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27.2.3
相似三角形应用举例-九年级数学人教版下解析版
27.2
相似
三角形
应用
举例
九年级
学人
解析
第二十七章 相似
27.2.3 相似三角形应用举例
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度,如图,当他站在点C处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处,测量得到AC=2米,CB=18米,则旗杆的高度是
A.8米 B.14.4米
C.16米 D.20米
【答案】C
【解析】设旗杆高度为h,由题意得,解得h=16米.故选C.
2.如图所示是一个直角三角形的苗圃,由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成.如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米,则草皮的总面积为
A.3平方米 B.9平方米
C.12平方米 D.24平方米
【答案】C
【解析】∵△MDE是直角三角形,四边形ABCD是正方形,∴∠MAB=∠BCE=90°,∠M+∠ABM=90°,∠ABM+∠CBE=90°,∴∠M=∠CBE,∴△AMB∽△CBE,∴=,
∵MB=6,BE=4,∴===,
∵AB=BC,∴=,
设CE=2x,则BC=3x,在Rt△CBE中,
BE2=BC2+CE2,即42=(3x)2+(2x)2,解得x=,
∴CE=,AB=BC=,AM=AB=,
∴S草皮=S△CBE+S△AMB=××+××=12.
故选C.
3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为
A.五丈 B.四丈五尺
C.一丈 D.五尺
【答案】B
4.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米,木工要以一根长为60厘米的木条为一边,做一个与模型三角形相似的三角形,那么另两条边的木条长度不符合条件的是
A.30厘米、45厘米 B.40厘米、80厘米
C.80厘米、120厘米 D.90厘米、120厘米
【答案】C
【解析】①设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米,
根据题意得:==,解得x=90,y=120;
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米,
根据题意得:==,解得x=40,y=80.
设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米,
根据题意得:==,解得x=30,y=45.
故选C.
5.为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A,再在他所在的这一侧选点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,然后找出AD与BC的交点E.如图所示,若测得BE=90m,EC=45m,CD=60m,则这条河的宽AB等于
A.120m B.67.5m
C.40m D.30m
【答案】A
【解析】∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴△BAE∽△CDE,∴,
∵BE=90m,CE=45m,CD=60m,∴,解得AB=120,故选A.
6.如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点上,当CD=1.8cm时,则AB的长为
A.7.2cm B.5.4cm
C.3.6cm D.0.6cm
【答案】B
【解析】∵OA=3OC,OB=3OD,∴OA:OC=OB:OD=3:1,∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△COD,∴==,∴AB=3CD=3×1.8=5.4(cm).故选B.
7.在小孔成像问题中,如图所示,若O到AB的距离是18cm,O到CD的距离是6cm,则像CD的长是物体AB长的
A. B.
C.2倍 D.3倍
【答案】A
【解析】如图,作OE⊥AB于E,EO的延长线交CD于F.
∵AB∥CD,∴FO⊥CD,△AOB∽△DOC,
∴===(相似三角形的对应高的比等于相似比),
∴CD=AB,故选A.
二、填空题:请将答案填在题中横线上.
8.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题:“今有邑方不知大小,各开中门,出北门三十步有木,出西门七百五十步见木,问:邑方几何?”.其大意是:如图,一座正方形城池,A为北门中点,从点A往正北方向走30步到B处有一树木,C为西门中点,从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木,则正方形城池的边长为__________步.
【答案】300
故答案为300.
9.如图是用卡钳测量容器内径的示意图,现量得卡钳上A、D两端的距离为4cm,,则容器的内径BC=__________.
【答案】2 cm
【解析】如图,连接AD,BC,
∵,∠AOD=∠BOC,
∴△AOD∽△BOC,∴==,
又AD=4cm,∴BC=AD=2cm.
故答案是:2cm.
10.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条边DF=50cm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=20m,则树髙AB为__________.
【答案】16.5m
【解析】∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,
∴△DEF∽△DCB,
∴,
∵DF=50cm=0.5m,EF=30cm=0.3m,AC=1.5m,CD=20m,
∴由勾股定理求得DE=40cm,
∴=,
∴BC=15米,
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5(米).
故答案为:16.5m.
11.如图,为了测量油桶内油面的高度,将一根细木棒自油桶小孔插入桶内,测得木棒插入部分AB的长为100cm,木棒上沾油部分DB的长为60cm,桶高AC为80cm,那么桶内油面CE的高度是__________cm.
【答案】48
【解析】∵AC⊥BC,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴,=,解得AE=32.
∴CE=80–32=48,
故答案为:48.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
12.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=12cm,高AD=8cm,把它加工成矩形零件如图,要使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.且矩形的长与宽的比为3:2,求这个矩形零件的边长.
【解析】如图所示.设AD与PQ的交点为H.
∵四边形PQMN是矩形,
∴BC∥PQ,∴△APQ∽△ABC,
∴,由于矩形长与宽的比为3:2,
∴分两种情况:
①若PQ为长,PN为宽,
设PQ=3k,PN=2k,则,解得k=2,
∴PQ=6cm,PN=4cm;
②PN为长,PQ为宽,
设PN=3k,PQ=2k,
则,解得k=,
∴PN=cm,PQ=cm;
综上所述:矩形的长为6cm,宽为4cm;或长为cm,宽为cm.
13.如图,是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,求该古城墙的高度.
【解析】根据题意得∠APB=∠CPD,
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABP=∠CDP=90°,
∴Rt△ABP∽Rt△CDP,
∴=,即=,解得CD=8.
答:该古城墙的高度为8米.
14.如图,阳光透过窗口照到室内,在地面上留下2.7米宽的亮区,已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=8.7米,窗口高AB=1.8米,试求窗口下底与地面之间的距离BC的大小.
【解析】∵光是沿直线传播的,
∴BD∥AE,∴△CBD∽△CAE,∴=,
即=,
解得BC=4.
15.如图,四边形为ABCD是某校块学农基地,其中△ABD是蔬菜园,△CDB是植物园,已知AB∥CD,AB=40m,BD=60m,CD=90m.
(1)求证:△ABD∽△BDC.
(2)若蔬菜园△ABD的面积为800m2,求植物园△CDB的面积.
16.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米.
(1)求路灯A的高度;学-科网
(2)当王华再向前走2米,到达F处时,他的影长是多少?
【解析】(1)设BC=x米,AB=y米,
由题意得,CD=1米,CE=3米,EF=2米,身高MC=NE=1.5米,
∵△ABD∽△MCD,△ABF∽△NEF,∴,,
,,解得,
∴路灯A的高度为6米.
(2)如图,连接AG交BF延长线于点H,
∵△ABH∽△GFH,GF=1.5米,BH=3+3+2+FH=8+FH,
∴,,
解得(米).
答:当王华再向前走2米,到达F处时,他的影长是米.