，求出这2名工作人员恰好是1男1女的概率． 23．如图，已知A（n，﹣4），B（3，2）是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点D． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△BOD的面积； （3）根据图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围． 24．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE． （1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长； （2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE； （3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论． 25．重庆市2015中考体育考了立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳、中长跑（女子800米、男子1000米），其中，中长跑成绩不计入总分，但考生必须参加《国家学生体质健康标准》规定的女子800米和男子1000米项目的测试达标后，方能参加其他三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分． 为了尽快适应中招体考项目，北关中学初二（1）班委会计划购买跳绳45条以及实心球45个供班上60名同学集体使用，经过了解，发现共需要1350元． （1）在资费筹集阶段，班委会了解到，跳绳的单价比之前上涨了25%，实心球的单价比之前上涨了50%，这样购买原计划数量的跳绳和实心球就需要1800元，请问跳绳和实心球的最新价格分别是多少元？ （2）在第（1）问的条件下，经初步统计，初二（1）班有25人自愿集资购买跳绳和实心球以供集体使用，那么平均每生需交72元，初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳12条、实心球10个赠送给了初二（1）班．这样初二（10）班只需再购买跳绳33条、实心球35个即可．同时经初二（1）班委会进一步宣传，自愿集资的学生在25人的基础上增加了2a%．相应地，每生平均交费在72元基础上减少了1.25a%，求a的值． 26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，现有两动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C﹣D﹣A向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为x（s）． （1）填空：AB=　　　　　　；S菱形ABCD=　　　　　　； （2）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN，记△AMN与△AOB的重叠部分面积为S，当点N运动到与直线AC的距离为1.8时，求S的值； （3）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜），当x=6时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值． 　 2017-2018学年重庆市南开中学八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：（本大题12小题，每小题4分，共48分）在美国小题的小面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内. 1．若分式的值为零，则x的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题． 【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】解：由分子x﹣3=0解得：x=3， 而当x=3时，分母x+3=3+3=6≠0， 故x=3． 故选A． 【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义． 　 2．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键． 　 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．m2+n2=（m+n）2 B．x2﹣1=x（x﹣） C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2﹣2 D．x2﹣4y2=（x﹣2y）（x+2y） 【考点】因式分解的意义． 【分析】分别将各选项分解因式进而分析得出即可． 【解答】解：A、m2+n2，无法分解因式，故此选项错误； B、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故此选项错误； C、a2﹣2a﹣1，无法分解因式，故此选项错误； D、x2﹣4y2=（x﹣2y）（x+2y），正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键． 　 4．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线． 故选A． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 　 5．六边形的内角和为（　　） A．360° B．540° C．720° D．1080° 【考点】多边形内角与外角． 【专题】计算题． 【分析】利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°即可解决问题． 【解答】解：根据多边形的内角和可得： （6﹣2）×180°=720°． 故本题选C． 【点评】本题需利用多边形的内角和公式解决问题． 　 6．若函数的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（　　） A．（3，4） B．（2，6） C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】将（3，﹣4）代入y=求出k的值，再根据k=xy解答即可． 【解答】解：∵函数的图象经过点（3，﹣4）， ∴k=3×（﹣4）=﹣12， 符合题意的只有C：k=﹣12×1=﹣12． 