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2016
年中
数学
复习
专题
实数
有关
概念
运算
专题01 实数的有关概念及运算
☞解读考点
知 识 点
名师点晴
实数的分类
1.有理数
会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数
2.无理数
会识别无理数,并在数轴上表示一个无理数
实数的有关概念
1.相反数、倒数、绝对值
会求一个实数的相反数、倒数和绝对值
2.科学计数法、近似数
掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数
3.实数的非负性
利用实数的非负性解决一些实际问题
实数的运算和大小比较
1.实数的估算
求一个无理数的范围
2.实数的大小比较
理解实数的大小比较的方法
3.实数的运算
掌握实数的混合运算
☞2年中考
【2015年题组】
1.(2015南京)估计介于( )
A.0.4与0.5之间 B.0.5与0.6之间 C.0.6与0.7之间 D.0.7与0.8之间
【答案】C.
考点:估算无理数的大小.
2.(2015常州)已知a=,b=,c=,则下列大小关系正确的是( )
A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b
【答案】A.
考点:实数大小比较.
3.(2015泰州)下列4个数:,,,,其中无理数是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
试题分析:π是无理数,故选C.
考点:1.无理数;2.零指数幂.
4.(2015资阳)如图,已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3,则表示数的点P应落在线段( )
A.AO上 B.OB上 C.BC上 D.CD上
【答案】B.
【解析】
试题分析:∵2<<3,∴0<<1,故表示数的点P应落在线段OB上.故选B.
考点:1.估算无理数的大小;2.实数与数轴.
5.(2015广元)当时,、、的大小顺序是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
试题分析:∵,令,那么,,∴.故选C.
考点:实数大小比较.
6.(2015绵阳)若,则=( )
A.﹣1 B.1 C. D.
【答案】A.
【解析】
试题分析:∵,∴,解得:,则.故选A.
考点:1.解二元一次方程组;2.非负数的性质.
7.(2015武汉)在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是( )
A.﹣3 B.0 C.5 D.3
【答案】A.
考点:实数大小比较.
8.(2015荆门)64的立方根是( )
A.4 B.±4 C.8 D.±8
【答案】A.
【解析】
试题分析:∵4的立方等于64,∴64的立方根等于4.故选A.
考点:立方根.
9.(2015北京市)实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的是( )
A.a B.b C.c D.d
【答案】A.
【解析】
试题分析:根据图示,可得:3<|a|<4,1<|b|<2,0<|c|<1,2<|d|<3,所以这四个数中,绝对值最大的是a.故选A.
考点:实数大小比较.
10.(2015河北省)在数轴上标注了四段范围,如图,则表示的点落在( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
【答案】C.
考点:1.估算无理数的大小;2.实数与数轴.
11.(2015六盘水)如图,表示的点在数轴上表示时,所在哪两个字母之间( )
A.C与D B.A与B C.A与C D.B与C
【答案】A.
【解析】
试题分析:∵6.25<7<9,∴2.5<<3,则表示的点在数轴上表示时,所在C和D两个字母之间.故选A.
考点:1.估算无理数的大小;2.实数与数轴.
12.(2015通辽)实数tan45°,,0,,,,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),其中无理数的个数是( )
A.4 B.2 C.1 D.3
【答案】D.
【解析】
试题分析:在实数tan45°,,0,,,,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1)中,无理数有:,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),共3个,故选D.
考点:无理数.
13.(2015淄博)已知是二元一次方程组的解,则的平方根为( )
A.±2 B. C. D.2
【答案】A.
考点:1.二元一次方程组的解;2.平方根;3.综合题.
14.(2015成都)比较大小:____(填“>”、“<”或“=”).
【答案】<.
【解析】
试题分析:为黄金数,约等于0.618,,显然前者小于后者.或者作差法:,所以,前者小于后者.故答案为:<.
考点:1.实数大小比较;2.估算无理数的大小.
15.(2015资阳)已知:,则的值为 .
【答案】12.
【解析】
试题分析:∵,∴,,解得,,,可得,则==12,故答案为:12.
考点:1.非负数的性质:算术平方根;2.非负数的性质:偶次方.
16.(2015自贡)若两个连续整数x、y满足,则x+y的值是 .
【答案】7.
【解析】
试题分析:∵2<<3,∴3<<4,∴x=3,y=4,∴x+y=7,故答案为:7.
考点:估算无理数的大小.
17.(2015巴中)计算:.
【答案】4.
【解析】
试题分析:根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可.
试题解析:原式==1+3=4.
考点:1.实数的运算;2.零指数幂;3.负整数指数幂;4.特殊角的三角函数值.
18.(2015龙岩)计算:.
【答案】0.
