九年级数学下册 28.1 锐角三角函数同步测试 （新版）新人教版.doc

锐角三角函数 28.1__锐角三角函数__ 第1课时　正弦　[见B本P78] 1．如图28－1－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　C　) 图28－1－1 A.　　　B.　　　C.　　　D. 2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(　A　) A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定 3．如图28－1－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(　C　) 图28－1－2 A. B. C. D．1 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝(　A　) A．15 B．12 C．9 D．6 【解析】 AB＝＝＝15，选A. 5．如图28－1－3所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　B　) 图28－1－3 A. B. C. D. 6．如图28－1－4，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα的值是(　D　) 图28－1－4 A. B. C. D. 【解析】 OP＝＝5，∴sinα＝.故选D. 7．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB＝____． 【解析】 由sinA＝可得＝，故可设BC＝2a，AB＝5a，由勾股定理求得AC＝a，再由正弦定义求得sinB＝＝＝. 8. 如图图28－1－5，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为____． 图28－1－5 9．Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求 sinA＋sinB. 解：由勾股定理有c＝＝＝17， 于是sinA＝，sinB＝， 所以sinA＋sinB＝＋＝. 图28－1－6 10．如图28－1－6所示，△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝2，求AB，BC的长． 解：∵sinA＝，∴＝，∴AB＝3BC. ∵AC2＋BC2＝AB2，∴22＋BC2＝(3BC)2， ∴BC＝，∴AB＝. 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于(　B　) A. 　B. 　C. 　D. 12．如图28－1－7，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是__60__cm2. 图28－1－7 【解析】 在Rt△ADE中，sinA＝， ∴AD＝＝＝10(cm)，∴AB＝AD＝10 cm， ∴S菱形ABCD＝DE·AB＝6×10＝60(cm2)． 13．如图28－1－8，⊙O的半径为3，弦AB的长为4，求sinA的值． 图28－1－8 第13题答图 【解析】 要求sinA的值，必将∠A放在直角三角形中，故过O作OC⊥AB于C，构造直角三角形，然后根据正弦的定义求解． 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示， 则有AC＝BC.∵AB＝4，∴AC＝2. 在Rt△AOC中，OC＝＝＝，∴sinA＝＝. 14．如图28－1－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，求DE. 图28－1－9 解：∵BC＝6，sinA＝， ∴AB＝10， ∴AC＝＝8， ∵D是AB的中点， ∴AD＝AB＝5， ∵△ADE∽△ACB， ∴＝，即＝， 解得：DE＝. 15．如图28－1－10，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E，已测得sin∠DOE＝. (1)求半径OD； (2)根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 图28－1－10 解：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝24 m， ∴ED＝CD＝12 m. 在Rt△DOE中，sin∠DOE＝＝， ∴OD＝13 m. (2)OE＝＝＝5(m)， ∴将水排干需5÷0.5＝10(小时)． 16．如图28－1－11，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)． (1)求∠BAC的度数； (2)求△ABC面积的最大值． 图28－1－11 解：(1)过点O作OD⊥BC于点D，连接OC，OB. 因为BC＝2， 所以CD＝BC＝. 又因为OC＝2， 所以sin∠DOC＝＝， 所以∠DOC＝60°， 所以∠BOC＝2∠DOC＝120°， 所以∠BAC＝∠BOC＝60°. (2)因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC的面积最大，即点A是的中点时，△ABC的面积最大， 此时＝，所以AB＝AC. 又因为∠BAC＝60°， 所以△ABC是等边三角形． 连接AD，易证AD是△ABC的高． 在Rt△ADC中，AC＝BC＝2，CD＝， 所以AD＝＝＝3， 所以△ABC面积的最大值为×2×3＝3. 第2课时　锐角三角函数[见A本P80] 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是(　C　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 2. 如图28－1－12，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是(　B　) 图28－1－12 A. B. C. D. 3．如图28－1－13是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为(　C　) A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm 【解析】 BC＝AC·tan∠BAC＝30×＝10(cm)． 