故选C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 　 7．已知关于x方程2x2﹣x+3=0，下列叙述正确的是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【考点】根的判别式． 【分析】直接利用根的判别式进行判定即可． 【解答】解：∵△=（﹣1）2﹣4×2×3=﹣23＜0， ∴该方程没有实数根． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 　 8．融侨半岛某文具店购入一批笔袋进行销售，进价为每个20元，当售价为每个50元时，每星期可以卖出100个，现需降价处理：售价每降价3元，每星期可以多卖出15个，店里每星期笔袋的利润要达到3125元．若设店主把每个笔袋售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（30+x）（100﹣15x）=3125 B．（30﹣x）（100+15x）=3125 C．（30+x）（100﹣5x）=3125 D．（30﹣x）（100+5x）=3125 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】销售问题． 【分析】若设店主把每个笔袋售价降低x元，根据总利润达到3125元列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：（30﹣x）（100+5x）=3125， 故选D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出单价和单件的利润，从而表示出总利润． 　 9．如图，身高1.8m的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，经测量，此时小超离路灯底部的距离是9m，则路灯离地面的高度是（　　） A．5.4m B．6m C．7.2m D．9m 【考点】相似三角形的应用；中心投影． 【分析】如图，AD=9m，DE=3m，CD=1.8m，先证明△EDC∽△EAB，然后利用相似比可计算出AB． 【解答】解：如图，AD=9m，DE=3m，CD=1.8m， ∵CD∥AB， ∴△EDC∽△EAB， ∴=，即=， ∴AB=7.2m． 故选C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 　 10．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（　　） A．△ACD B．△ADF C．△BDF D．△CDE 【考点】相似三角形的判定． 【专题】网格型． 【分析】利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案． 【解答】解：由网格可知：AB=2，BC=4，AC=2，BD=1，DF=，BF=， 则===， 故与△ABC相似的三角形是△BDF． 故选：C． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 　 11．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是（　　） A．140 B．120 C．99 D．86 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】压轴题；规律型． 【分析】结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是2×3﹣3；第2个图形中黑色棋子的个数是3×4﹣4；依此类推即可求解． 【解答】解：第10个图形需要黑色棋子的个数是11×12﹣12=120（个）． 故选B． 【点评】此题要能够根据多边形的周长的方法进行计算，注意每个顶点的重复． 　 12．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A坐标为（﹣1，0），顶点B的坐标为（0，﹣2），经过顶点C的双曲线y=（k＞0）与线段AD交于点E，且AE：DE=2：1，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【考点】反比例函数综合题． 【专题】综合题． 【分析】作EF⊥x轴于F，DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，BQ⊥y轴交CN于Q，如图，由EF∥DM得到△AEF∽△ADM，根据相似三角形的性质得=，而AE：DE=2：1，则=，于是可设EF=2t，DM=3t，再证明Rt△AEF∽△BAO，利用相似比得到AF=4t，则E（4t﹣1，2t），同样可得AM=6t，接着证明△ADM≌△BCQ得到BQ=AM=6t，CQ=DM=3t，于是可得C（6t，3t﹣2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征k=（4t﹣1）•2t=6t•（3t﹣2），再解关于t的方程求出t的值，从而可计算出k的值． 【解答】解：作EF⊥x轴于F，DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，BQ⊥y轴交CN于Q，如图， ∵EF∥DM， ∴△AEF∽△ADM， ∴=， ∵AE：DE=2：1， ∴AE：AD=2：3， ∴=，设EF=2t，则DM=3t， ∵∠BAO=∠AEF， ∴Rt△AEF∽△BAO， ∴=，即=，解得AF=4t， ∴OF=4t﹣1， ∴E（4t﹣1，2t）， 同样可得AM=6t， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC， 而∠CBQ=∠ABO=∠DAM， 在△ADM和△BCQ中， ， ∴△ADM≌△BCQ， ∴BQ=AM=6t，CQ=DM=3t， ∴ON=BQ=6t，CN=CQ﹣NQ=3t﹣2， ∴C（6t，3t﹣2）， ∵点E（4t﹣1，2t）和点C（6t，3t﹣2）都在双曲线y=（k＞0）上， ∴（4t﹣1）•2t=6t•（3t﹣2）， 整理得t2﹣t=0，解得t1=1，t2=0（舍去）， ∴E（3，2）， ∴k=3×2=6． 故选B． 【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；会运用相似三角形的判定与性质计算线段的长；理解坐标与图形性质．合理添加辅助线是解决问题的关键． 　 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填写在答题卷对应的横线上. 13．若，则=　　． 