九年级数学上册专题九+圆周角定理的综合运用同步测试+新人教版.doc

圆周角定理的综合运用 一　巧作辅助线求角度 (教材P89习题24.1第7题) 求证：圆内接平行四边形是矩形． 已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形． 求证：平行四边形ABCD是矩形． 图1 证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补) 又∠A＝∠C(平行四边形对角相等) ∴∠A＝∠C＝90 ° 所以圆内接平行四边形是矩形． 　如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　A　) A．40°　　B．45°　　C．50°　　D．60° 图2 　　　 变形1答图 【解析】 如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°. 　如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__． 图3 　　　 变形2答图 【解析】 如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°. 　[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__． 【解析】 在优弧上取点D，连接AD，CD， ∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30 °. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°. 图4 图5 　如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(　A　) A．35° B．45° C．55° D．75° 　如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)求圆心O到BC的距离OD. 解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°， 又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形； (2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4. 图6 变形5答图 二　圆周角定理与垂径定理的综合 (教材P89习题24.1第5题) 如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小． 图7 解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝25°. 【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解． 　如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3 cm，则弦AB的长为(　A　) 图8 A．9 cm　　　　　　B．3 cm C. cm D. cm 解：∵∠CBA＝30°， ∴∠AOC＝2∠CBA＝60°， ∵AB⊥OC， ∴∠ADO＝90°， ∴∠OAD＝30°， ∴OD＝OA＝×3＝(cm)， 由勾股定理得：AD＝＝4.5 cm， ∵AB⊥OC，OC过O， ∴AB＝2AD＝9(cm)， 故选A. 　如图9，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(　D　) 图9　　　　　　　　变形2答图 A．2 B．8 C．2 D．2 【解析】 ∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 设⊙O的半径为r，则OC＝r－2， 在Rt△AOC中， ∵AC＝4，OC＝r－2， ∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5， ∴AE＝2r＝10， 连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， 在Rt△ABE中， ∵AE＝10，AB＝8， ∴BE＝＝＝6， 在Rt△BCE中， ∵BE＝6，BC＝4， ∴CE＝＝＝2. 故选D. 　如图10，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(　A　) 图10　　　　　　变形3答图 A．4 cm B．3 cm C．5 cm D．4 cm 【解析】 连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)， ∴＝， ∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD， ∴△AOF≌△OED， ∴OE＝AF＝AC＝3 cm， 在Rt△DOE中，，DE＝＝4 cm， 在Rt△ADE中，AD＝＝4 cm， 故选A. 　如图11，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为__10.5__． 图11　　　　　　　变形4答图 【解析】 如图，当GH为⊙O的直径时，GE＋FH有最大值． ∵⊙O的半径为7， ∴GH＝14. 连接OA，OB. ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝7， ∵点E，F分别是AC，BC的中点， ∴EF＝AB＝3.5， ∴GE＋FH＝GH－EF＝14－3.5＝10.5. 故答案为10.5. 　如图12，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°. (1)求∠B的大小； (2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离． 图12 　　　 变形5答图 解：(1)∵∠APD＝∠C＋∠CAB，∴∠C＝∠APD－∠CAB＝65°－40°＝25°.∴∠B＝∠C＝25°. (2)如图，过点O作OE⊥BD于点E，则DE＝BE.又∵AO＝BO，∴OE＝AD＝×6＝3.∴圆心O到BD的距离为3. 　如图13所示，AB是⊙O的一条弦，E在⊙O上，设⊙O的半径为4 cm，AB＝4 cm， (1)求圆心O到弦AB的距离OD； (2)求∠AEB的度数． 解：(1)连接OA，OB.∵OD⊥AB， ∴AD＝AB＝2 cm. 在Rt△ODA中，OA＝4 cm， ∴OD＝＝＝2 (cm)； (2)Rt△ODA中，OA＝4 cm，OD＝2 cm， ∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°. ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴∠AOB＝2∠AEB＝120°， ∴∠AEB＝∠AOB＝60°. 图13 　　　 图14 　如图14，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°，求BD及OF的长． 解：∵AB＝4，AC⊥BD于F，∠A＝30°， ∴BF＝AB ＝4×＝2，AF＝＝＝6. ∵AC是⊙O的直径，∴BD＝2BF＝2×2＝4. 设OF＝x，则OB＝AF－OF＝6－x， 在Rt△OBF中， OB2＝BF2＋OF2，即(6－x)2＝(2)2＋x2，解得x＝2，即OF＝2. 答：BD的长是4，OF的长是2. 　如图15，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E. (1)若AC＝16，求AE的长． (2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AC与AE有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上____________________________________________________________________． 图15 变形8答图 解：(1)如图，连接OE，∵AO是⊙D的直径， ∴∠OEA＝90°，∴OE⊥AC.∵OE过⊙O的圆心O， ∴AE＝CE＝AC＝×16＝8. (2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AE＝AC.