图28－1－13 图28－1－14 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则AC∶BC∶AB＝(　A　) A．3∶4∶5 B．5∶3∶4 C．4∶3∶5 D．3∶5∶4 【解析】 由cosB＝＝，设BC＝4x，AB＝5x， 则AC＝＝＝3x， ∴AC∶BC∶AB＝3x∶4x∶5x＝3∶4∶5，故选A. 5．如图28－1－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(　A　) A．4 B．2 C. D. 【解析】 ∵cosB＝，∴＝.∵AB＝6，∴BC＝×6＝4，故选A. 6．如图28－1－15，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于(　C　) 图28－1－15 A. B. C. D. 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，则sinB＝____，cosB＝____，sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____，tanB＝____． 【解析】 AB＝＝＝10. sinB＝＝＝，cosB＝＝＝， sinA＝＝＝，cosA＝＝＝， tanA＝＝＝，tanB＝＝＝. 8. [2013·杭州]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是__②③④__．(只需填上正确结论的序号) 9. [2013·安顺]在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则Rt△ABC的面积为__24__． 10．(1)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝5，求sinA，cosA，tanA. (2)在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，求sinA，cosB，tanA. 解：(1)由勾股定理，知AC＝＝＝， ∴sinA＝＝，tanA＝＝＝， cosA＝＝. (2)设BC＝5k，CA＝12k，AB＝13k. ∵BC2＋CA2＝25k2＋144k2＝169k2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°， ∴sinA＝＝，cosB＝＝，tanA＝＝. 11．(1)若∠A为锐角，且sinA＝，求cosA，tanA. (2)已知如图28－1－16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦值． 图28－1－16 解：(1)设在△ABC中，∠C＝90°，∠A为已知锐角，∵sinA＝＝，设a＝3k，c＝5k，∴b＝＝＝4k， ∴cosA＝＝＝，tanA＝＝＝. (2)∵∠C＝90°，tanA＝＝， ∴设BC＝x，AC＝2x， ∴AB＝＝x， ∴sinB＝＝＝， cosB＝＝＝. 12．如图28－1－17，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是(　C　) A. B. C. D. 图28－1－17 图28－1－18 13．如图28－1－18，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上一点(不与点A，B重合)，则cosC的值为____． 【解析】 连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD， 可得AD为⊙O直径，故∠ABD＝90°. ∵⊙O的半径为5，弦AB＝6， ∴BD＝＝＝8.∵∠D＝∠C， ∴cosC＝cosD＝＝＝. 14．如图28－1－19，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值． 图28－1－19 解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BCD＝90°， ∠B＋∠A＝90°， ∴∠BCD＝∠A. ∵AB＝10，AC＝8， ∴cos∠BCD＝cosA＝＝＝. 15．已知α为锐角，且tanα＝2，求的值． 【解析】 根据锐角三角函数的定义，结合图形设参数即可求出各边的比，从而得出sinα、cosα的值进行计算． 解：如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°， 设AC＝k，BC＝2k，则∠A＝α. ∵AB＝＝ ＝k， ∴sinα＝＝，cosα＝＝， ∴＝＝. 16．如图28－1－20，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即cotα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题： (1)cot30°＝________； (2)如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值． 图28－1－20 解：(1) (2)∵tanA＝＝，∴cotA＝＝. 第3课时　特殊角三角函数值　[见B本P80] 1. 3tan30°的值等于(　A　) A. B．3 C. D. 2. 计算6tan45°－2cos60°的结果是(　D　) A．4 B．4 C．5 D．5 3．如图28－1－21，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(　C　) A. B. C. D．1 【解析】 ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC， ∴sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sinB＝. 图28－1－21 图28－1－22 4．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是(　C　) A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 【解析】 ∵sinA＝cosB＝，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形． 5．如图28－1－22，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m，则该树高为(　A　) A．