第27章 相似（A卷）.doc

《第二十七章 相似》测试卷（A卷） （测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( ) A． a＝2cm，b＝3cm B． a＝2k，b＝3k(k≠0) C． 3a＝2b D． 2．下列命题正确的是（ ） A． 有一个角对应相等的平行四边形都相似 B． 对应边成比例的两个平行四边形相似 C． 有一个角对应相等的两个等腰梯形相似 D． 有一个角对应相等的菱形是相似多边形 3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ） A． B． ∠B=∠E C． D． 4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( ) A． 80 m×160 m B． 8 m×16 m C． 800 m×160 m D． 80 m×800 m 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A． (-1, 2) B． (-9, 18) C． (-9, 18)或(9, -18) D． (-1, 2)或(1, -2) 6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对 7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ） [来源:Zxxk.Com] A． B． C． D． 9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个[来源:学+科+网] 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则= ． 12． 如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点 记为H；的中点的对应点记为G. 若∽，则=______ ____. 13．如图，等边的边长为3，为上一点，且，为上一点，若，则的长为 . 14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O， 若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________． 15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 17．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ． 18．如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是 ． [来源:Z+xx+k.Com] 19．已知女排赛场球网的高度是米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网米的位置上，此时该运动员距离球网米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米． 20．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论： ①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形． 其中正确结论的序号是． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长． 22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2． （1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1； （2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2． 23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长． 24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高． 26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）． （1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标； （2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标． 27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D． （1）求证：AE•BC=BD•AC； （2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长． [来源:学#科#网] [来源:学科网ZXXK] 28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP． (2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由． (3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值． （测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( ) A． a＝2cm，b＝3cm B． a＝2k，b＝3k(k≠0) C． 3a＝2b D． 【答案】A 【解析】 选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A错误； 选项B，，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B正确； 选项C，，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C正确； 选项D，，根据比例的基本性质可得a=b，选项D正确． 故选A． 2．下列命题正确的是（ ） A． 有一个角对应相等的平行四边形都相似 B． 对应边成比例的两个平行四边形相似 C． 有一个角对应相等的两个等腰梯形相似 D． 有一个角对应相等的菱形是相似多边形 【答案】D 3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ） A． B． ∠B=∠E C． D． 【答案】C 【解析】 △ABC∽△DEF，故： A．∠A＝∠D正确，故本选项错误； B．∠B=∠E正确，故本选项错误； C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确； D．正确，故本选项错误． 故选C． 4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( ) A． 80 m×160 m B． 8 m×16 m C． 800 m×160 m D． 80 m×800 m 【答案】A 解得 y=16000（cm）=160（m） ∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m. 故选A. 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A． (-1, 2) B． (-9, 18) C． (-9, 18)或(9, -18) D． (-1, 2)或(1, -2) 【答案】D 6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对 【答案】D 【解析】 因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点, 所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线, 所以DE//AB,DF//AC,EF//BC, 所以△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC, 因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线, 所以,, 所以， 所以△DEF∽△ABC, 因此有四对相似三角形, 故选D. 7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BE， ∵CG∥AE， ∴四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA， ∴，，CF=AG， ∴DF=BG，， ∴选项A、B正确； ∵AD∥BE， ∴， ∴， ∴选项C正确，D不正确； 故选D． 9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【答案】B 10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题： ，中正确的有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【答案】B 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则= ． 【答案】 【解析】 根据AD:DB=2:3可得：AD:AB=2:5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴. 12． 如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点 记为H；的中点的对应点记为G. 若∽，则=______ ____. 【答案】3.2 【解析】 利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1=10-3x，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF=，然后利用勾股定理列式求出E1F=，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=，从而可得AD的长为2×==3.2． 13．如图，等边的边长为3，为上一点，且，为上一点，若，则的长为 . 【答案】． 14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O， 若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________． 【答案】1：4 【解析】 根据S△DOE：S△COA=1：25可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE和△CDE是登高三角形，则S△BDE：S△CDE=BE:EC=1:4. 15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 【答案】1：2 【解析】 由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2． 16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 【答案】[来源:Z&xx&k.Com] 【解析】 设原矩形的长为x，宽为y，则剩下的矩形的长为y，宽为(x－y)，根据矩形相似可求出比值. 17．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ． 【答案】1． 18．如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是 ． 【答案】 【解析】 根据菱形的性质得出AD=BC，AD∥BC，求出AD=3BE，根据相似三角形的判定得出△AFD∽△EFB，根据相似得出比例式，代入求出即可求得结果为． 19．已知女排赛场球网的高度是米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网米的位置上，此时该运动员距离球网米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米． 【答案】3.08 【解析】 根据三角形相似的性质可得：，则x=3.08 20．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论： ①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形． 其中正确结论的序号是． 【答案】①②③⑤ 在Rt△BPF中，BF=2，由勾股定理可求得PF===， ∵DE=1，∴PF=DE，故②正确；在Rt△BCE中，EC=1，BC=，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC， 故③正确；∵AB=2，AD=，∴S矩形ABCD=AB×AD=2×=2， ∵BF=2，BP=，∴S△BPF=BF×BP=×2×=， ∴4S△BPF=，∴S矩形ABCD=≠4S△BPF，故④不正确； 由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB为正三角形，故⑤正确； 综上可知正确的结论为：①②③⑤．[来源:Zxxk.Com] 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长． 【答案】 22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2． （1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1； （2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2． 【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析. 【解析】 （1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A1B2C2，即为所求． 23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长． 【答案】4． 【解析】 ∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴，∴DE===4． 24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3 25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高． 【答案】8米 【解析】 如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G, 由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH， 又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6， 所以，EH=6.4， ∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED的高为8米 26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）． （1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标； （2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标． 【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）． 27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．[来源:学科网ZXXK] （1）求证：AE•BC=BD•AC； （2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10. 28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP． (2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由． (3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值． [来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:Zxxk.Com] 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1秒或5秒. 【解析】 (1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴即AD·BC=AP·BP． (2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立． 理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC =∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ， 又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD·BC=AP·BP． (3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4， ∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP， 又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1， 解得t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．