九年级数学上册专题十+有关切线的辅助线作法同步测试+新人教版.doc

有关切线的辅助线作法 一　切线的性质 (教材P101习题24.2第5题) 如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP. 证明：连接OP.∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP. 图1 　　　 图2 【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法． 　如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(　C　) A．3 cm　　B．4 cm　　C．6 cm　　D．8 cm 　如图3，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE. (1)求证：AE平分∠CAB； (2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE＝EC时∠C的值． 图3 变形2答图 解：(1)证明：如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又∵△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA.∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA， ∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB. (2)∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠1，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝(90°－∠C)．当AE＝EC时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°. 图4 　如图4，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的延长线于点C. (1)求证：CT为⊙O的切线； (2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长． 解：(1)证明：连接OT ∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA 又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT ∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC 又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT ∴CT为⊙O的切线． (2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点 又∵CT⊥AC，∴OE∥CT ∴四边形OTCE为矩形 ∵CT＝，∴OE＝ 又∵OA＝2 ∴在Rt△OAE中，AE＝＝＝1 ∴AD＝2AE＝2. 二　切线的判定 (教材P101习题24.2第4题) 如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB. ∴AB是⊙O的切线． 图5 【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角． 　如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 图6 解：CD与⊙O相切．理由如下： 连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D， ∴CD是⊙O的切线． 　[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长． 图7 变形2答图 解：(1)证明：如图，连接OD，∵∠DOB＝2∠DCB， 又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB. 又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°， ∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线． (2)解法一：如图，过点O作OM⊥CD于点M， ∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°， ∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2. 解法二：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE， ∵OM⊥CD，∴CM＝DM. 又∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2. ∵Rt△BDO中，OE＝BE，∴DE＝BO， ∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝2. 图8 　如图8，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由． 解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°. ∵四边形BCOE是平行四边形， ∴BC∥OE，BC＝OE＝1. 在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝AD＝1. ∴AD＝2. (2)连接OB，由(1)得 BC∥OD，且BC＝OD. ∴四边形BCDO是平行四边形． 又∵AD是⊙O的切线， ∴OD⊥AD. ∴四边形BCDO是矩形． ∴OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． 图9 　如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝4，BE＝2. 求证：(1)四边形FADC是菱形； (2)FC是⊙O的切线． 解：(1) 连接OC， 依题意知：AF⊥AB，又CD⊥AB， ∴AF∥CD，又CF∥AD， ∴四边形FADC是平行四边形， 由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝2， 设⊙O的半径为R，则OC＝R，OE＝OB－BE＝R－2，在△ECO中，由勾股定理得：R2＝(R－2)2＋(2)2，解得：R＝4， ∴AD＝＝＝4，∴AD＝CD， 因此平行四边形FADC是菱形； (2) 连接OF，由(1)得：FC＝FA，又OC＝OA，FO＝FO， ∴△FCO≌△FAO， ∴∠FCO＝∠FAO＝90°， 因此FC是⊙O的切线． 第3课时　切线长定理和三角形内切圆　[见B本P46] 1．如图24－2－30，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　B　) 图24－2－30 A．4　　　B．8　　　C．6　　　D．10 【解析】 ∵PA、PB都是⊙O的切线， ∴PA＝PB，又∵∠P＝60°， ∴△PAB是等边三角形，即AB＝PA＝8， 2．如图24－2－31，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是(　D　) 图24－2－31 A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO 3．如图24－2－32，已知△ABC中，⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E，F，则I是△DEF的(　A　) 图24－2－32 A．外心 　B．内心　 C．重心 　D．垂心 【解析】 ⊙I是△DEF的外接圆． 4．如图24－2－33，已知PA，PB切⊙O于A，B，C是劣弧上一动点，过C作⊙O的切线交PA于M，交PB于N，已知∠P＝56°，则∠MON＝(　C　) 图24－2－33 A．