8 m B．12 m C．12 m D. 12 m 【解析】 树高为24×tan30°＝24×＝8(m)． 6．(1)cos30°的值是____． (2)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝__－__(结果保留根号)． 【解析】 原式＝×－＝－. (3)cos245°＋tan30°·sin60°＝__1__． 【解析】 cos245°＋tan30°·sin60°＝＋×＝ ＋＝1. 7．根据下列条件，求出锐角A的度数． (1)sinA＝，则∠A＝__60°__； (2)cosA＝，则∠A＝__60°__； (3)cosA＝，则∠A＝__45°__； (4)cosA＝，则∠A＝__30°__． 8．如图28－1－23是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD⊥AB，CD＝3 m，∠CAD＝∠CBD＝60°，求拉线AC的长． 图28－1－23 解：在Rt△ACD中sin∠CAD＝， 则AC＝＝＝2(m)． 答：拉线AC的长是2 m. 9．式子2cos30°－tan45°－的值是(　B　) A. 2－2 B．0 C．2 D．2 10．在△ABC中，若＋(cosB－)2＝0，则∠C的度数是(　D　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 ＋(cosB－)2＝0 ∴sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， 则∠C＝180°－30°－60°＝90° 故选D. 11．如图28－1－24，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，在D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60 m，则河宽AB为__30__m(结果保留根号)． 图28－1－24 【解析】 因为∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，所以∠ACB＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝60 m，所以AB＝AD·sin∠ADB＝60×＝30(m)． 12．计算： (1)＋2sin60°tan60°－＋tan45°； (2)－sin60°(1－sin30°)； (3)sin260°tan45°－＋(tan30°)0. (4)(－1)2 011－＋＋. 解：(1)原式＝1＋2××－＋1＝5－； (2)原式＝－× ＝－＝； (3)原式＝×1－＋1 ＝－3＋1＝－1； (4)原式＝－1－8＋1＋＝－8＋. 13．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝，计算－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋的值． 【解析】 由sin60°＝，从而可求出α. 解：由sin(α＋15°)＝得α＋15°＝60°， 即α＝45°， 原式＝2－4×－1＋1＋3＝3. 14．如图28－1－25，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长． 图28－1－25 解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°， ∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4. 在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°， ∴DC＝AD＝4， ∴BC＝BD＋DC＝4＋4. 15．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__1__；① sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝__1__；② sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝__1__；③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．④ (1)如图28－1－26，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想； 图28－1－26 (2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA. 解：(1)如图，过点B作BH⊥AC于点H，BH2＋AH2＝AB2 则sinA＝，cosA＝ 所以sin2A＋cos2A＝＋＝＝1. (2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝， ∴cos2A＝1－()2＝ ∵cosA>0，∴cosA＝. 第4课时　利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数　[见A本P82] 1．利用计算器求sin30°时，依次按键： ，则计算器上显示的结果是(　A　) A．0.5　　B．0.707　　C．0.866　 D．1 【解析】 因为sin30°＝，故选A. 2．下列计算不正确的是(　D　) A．sinα＝0.327 5，则α≈19°7′2″ B．sinβ＝0.054 7，则β≈3°8′8″ C．tanγ＝5，则γ≈78°41′24″ D．sinA＝0.726，则A≈46°36′8″ 3．如图28－1－27，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于(　C　) A．asin40° 米 B．acos40° 米 C．atan40° 米 D. 米 图28－1－27 图28－1－28 4．如图28－1－28，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为(　D　) A．24米 B．20米 C．16米 D．12米 5．用计算器计算(保留4个有效数字)： (1)sin35°≈__0.573__6__； (2)cos63°17′≈__0.449__6__； (3)tan27.35°≈__0.517__2__； (4)sin39°57′6″≈__0.642__1__． 