考点:1.实数的运算;2.零指数幂;3.特殊角的三角函数值.
19.(2015临沂)计算:.
【答案】.
【解析】
试题分析:先根据平方差公式展开后,再根据完全平方公式展开后合并即可.
试题解析:解:原式=[][]=
.
考点:实数的运算.
【2014年题组】
1.(2014年福建福州中考)地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时,将110000用科学计数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B.
考点:科学计数法.
2.(2014年福建三明中考)的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
试题分析:如果两个数只有符号不同,我们称其中一个数为另一个数的相反数,特别地,0的相反数还是0. 因此,的相反数是. 故选A.
考点:相反数.
3.(2014年黑龙江大庆中考)下列式子中成立的是( )
A. ﹣|﹣5|>4 B. ﹣3<|﹣3| C. ﹣|﹣4|=4 D. |﹣5.5|<5
【答案】B.
【解析】
试题分析:先对每一个选项应用绝对值的性质化简,再进行比较即可:
A.﹣|﹣5|=﹣5<4,故A选项错误;
B.|﹣3|=3>﹣3,故B选项正确;
C.﹣|﹣4|=﹣4≠4,故C选项错误;
D.|﹣5.5|=5.5>5,故D选项错误.
故选B.
考点:1.绝对值;2.有理数的大小比较.
4.(2014年湖北宜昌中考)如图,M,N两点在数轴上表示的数分别是m,n,则下列式子中成立的是( )
A. m+n<0 B. m<n C. m||n|>0 D. 2+m<2+n
【答案】D.
考点:1.数轴;2.不等式的性质.
5.(2014年贵州黔南中考)计算的值等于( )
A. B. 0 C. 1 D. 5
【答案】A.
【解析】
试题分析:针对有理数的乘方,零指数幂,绝对值3个考点分1.别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果:;2.故选A.
考点:实数的运算.
6.(2014年黑龙江大庆中考)若,则的值为 .
【答案】.
【解析】
试题分析:∵,∴.∴.
考点:1.实数的非负性;2.负整数指数幂.
7.(2014年吉林省中考)若a<<b,且a,b为连续正整数,则b2﹣a2= .
【答案】7.
【解析】
试题分析:∵32<13<42,∴3<<4,即a=3,b=4.∴b2﹣a2=42﹣32=7.
考点:无理数的估算.
8.(2014年新疆区兵团中考)规定用符号[x]表示一个实数的整数部分,例如[3.69]=3.,按此规定,=_____________
【答案】2.
【解析】
试题分析:∵9<13<16,∴3<<4.
∴2<<3,∴=2.
考点:1.新定义;2.无理数的估算.
9.(2014年甘肃兰州中考)为了求1+2+22+23+…+2100的值,可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23+24+…+2101,因此2S﹣S=2101﹣1,所以S=2101﹣1,即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1,仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 .
【答案】.
考点:1.有理数的运算;2.阅读理解型问题.
10.(2014年内蒙古赤峰中考)计算:
【答案】-3.
【解析】
试题分析: .
考点:1.实数的运算;2.零指数幂;3.负整数指数幂;4.特殊角的三角函数值.
☞考点归纳
归纳 1:实数及其分类
基础知识归纳:
基本方法归纳:判断一个数是不是有理数,关键是看它是不是有限小数或无限循环小数;判断一个数是不是无理数,关键在于看它是不是无限不循环小数.
注意问题归纳:在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
【例1】在实数中,其中无理数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A.
考点:无理数.
归纳 2:实数的有关概念
基础知识归纳:
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0;正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.
基本方法归纳:如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立;零的绝对值是它本身,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0
注意问题归纳:零没有倒数;一个非零的数的绝对值一定是正数
【例2】若实数x,y满足,则= .
【答案】.
考点:非负数.
归纳 3:实数的大小比较
基础知识归纳:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小.
基本方法归纳:(1)求差比较:设a、b是实数,
(2)求商比较法:设a、b是两正实数,
(3)平方法:设a、b是两负实数,则.
注意问题归纳:实数的大小比较,一般要将其进行化简,并合理选择方法来进行比较.
【例3】用“<”号,将、、、连接起来______
【答案】.
【解析】
试题分析:先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值,再根据有理数的大小比较法则比较.
∵,,,
∴.
考点:实数的大小比较.
归纳 4:科学计数法与近似数
基础知识归纳:根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
基本方法归纳:利用科学计数法表示一个数,在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)
注意问题归纳:利用科学计数法表示数和转化为原数时,要注意数位的变化.
【例4】据测算,我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元,一年的经济损失约为54750000000元,用科学记数法表示这个数为
A.5.475×1011 B.5.475×1010 C.0.5475×1011 D.5475×108
【答案】B.