56° B．60° C．62° D．不可求 【解析】 连接OA，OB，则∠AOB＝124°，∴∠MON＝∠AOB＝×124°＝62°，故选C. 5．△ABC中∠A＝80°，若O为外心，M为内心，则∠BOC＝__160__度，∠BMC＝__130__度． 【解析】 根据分析，得∠BOC＝2∠A＝160°； ∠BMC＝90°＋∠A＝130°. 6．[2013·天津]如图24－2－34，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P＝70°，则∠C的大小为__55°． 图24－2－34 【解析】 连接OA，OB， ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠P－∠PBO＝360°－90°－70°－90°＝110°， ∴∠C＝∠AOB＝55°. 7．[2012·菏泽]如图24－2－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝__23°__． 图24－2－35 【解析】 ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，又∠P＝46°， ∴∠PAB＝∠PBA＝＝67°. 又PA是⊙O的切线，AO为⊙O的半径， ∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°， ∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°. 8．如图24－2－36，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC，BC，求证：AC＝BC. 图24－2－36 证明：∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC. 又∵PC＝PC， ∴△APC≌△BPC. ∴AC＝BC. 9．如图24－2－37，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4. (1)求△ABC的面积； (2)求⊙O的半径； (3)求AF的长． 图24－2－37 解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴△ABC的面积为：×3×4＝6； (2)连接OE，OD， ∵⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点， ∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC， 又∵∠C＝90°，OD＝OE， ∴四边形ECDO为正方形， ∴设OE＝OD＝CE＝CD＝x， ∴BE＝3－x，DA＝4－x； ∴FB＝3－x，AF＝4－x， ∴3－x＋4－x＝5，解得x＝1. (3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3. 10．如图24－2－38所示，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P.若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长为__3__． 图24－2－38 【解析】 ∵AP，BP是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，PA＝PB. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°， ∴∠PAB＝90°－30°＝60°， ∴△PAB是等边三角形． 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝×2＝1， ∴AB＝＝＝， ∴△PAB的周长为3. 11．如图24－2－39，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°. (1)求∠P的大小； (2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)． 图24－2－39 第11题答图 解：(1)∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°. ∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°. 又∵PA，PC切⊙O于点A，C，∴PA＝PC， ∴△PAC为等边三角形， ∴∠P＝60°. (2)如图，连接BC，则∠ACB＝90°. 在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°， ∴BC＝AB＝×2＝1， ∴AC＝＝＝， ∴PA＝AC＝. 12．如图24－2－40，直尺、三角尺都和圆O相切，AB＝8 cm.求圆O的直径． 图24－2－40 第12题答图 解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB， ∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B， ∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC. ∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°， ∴∠OAB＝×120°＝60°， ∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm. 由勾股定理得OB＝＝＝8(cm)，即⊙O的半径是8cm， ∴⊙O的直径是16cm. 13．如图24－2－41，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm求△AOB的面积． 图24－2－41 解：(1)∵PA，PB分别为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB. ∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°. 在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°. (2)∵PA，PB分别为⊙O的切线， ∴PA＝PB. ∵OA＝OB，PO＝PO， ∴△PAO≌△PBO， ∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°， ∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°， ∴OA＝×OP＝×20＝10 (cm)． 在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10 cm， ∴AD＝×OA＝×10＝5(cm)， OD＝×OA＝×10＝5 (cm)， ∴AB＝2AD＝10cm， ∴S△AOB＝·AB·OD＝×10×5 ＝25 (cm2)． 14．如图24－2－42，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C， (1)求证：OD∥BE； (2)如果OD＝6 cm，OC＝8 cm，求CD的长． 图24－2－42 解： (1)证明：如图，连接OE. ∵AM，DC是⊙O的切线，∴OA⊥AM，OE⊥CD. 又OA＝OE，OD＝OD，∴△OAD≌△OED(HL)， ∴∠AOD＝∠DOE. ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB. ∵∠AOE＝∠OBE＋∠OEB＝2∠OBE＝2∠AOD， ∴∠AOD＝∠OBE，∴OD∥BE. (2)由(1)得∠AOD＝∠DOE. ∵CD，BC是⊙O的切线，∴OE⊥CD，OB⊥BC. ∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OEC≌△OBC， ∴∠EOC＝∠BOC， ∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°， ∴CD＝＝＝10(cm)．