【解析】 (1)用计算器计算得sin35°≈0.573 576 436≈0.573 6； (2)按键顺序： ， 结果：cos63°17′≈0.449 6； (3)按键顺序： ， 结果：tan27.35°≈0.517 2； (4)按键顺序： ， 结果：sin39°57′6″≈0.642 1. 6．若cosα＝0.501 8，则锐角α≈__59.88°__；若tanA＝0.375，则锐角A≈__20.56°__． 7．如图28－1－29，某游乐场内滑梯的滑板与地面所成的角∠A＝35°，滑梯的高度BC＝2米，滑板AB的长约为__3.5__米(精确到0.1米)． 图28－1－29 【解析】 ∵sinA＝，∴AB＝＝≈3.5(米)． 8．比较大小：8cos31°__>__.(填“＞”“＝”或“＜”) 9．利用计算器求下列各角(精确到1′)． (1)sinA＝0.75，求A；(2)cosB＝0.888 9，求B； (3)tanC＝45.43，求C；(4)tanD＝0.974 2，求D. 解：(1)∵sinA＝0.75，∴∠A≈48°35′； (2)∵cosB＝0.888 9，∴∠B≈27°16′； (3)∵tanC＝45.43，∴∠C≈88°44′； (4)∵tanD＝0.974 2，∴∠D≈44°15′. 10．如图28－1－30，小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点，已知B点到山脚的垂直距离BC为24米，且山坡坡角∠A的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？(结果精确到0.1秒，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53) 图28－1－30 解：∵sinA＝， ∴AB＝＝≈≈51.06(米)， ∴所需时间t≈51.06÷3≈17.0(秒)． 答：小明从山脚爬上山顶大约需要17.0秒． 11．如图28－1－31，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则(　C　) A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36° C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54° 图28－1－31 　图28－1－32 12．如图28－1－32，沿AC方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝127°，沿BD的方向前进，取∠BDE＝37°，测得BD＝520 m，并且AC，BD和DE在同一平面内． (1)施工点E离点D多远正好能使A，C，E成一条直线(结果保留整数)? (2)在(1)的条件下，若BC＝80 m，求公路CE段的长(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)． 解：(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE＝37°， ∴∠DEB＝127°－37°＝90°. 在Rt△BDE中，cosD＝， ∴DE＝BD·cosD＝520×cos37°≈520×0.80＝416(m)，即施工点E离点D416 m正好能使A，C，E成一条直线． (2)在(1)的条件下可得BE＝BD·sinD＝520×sin37°≈520×0.60＝312(m)， ∴CE＝BE－BC≈312－80＝232(m)． 13．如图(1)，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°. (1)求一楼与二楼之间的高度BC(精确到0.01米)； (2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图(2)，小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)？(备用数据：sin32°≈0.529 9，cos32°≈0.848 0，tan32°≈0.624 9) (1)　　　　　　　　　　(2) 图28－1－33 【解析】 (1)在直角三角形ABC中利用∠BAC的正弦值和AB的长求得BC的长即可； (2)首先根据题意求得级高，然后根据10秒钟上升的级数求小明上升的高度即可． 解：(1)在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝， ∴BC＝AB·sin∠BAC≈16.50×0.529 9≈8.74(米)． (2)∵tan32°＝， ∴级高＝级宽×tan32°≈0.25×0.624 9＝0.156 225(米)． ∵10秒钟电梯上升了2×10＝20(级)， ∴小明上升的高度为0.156 225×20≈3.12(米)． 14．已知：如图28－1－34，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°. 求：(1)AB边上的高(精确到0.01)； (2)∠B的度数(精确到1′)． 　 图28－1－34 第14题答图 解：(1)如图，过点C作AB边上的高CH，垂足为H， ∵在Rt△ACH中，sinA＝， ∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69. (2)∵在Rt△ACH中，cosA＝， ∴AH＝AC·cosA＝9cos48°， ∴在Rt△BCH中， tanB＝＝＝≈3.382， ∴∠B≈73°32′. 15．如图28－1－35，伞不论张开还是收紧，伞柄AM始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，E，D在同一条直线上。已知部分伞架的长度如下(单位： cm)： 伞架 DE DF AE AF AB AC 长度 36 36 36 36 86 86 (1)求AM的长； (2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(精确到1 cm)． (备用数据：sin52°＝0.7880，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799) 图28－1－35 解：(1)当伞收紧时，动点D与点M重合，∴AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)． (2)AD＝2×36×cos52°＝2×36×0.6157≈44(cm)．