考点:科学计数法.
归纳 5:实数的混合运算
基础知识归纳:实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二级运算,乘方为三级运算.同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行
基本方法归纳:实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容,要熟练掌握这些知识.
注意问题归纳:实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现,是中考是热点,也是比较容易出错的地方,在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序.
【例5】计算:
【答案】1.
【解析】针对负整数指数幂,特殊角的三角函数值,零指数幂,二次根式化简4个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果:
考点:实数的运算.
☞1年模拟
1.(2015届山东省日照市中考一模)的算术平方根是( )
A.2 B.±2 C. D.±
【答案】C.
【解析】试题分析:∵=2,而2的算术平方根是,∴的算术平方根是,故选C.
考点:算术平方根.
2.(2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模)在实数π、、、tan60°中,无理数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C.
【解析】
试题分析:∵tan60°=,∴在实数π、、、tan60°中,无理数有:,和tan60°.故选C.
考点:1.无理数;2.特殊角三角函数值.
3.(2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试)的算术平方根是( )
A.- B. C.± D.
【答案】B.
考点:算术平方根.
4.(2015届江苏省南京市建邺区中考一模)下列计算结果是负数的是( )
A.3-2 B.3×(-2) C.3-2 D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:A:3-2=1,计算结果是正数,据此判断即可.
B:3×(-2)=-6,计算结果是负数,据此判断即可.
C:3-2=,计算结果是正数,据此判断即可.
D:是一个正数,据此判断即可.
试题解析:∵3-2=1,计算结果是正数,∴选项A不正确;
∵3×(-2)=-6,计算结果是负数,∴选项B正确;
∵3-2=,计算结果是正数,∴选项C不正确;
∵是一个正数,∴选项D不正确.故选B.
考点:实数的运算.
5.(2015届江苏省南京市建邺区中考一模)面积为10m2的正方形地毯,它的边长介于( )
A.2m与3m之间 B.3m与4m之间
C.4m与5m之间 D.5m与6m之间
【答案】B.
【解析】
试题分析:正方形的边长为,∵<<,∴3<<4,∴其边长在3m与4m之间.故选B.
考点:估算无理数的大小.
6.(2015届河北省中考模拟二)下列无理数中,不是介于-3与2之间的是( )
A.- B. C.- D.
【答案】B.
考点:估算无理数的大小.
7.(2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟)实数5的相反数是( ).
A. B.- C.﹣5 D.5
【答案】C.
【解析】
试题分析:∵符号相反,绝对值相等的两个数互为相反数,∴5的相反数是﹣5.故选C.
考点:实数的性质.
8.(2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟)下列四个数中,值最小的数是( ).
A.tan45° B. C.π D.
【答案】A.
【解析】
试题分析:tan45°=1,根据实数比较大小的方法,可得,1<<<π,所以tan45°<<<π,因此四个数中,值最小的数是tan45°.故选A.
考点:1.实数大小比较;2.特殊角的三角函数值.
9.(2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟)已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+=0,则第三边长为 .
【答案】、或.
考点:1.解一元二次方程-因式分解法;2.算术平方根;3.勾股定理;4.分类讨论.
10.(2015届山东省济南市平阴县中考二模)计算:2-1+2cos30°-tan60°-(π+)0= .
【答案】-.
【解析】
试题分析:原式==-.故答案为:-.
考点:1.实数的运算;2.零指数幂;3.负整数指数幂;4.特殊角的三角函数值.
11.(2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟)的算术平方根为 .
【答案】.
【解析】
试题分析:∵=2,2的算术平方根是,∴的算术平方根为.故答案为:.
考点:算术平方根.
12.(2015届北京市平谷区中考二模)计算:.
【答案】-3.
【解析】
试题分析:分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂,然后按照实数的运算法则计算即可.
试题解析:原式===.
考点:实数的运算.
13.(2015届安徽省安庆市中考二模)计算:﹣32+.
【答案】-9.
考点:1.实数的运算;2.特殊角的三角函数值.
14.(2015届广东省深圳市龙华新区中考二模)计算:(-)-1+(π-)0-3tan30°+|-|
【答案】-1.
【解析】
试题分析:原式第一项利用负指数幂法则计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.
试题解析:原式=-2+1-3×+=-1.
考点:1.实数的运算;2.零指数幂;3.负整数指数幂;4.特殊角的三角函数值.
15.(2015届湖北省黄石市6月中考模拟)计算:
﹣2sin30°﹣(﹣)﹣2+(﹣π)0﹣+(﹣1)2012.
【答案】-6.
考点:1.实数的运算;2.零指数幂;3.负整数指数幂;4.特殊角的三角函数值.