24.2.1 点和圆的位置关系.doc

24.2.1 点和圆的位置关系 一、课前预习 (5分钟训练) 1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由. 2.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________. 3.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为( ) A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不确定 4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在( ) A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外 二、课中强化(10分钟训练) 1.已知⊙O的半径为3.6 cm，线段OA= cm，则点A与⊙O的位置关系是( ) A.A点在圆外 B.A点在⊙O上 C.A点在⊙O内 D.不能确定 2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( ) A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外 3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4 cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图24-2-1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________. 图24-2-1-1 三、课后巩固(30分钟训练) 1.已知a、b、c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( ) A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12 C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由. 图24-2-1-2 4.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖. 如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖. 图24-2-1-3 回答下列问题： (1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm; (2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm; (3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm. 5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积. 6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 图24-2-1-4 7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限. (1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图; (2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图; (3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由. 图24-2-1-5 8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗) 图24-2-1-6 参考答案 一、课前预习 (5分钟训练) 1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由. 思路分析：利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较. 解：（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆内； （2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上； （3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外. 2.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________. 思路解析：根据点和圆的位置关系判定. 答案：0≤d＜3 3.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为( ) A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不确定 思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算AP的长,再与半径进行比较. ∵AP===＜5，所以点P在圆内. 答案：A 4.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在( ) A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外 思路解析：点A在两圆组成的圆环内. 答案：C 二、课中强化(10分钟训练) 1.已知⊙O的半径为3.6 cm，线段OA= cm，则点A与⊙O的位置关系是( ) A.A点在圆外 B.A点在⊙O上 C.A点在⊙O内 D.不能确定 思路解析：用“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”来判定点与圆的位置关系. 答案：C 2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( ) A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外 思路解析：比较OP与半径r的关系.∵OP==2，OP2=20,r2=25， ∴OP＜r. ∴点P在⊙O内. 答案：A 3.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4 cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 思路解析：如图，连结CD.∵D为AB的中点， ∴CD=AB. ∵AB==4，∴CD=2＜4. ∵AC=BC=4，∴点C和点D在以C为圆心，4 cm为半径的圆的内部. 答案：B 4.如图24-2-1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________. 思路解析：AB=2 cm，CM= cm. 答案：点B 点M 点A、C 图24-2-1-1 三、课后巩固(30分钟训练) 1.已知a、b、c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( ) A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12 C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14 思路解析：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）. 答案：C 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 思路解析：AB==10，它的外心是斜边中点，外心与顶点C的距离是斜边的中线长为AB=5 cm. 答案：A 3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由. 图24-2-1-2 思路分析：设水泵站处为O，则O到A、B、C三点的距离相等，可得点O为△ABC的外心. 作法：连结AB、AC，分别作AB、AC的中垂线l、l′，直线l与l′相交于O，则水泵站建在点O处，由以上作法知，点O为△ABC的外心，则有OA=OB=OC. 4.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖. 如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖. 图24-2-1-3 回答下列问题： (1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm; (2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm; (3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm. 思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径. （1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r的最小值是 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的，故r的最小值是 cm. （3）r的最小值是 cm，圆心距是1 cm. 答案:(1) (2) (3) 1 点拨：注意应用“90°的圆周角所对的弦是直径”和勾股定理解题. 5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积. 思路分析：由a、b是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是，这样就得外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的斜边.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 解：设Rt△ABC的斜边为c，∵a、b为方程x2－3x＋1=0的两根，∴a＋b=3，ab=1. 由勾股定理，得c2=a2＋b2=（a＋b）2－2ab=9－2=7. ∴△ABC的外接圆面积S=π·（）2=π=c2=×7=. 6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 图24-2-1-4 思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90°的圆周角，由此可得直径.再画一个90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心. 作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC=90°，∠EFH=90°. (2)连结BC、EH，它们交于点O. 则BC为直径，点O为圆心. 7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限. (1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图; 图24-2-1-5 (2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图; (3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由. 思路分析：过A、B、C三点画圆，以△ABC为平行四边形的一半，画出另一半，得平行四边形.[来源:Z+xx+k.Com] 解：（1）作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上,图(1). (2)作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上,图(2). （3）如图(3)，∵r=OB=， ∴S⊙O=πr2=≈16.75， 又S平行四边形=2S△ABC=2××4×2×=8≈13.86, ∵S⊙O>S平行四边形,∴选择建圆形花坛面积较大. 8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗) 图24-2-1-6 解：可以切割出66个小正方形. 方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 m的圆内.如图中的矩形ABCD. ∵AB=1，BC=10，∴对角线AC2=100＋1=101＜（10.05）2. （2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形. ∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH， 矩形EFGH的长为9，高为3，对角线EG2=92＋32=81＋9＜（10.05）2，但是新加入的这两排小正方形不能每排10个，因为：102＋32=100＋9＞（10.05）2. （3）同理，∵82＋52=64＋25＜（10.05）2，92＋52=81＋25=106＞（10.05）2，∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层. （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排可以是7个，但不能是8个. ∵72＋72=49＋49=98＜（10.05）2，82＋72=64＋49=113＞（10.05）2. （5）在第7层的基础上，上下再加一层，新矩形的高可以看成是9，这两层每排可以是4个，但不能是5个. ∵42＋92=16＋81=97＜（10.05）2，52＋92=25＋81=106＞（10.05）2. 现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5 cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.所以10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4=66（个）. 方法二：可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内.然后 （1）上下再加一层，每层8个，现在共6层. （2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层. （3）最后上下还可加一层，但每层只能有一个，共10层，这样共有 4×9＋2×8＋2×6＋2×1=66（个）.