2023届湖南省长沙市长郡中学高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ） A． B． C． D． 8．已知向量，则（ ） A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥( ) 9．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 10．设集合则（ ） A． B． C． D． 11．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 12．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若，则________. 14．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________. 15．已知函数的最小值为2，则_________． 16．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离. 18．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 19．（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）选修4­4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值． 21．（12分）如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD． (1)求证：平面ABE； (2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由． 22．（10分）设函数． （1）当时，解不等式； （2）若的解集为，，求证：． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可. 【题目详解】 设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题. 2、B 【答案解析】 根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）； A（甲，丁）B（丙）C（乙）； A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B. 3、C 【答案解析】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴ 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 故选C. 点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 4、D 【答案解析】 根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果. 【题目详解】 ，，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5、D 【答案解析】 取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解. 【题目详解】 取中点，过作面，如图： 则，故， 而对固定的点，当时， 最小． 此时由面，可知为等腰直角三角形，， 故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 6、A 【答案解析】 根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【题目详解】 当时，， 由在递增， 所以在递增 又是增函数， 所以在递增，故排除B、C 当时，若，则 所以在递减，而是增函数 所以在递减，所以A正确，D错误 故选：A 【答案点睛】 本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 7、A 【答案解析】 根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解. 【题目详解】 当为奇数时，， 则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列， 当为偶数时，， 则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列. 所以 . 故选：A 【答案点睛】 本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 8、D 【答案解析】 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【题目详解】 ∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A； 显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B； ∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C； ∴•（）＝﹣2+2＝0，故 ⊥（），故D正确， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 9、C 【答案解析】 利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可 【题目详解】 令，则，，∴，，∴. 【答案点睛】 本题考查等差数列的求和问题，属于基础题 10、C 【答案解析】 直接求交集得到答案. 【题目详解】 集合，则. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 11、C 【答案解析】 直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值． 【题目详解】 设抛物线的准线为， 直线恒过定点， 如图过A、B分别作于M，于N， 由，则， 点B为AP的中点、连接OB，则， ∴，点B的横坐标为， ∴点B的坐标为，把代入直线， 解得， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 12、D 【答案解析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、10 【答案解析】 根据垂直得到，代入计算得到答案. 【题目详解】 ，则，解得， 故，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力. 14、或 【答案解析】 用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解. 【题目详解】 联立解得. 所以的面积，所以. 而由双曲线的焦距为知，，所以. 联立解得或 故双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 【答案点睛】 本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题. 15、 【答案解析】 首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值. 【题目详解】 根据题意可知， 可以发现当或时是分界点， 结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点， 故，解得，故答案是. 【答案点睛】 本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16、 【答案解析】 根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【题目详解】 棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和. 将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 因为，且由诱导公式可得， 所以最短距离为， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题. 三、解答题：共70分