【考点】比例的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据分比定理[如果a：b=c：d那么（a﹣b）：b=（c﹣d）：d （b、d≠0）]来解答． 【解答】解：∵， ∴， 即． 【点评】本题主要考查了分比定理：在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理． 　 14．若△ABC∽△DEF，且周长的比为3：1，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为　3：1　． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的性质求出即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且周长的比为3：1， ∴相似比为3：1， ∴△ABC与△DEF对应边上的中线的比是3：1． 故答案为：3：1． 【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，难度适中． 　 15．如图，△ABC中，CE：EB=2：3，DE∥AB，若△ABC的面积为25，则△BDE的面积为　6　． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由DE∥AB，CE：CB=2：5，可知S△CDE：S△ABC=4：25，因为△ABC的面积为25，所以△CDE的面积为4，由CE：EB=2：3，可知S△BDE：S△CDE=3：2，所以△BDE的面积为×4=6． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∵CE：EB=2：3， ∴CE：CB=2：5， ∴S△CDE：S△ABC=4：25， ∵S△ABC=25， ∴S△CDE=4， ∵CE：EB=2：3， ∴S△BDE：S△CDE=3：2， ∴S△BDE=6． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和面积变换，相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高的三角形面积比等于底的比，等底的三角形面积比等于高的比． 　 16．如图，等腰△ABC的腰长为2，D为底边BC上一点，且BD=2，E为腰AC上一点，若∠ADE=∠B=30°，则CE的长为　　． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】先求出BC的长，求出DC，根据相似三角形的判定定理求出△ABD∽△DCE，得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：如图．过A作AM⊥BC于M， 则∠AMB=∠AMC=90°， ∵AB=AC=2，∠B=30°， ∴∠B=∠C=30°，BM=CM， ∴BM=AB×cos30°=3， 则BC=3+3=6， ∵∠ADE=30°，∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠DAC+∠ADE， ∴∠ADB=∠DAC+30°，∠DEC=∠DAC+30°， ∴∠ADB=∠DEC， 又∵∠B=∠C=30°， ∴△ABD∽△DCE， ∴=， ∴=， ∴CE=， 故答案为． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，找准相似三角形是解此题的关键． 　 17．从﹣2，﹣1，1，2，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既能使关于x的方程﹣a=无解，又能使关于x的反比例函数y=的图象不经过第二象限的概率是　　． 【考点】概率公式；分式方程的解；反比例函数的性质． 【分析】首先确定能使得分式方程无解的a的值，然后确定能使得反比例函数的图象不经过第二象限的a的值，从而利用概率公式求解． 【解答】解：方程﹣a=去分母得： x﹣a（x﹣2）=a， ∵关于x的方程﹣a=无解， ∴x=2， ∴a=2， ∵关于x的反比例函数y=的图象不经过第二象限， ∴a＞0， ∴a的值为2， ∴a的值既能使关于x的方程﹣a=无解，又能使关于x的反比例函数y=的图象不经过第二象限的概率是． 故答案为：． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 　 18．如图，正方形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，反比例函数y=﹣在第二象限的图象经过点B，点D坐标为（﹣2，0），将正方形沿BD翻折，使点C落在E处，分别延长BE、DE角y轴于点F和G，则线段FG的长度是　　． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】连接CE，交BD于点H，先根据四边形OABC是正方形，反比例函数y=﹣在第二象限的图象经过点B得出B点坐标，由翻折变换的性质可知点H为点段CE的中点，再利用待定系数法求出直线BD与CE的解析式，故可得出H点的坐标，进而得出E点坐标，利用待定系数法求出直线BE与DG的解析式可得出G、F的坐标，进而可得出结论． 【解答】解：连接CE，交BD于点H， ∵四边形OABC是正方形，反比例函数y=﹣在第二象限的图象经过点B， ∴B（﹣3，3）． ∵△BDE由△BDC翻折而成， ∴BD是线段CE的垂直平分线． 设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵B（﹣3，3），D（﹣2，0）， ∴，解得， ∴直线BD的解析式为y=﹣3x﹣6． ∵BD⊥CE， ∴设直线CE的解析式为y=x+a， ∴C（﹣3，0）， ∴0=﹣1+a，解得a=1， ∴直线CE的解析式为y=x+1， ∴，解得， ∴H（﹣，）． ∴E（﹣，）． 设直线BF的解析式为y=cx+d（c≠0） ∵B（﹣3，3），E（﹣，）， ∴，解得， ∴直线BF的解析式为y=﹣x﹣1， ∴F（0，﹣1）． 设直线DG的解析式为y=mx+n（m≠0）， ∵D（﹣2，0），E（﹣，）， ∴，解得， ∴直线DG的解析式为y=x+， ∴G（0，）， ∴GF=+1=． 故答案为：． 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、翻折变换的性质及用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是作出辅助线，利用翻折变换的性质求出E点坐标． 　 三、计算题：(本大题共3个