九年级数学上册22.3+实际问题与二次函数同步测试+新人教版.doc

实际问题与二次函数 第1课时　二次函数与图形面积问题　[见A本P23] 1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(　A　) A．4 cm2　B．8 cm2　C．16 cm2　D．32 cm2 【解析】 设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S矩形＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(0＜x＜4)，故当x＝2时，S最大值＝4 cm2.选A. 2．如图22－3－1所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(　A　) 图22－3－1 A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大 【解析】 设AC＝x，则BC＝1－x，所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋.因为二次项系数大于0，所以当x＝时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选A. 3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y＝－(x－12)2＋144(0<x<24)，则该矩形面积的最大值为__144__m2. 【解析】 直接根据二次函数的性质作答，当x＝12时，y有最大值为144. 4．在边长为4 m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是__y＝－x2＋16(1≤x<4)__，y的最大值是__15__m2. 【解析】 y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2，即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大值为15 m2. 5．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm2. 【解析】 设剪成的两段长分别为x cm，(20－x)cm，这两个正方形面积之和为y， 则y＝＋＝(x2＋400－40x＋x2) ＝(2x2－40x＋400)＝(x2－20x＋200) ＝[(x2－20x＋100)＋100]＝(x－10)2＋12.5，故两个正方形面积之和的最小值为12.5 cm2. 6．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图22－3－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m、长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m，即AD＝EF＝BC＝x m．(不考虑墙的厚度) (1)若想使水池的总容积为36 m3，x应等于多少？ (2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？ 图22－3－2 【解析】(1)水池的容积为长×宽×高，而长为x m，则宽为(18－3x)m，高为1.5 m，根据总容积为36 m3，易列方程求x的值；(2)，(3)根据容积V与x的函数关系，结合二次函数性质即可求解． 解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x，∴AB＝18－3x， ∴水池的总容积为1.5x(18－3x)＝36， 即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或4，∴x应为2或4. (2)由(1)知V与x的函数关系式为： V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x， x的取值范围是0<x<6. (3)V＝－4.5x2＋27x＝－(x－3)2＋， ∴当x＝3时，V有最大值40.5， ∴若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3. 7．如图22－3－3，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值． 图22－3－3 解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ， PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x， ∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0<x≤4)． (2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－＋. ∵当0<x≤时，y随x的增大而增大，而0<x≤4， ∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20 cm2. 8如图22－3－4，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x(cm)． (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V； (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值． 图22－3－4 解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝x，EF＝a＝2x，∵AE＋EF＋BF＝AB， ∴x＋2x＋x＝24，∴x＝6， ∴a＝6，∴V ＝a3＝(6)3＝432(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为a cm，高为h cm，则a＝x， h＝ ＝12－x， ∴S＝4ah＋a2 ＝4x·(12－x)＋(x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384. ∵0<x<12，∴当x＝8时，S取得最大值384 cm2. 9．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20. (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； (2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？ (3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明． 解：(1)依题意得：y＝x(20－x)＝－x2＋10x(0<x<20)， 解方程48＝－x2＋10x得：x1＝12，x2＝8. ∴当△ABC面积为48时BC的长为12或8. (2)由(1)得：y＝－x2＋10x＝－(x－10)2＋50， ∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50. (3) △ABC的周长存在最小的情形，理由如下： 由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10， 过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′， 连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′， 则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB， ∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C， 当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得： L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC>B′C＋BC， 当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时 L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC， 因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小； 这时由作图可知：BB′＝20， ∴B′C＝＝10， ∴L＝10＋10， 因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10＋10. 10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档AB＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行) (1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？ (2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ (3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ 图22－3－5 解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝＝4－x， ∴矩形框架ABCD的面积为AB·BC＝x(4－x)． 令x(4－x)＝3，解得x＝1或3， ∴当x＝1或3时，矩形框架ABCD的面积为3平方米． (2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时， BC＝，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·＝－x2＋4x， 当x＝－＝时，S最大值＝3， ∴当x＝时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米． (3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝， ∴矩形框架ABCD的面积S＝x·＝－x2＋x， 当x＝－＝时，S最大值＝， ∴当x＝时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米． 第2课时　二次函数与最大利润问题　[见B本P24] 1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(　B　) A．3 s　　　　　　　　B．4 s C．5 s D．6 s 【解析】 当t＝－时，即t＝－＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B. 2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高(　C　) A．8元或12元 B．8元 C．12元 D．10元 【解析】 设每床每晚应提高x元，则减少出租床·10张，所获利润y＝(20＋x)， 即y＝－x2＋50x＋2 000＝－(x－10)2＋2 250. 由x是4的正整数倍和抛物线y＝－(x－10)2＋2 250关于x＝10对称可知，当x＝8或x＝12时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C. 3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大． 【解析】 依题意得y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，y取得最大值． 4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__5元__． 【解析】 设降价x元，所获利润为y元，则有y＝(100－70－x)(20＋x)＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625.