27.2.2 相似三角形的性质-九年级数学人教版（下）（解析版）.doc

第二十七章 相似 27.2.2 相似三角形的性质 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是 A．BC：DE=1：2 B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2 C．∠A的度数：∠D的度数=1：2 D．△ABC的周长：△DEF的周长=1：2 【答案】D 2．如图，AB、CD、EF都与BD垂直，且AB=1，CD=3，那么EF的长是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF， ∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD， ∴，，∴=1． ∵AB=1，CD=3，∴=1，∴EF=．故选C． 3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC= A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B 【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=AB=CD， ∵AB∥CD，∴==，故选B． 4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为 A．10cm B．5cm C．6cm D．9cm 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC， ∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴， ∵，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，， ∵BF=15cm，∴DF=═6cm．故选C． 5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为 A．9：1 B．1：9 C．3：1 D．1：3 【答案】B 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B． 6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为 A．63° B．72° C．73° D．83° 【答案】C 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°， ∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C． 7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD= A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】∵E为AB中点，∴AE=AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC， ∴，∴AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C． 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 8．两个三角形相似，相似比是，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________． 【答案】36 【解析】∵两个三角形相似，相似比是，∴两个三角形的面积比是， ∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36． 9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________． 【答案】或3 10．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________． 【答案】3≤AP<4 【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E， 则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4； 如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC， 此时0<AP≤4； 如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA， 此时，△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4， ∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP<4； 综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4． 故答案为：3≤AP<4． 11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________． 【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）． 【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． ①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC； ②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC； ③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC； 同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0）， 故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明） 【解析】已知：如图，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC和△A1B1C1的相似比为k． 求证：=k2； 证明：作AD⊥BC于D，A1D1⊥B1C1于D1， ∵△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ∴∠B=∠B1， ∵AD、A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的高线， ∴∠BDA=∠B1D1A1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴==k， ∴==k2． 13．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC=9cm，CB=12cm，DE=3cm． （1）求CM和EN的长； （2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？ 【解析】（1）在Rt△ABC中，AB===15， ∵CM是斜边AB的中线， ∴CM=AB=7.5， ∵Rt△ABC∽Rt△DFE， ∴，即， ∴DF=5， ∵EN为斜边DF上的中线， ∴EN==2.5； （2）∵，相似比为， ∴相似三角形对应中线的比等于相似比． 14．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小． （2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系． 15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，则∠ACB=__________°． （2）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°， ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°． （2）由已知得AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC，∴=， 设BD=x，∴（）2=x（x+2）， ∵x＞0，∴x=–1， ∵△BCD∽△BAC，∴=， ∴CD=×2=–． 故答案为：96．