当x＝5时，y值最大，故应降价5元． 5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那么： (1)y关于x的二次函数关系式为__y＝－2x2＋260x－6__500(30≤x≤70)__； (2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元． 【解析】 (1)当销售单价为x元时，实际降价了(70－x)元，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，日均获利为[60＋2(70－x)]x－30[60＋2(70－x)]－500＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500， 所以y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500 ＝－2x2＋260x－6 500(30≤x≤70)． (2)因为y＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1 950元． 6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 解：(1)依题意有y＝(60＋x－50)(200－10x)(0<x≤12且x为整数)， 即y＝－10x2＋100x＋2 000(0<x≤12且x为整数)． (2)y＝－10x2＋100x＋2 000 ＝－10(x2－10x)＋2 000＝－10(x－5)2＋2 250， ∴当x＝5时，y有最大值2 250，即当每件商品的售价定为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2 250元． 7．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数． (1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)； (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？ 解：(1)设y与x满足的函数关系式为：y＝kx＋b. 由题意可得： 解得 故y与x的函数关系式为：y＝－3x＋108. (2)每天获得的利润为：P＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2 160＝－3(x－28)2＋192. 故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大． 8．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)； (2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 解：(1)1 400－50x； (2)y＝x(－50x＋1 400)－4 800＝－50x2＋1 400x－4 800＝－50(x－14)2＋5 000， 当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5 000， ∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5 000元． (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y＝0， 即－50(x－14)2＋5 000＝0， 解得x1＝24，x2＝4，但x2＝24不合题意，舍去， ∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏． 9．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图22－3－6所示的关系： 图22－3－6 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象得，解得 ∴函数关系式为y＝－x＋180. (2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－1 8000 ＝－(x－140)2＋1 600， 当售价定为140元时，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元． 10．[2013·盐城]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克． (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图22－3－7所示的一次函数关系． 图22－3－7 ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额) 解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得： 80(a＋2)＝88a 解之得：a＝20 答：现在实际购进这种水果每千克20元． (2)①∵y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b 将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得： 解得：k＝－11，b＝440 ∴y＝－11x＋440 ②设最大利润为W元，则 W＝(x－20)(－11x＋440) ＝－11(x－30)2＋1 100 ∴当x＝30时，W最大值＝1 100 答：将这种水果的单价定为每千克30元时，能获得最大利润1 100元． 第3课时　二次函数与抛物线形问题[见A本P25] 1．如图22－3－8，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需(　D　) 图22－3－8 A．30 s　　　　　　　　B．38 s C．40 s D．36 s 2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22－3－9，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　A　) A．4米　　B．3米　　C．2米　　D．1米 【解析】 y＝－(x2－4x＋4)＋4＝－(x－2)2＋4，水喷出的最大高度是4米． 图22－3－9 　 图22－3－10 3．如图22－3－10所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12 m，这时水面离桥顶的高度h是(　D　) A．3 m B．2 m C．4 m D．9 m 【解析】 可根据点B的横坐标，求出纵坐标．根据图形知点B的横坐标为6，当x＝6时，y＝－9，∴h＝|－9|＝9，故选D. 4．图22－3－11(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m，如图22－3－11(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(　C　) 图22－3－11 A．y＝－2x2 B．y＝2x2 C．y＝－x2 D．y＝x2 【解析】 设抛物物的解析式为y＝ax2，则把(2，－2)代入得－2＝4a，∴a＝－，故选C. 5．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图22－3－12所示的坐标系中， 图22－3－12 这个喷泉的函数关系式是(　C　) A．y＝－3＋3 B．y＝－3＋3 C．y＝－12＋3 D．y＝－12＋3 【解析】 ∵喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为y＝a＋3，而抛物线还经过点(0，0)，∴0＝a·＋3，∴a＝－12，∴抛物线的解析式为 y＝－12＋3. 6．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图22－3－13)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(　C　) 图22－3－13 A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 【解析】 以2米长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的总长度． 7．[2012·绍兴]教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__10__m. 【解析】 令函数式y＝－(x－4)2＋3＝0， 即0＝－(x－4)2＋3， 解得x1＝10，x2＝－2(舍去)， 即铅球推出的距离是10 m. 8．廊桥是我国古老的文化遗产，如图22－3－14是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是__18__米(精确到1米)． 　　　 图22－3－14 【解析】 直接根据E、F点的纵坐标为8，得8＝－x2＋10，解得x2＝80，x≈±9，∴E(－9，8)，F(9，8)，故EF的长约为18米． 图22－3－15 9．如图22－3－15是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为__48__ m. 【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系． 设AB与y轴交于点H， ∵AB＝36， ∴AH＝BH＝18， 由题可知：OH＝7，CH＝9， ∴OC＝9＋7＝16， 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k， ∵顶点C(0，16)， ∴抛物线y＝ax2＋16， 代入点(18，7) ∴7＝18×18a＋16， ∴7＝324a＋16， ∴324a＝－9， ∴a＝－ ∴抛物线：y＝－x2＋16， 当y＝0时，0＝－x2＋16， ∴－x2＝－16， ∴x2＝16×36＝576 ∴x＝±24， ∴E(24，0)，D(－24，0)， ∴OE＝OD＝24， ∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48， 10．如图22－3－16所示，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__0.5__m. 图22－3－16 第10题答图 【解析】 根据题意可建立如图所示的直角坐标系，设绳子对应的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则此抛物线经过点(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)，所以有解得a＝2，b＝－4，c＝2.5， ∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5， 即抛物线的顶点坐标为(1，0.5)， 所以绳子最低点距离地面的距离为0.5 m. 图22－3－17 11．如图22－3－17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式． 【解析】 (1)M在x轴正半轴上，OM＝12，所以M(12，0)，又P为抛物线的最高点，所以P(6，6)； (2)用顶点式求抛物线解析式． 解：(1)M(12，0)，P(6，6)； (2)设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋6. ∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)， ∴0＝a(0－6)2＋6，解得a＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－(x－6)2＋6， 即y＝－x2＋2x. 12．如图22－3－18，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系． 图22－3－18 (1)求抛物线的解析式；