九年级数学上册22.2+二次函数与一元二次方程同步测试+新人教版.doc

二次函数与一元二次方程 1．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是(　D　) A．与x轴有两个交点 B．开口向上 C．与y轴的交点坐标是(0，3) D．顶点坐标是(1，－2) 【解析】 A项，∵Δ＝22－4×(－1)×(－3)＝－8＜0，∴抛物线与x轴无交点，本选项错误；B项，∵二次项系数－1＜0，∴抛物线开口向下，本选项错误；C项，当x＝0时，y＝－3，∴抛物线与y轴交点坐标为(0，－3)，本选项错误；D项，∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，∴抛物线顶点坐标为(1，－2)，本选项正确．故选D. 2．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是(　A　) A．3　　　　B．2　　　C．1　　　D．0 【解析】 抛物线解析式y＝－3x2－x＋4中，令x＝0，得y＝4，∴抛物线与y轴的交点为(0，4)；令y＝0，得到－3x2－x＋4＝0，即3x2＋x－4＝0，解得x1＝－，x2＝1，∴抛物线与x轴的交点分别为，(1，0)．综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3. 3．[2012·资阳]如图22－2－1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是(　D　) A．－1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5 【解析】 由图象得：抛物线的对称轴是x＝2，抛物线与x轴的一个交点的坐标为(5，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．利用图象可知：ax2＋bx＋c＜0的解集即是y＜0的解集，即x＜－1或x＞5. 图22－2－1 图22－2－2 4．某涵洞的形状是抛物线形，解析式为y＝－x2，它的截面如图22－2－2所示，现测得涵洞的顶点O到水面的距离为9 m，则水面宽AB为(　B　) A．3 m B．6 m C．9 m D．18 m 【解析】 设B点的横坐标为x0，根据题意得－x02＝－9，x02＝9，x0＝3，所以AB＝2x0＝6. 5．[2013·济宁]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22－2－3所示，则下列结论中正确的是(　B　) 图22－2－3 A．a>0 B．当－1<x<3时，y>0 C．c<0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 6．已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，则抛物线与x轴的另一交点的坐标是(　B　) A．(－2，0) B．(－3，0) C．(－4，0) D．(－5，0) 【解析】 设抛物线与x轴的另一个交点为B(b，0)，∵抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，∴＝－1，解得b＝－3，∴B(－3，0)． 7．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图22－2－4所示，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝__－1__． 图22－2－4 【解析】 根据二次函数图象的对称性知图象与x轴的另一个交点为(－1，0)，则另一个解x2＝－1. 8．如图22－2－5，已知二次函数y＝－x2＋x＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，则点A的坐标为__(0，4)__，点C的坐标为__(8，0)__． 【解析】 令y＝0，则－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，所以点C的坐标为(8，0)；令x＝0，得y＝4，所以点A的坐标为(0，4)． 图22－2－5 图22－2－6 9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－6所示，则 (1)这个二次函数的解析式为__y＝x2－2x__； (2)当x＝__－1或3__时，y＝3； (3)根据图象回答： 当__x＜0或x＞2__时，y＞0； 当0＜x＜2时，y＜0. 【解析】 设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1， ∵图象过(0，0)点，∴0＝a(0－1)2－1， ∴a＝1，∴y＝(x－1)2－1，即y＝x2－2x. 令y＝3，得x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以当x＝－1或3时，y＝3. 观察图象可得y＞0和y＜0时对应的x的取值范围． 10．如图22－2－7，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，且与y轴交于点D(0，3)，求该抛物线的解析式． 图22－2－7 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线与y轴交于点D(0，3)， ∴把D点坐标代入y＝a(x－1)(x－3)得a＝1， ∴y＝x2－4x＋3. 11．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　B　) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 【解析】 ∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)， ∴该抛物线的对称轴是x＝. 又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)， ∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2. 12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－8所示，则下列关系式错误的是(　D　) 图22－2－8 A．a＞0 B．c＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0 【解析】 A．∵抛物线的开口向上， ∴a＞0，正确； B．∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0，正确； C．∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2－4ac＞0，正确； D．把x＝1代入抛物线的解析式得：y＝a＋b＋c＜0，错误，故选D. 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－9所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0，②2a＋b＝0，③b2－4ac＜0，④4a＋2b＋c＞0 其中正确的是(　C　) 图22－2－9 A．①③ B．只有② C．②④ D．③④ 【解析】　∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵－＞0，∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，①错误； ∵对称轴为直线x＝1， ∴－＝1，即2a＋b＝0，②正确， ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2－4ac＞0，③错误； ∵对称轴为直线x＝1， ∴x＝2与x＝0时的函数值相等，而x＝0时对应的函数值为正数， ∴4a＋2b＋c＞0，④正确； 则其中正确的有②④. 14. 若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是__0或1__． 【解析】 (1)若m＝0，则函数y＝2x＋1，是一次函数，与x轴只有一个交点； (2)若m≠0，则函数y＝mx2＋2x＋1，是二次函数． 根据题意得Δ＝4－4m＝0， 解得m＝1. 图22－2－10 15．如图22－2－10，二次函数y＝x2－x＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)若A(－4，0)，求二次函数的解析式； (2)在(1)的条件下，求四边形AMBM′的面积． 解：(1)∵点A(－4，0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴0＝×(－4)2－(－4)＋c， 解得c＝－12， ∴二次函数的关系式为y＝x2－x－12. (2)由(1)知y＝x2－x－12， ∴－＝－＝1. 当x＝1时，y＝×12－1－12＝－， ∴M. 令y＝0，得x2－x－12＝0，解得x1＝－4，x2＝6， ∴B(6，0)，AB＝＝10. 又∵点M′与点M关于x轴对称， ∴S四边形AMBM′＝×AB××2＝125. 16．已知：一元二次方程x2＋kx＋k－＝0 (1)求证：不论k为何实数，此方程总有两个实数根； (2)设k<0，当二次函数y＝x2＋kx＋k－的图象与x轴的两个交点A，B间的距离为4时，求出此二次函数的解析式． 解：(1)证明：∵Δ＝k2－4·(k－)＝k2－2k＋1＝(k－1)2 不论k为何实数，(k－1)2≥0 ∴不论k为何实数，此方程总有两个实数根； (2)∵二次函数y＝x2＋kx＋k－的图象与x轴的两个交点A，B间的距离为4. ∴2＝4， ∴(k－1)2＝4 解得k1＝3，k2＝－1 又∵k<0 ∴k＝－1. ∴y＝x2－x－ 17．已知二次函数y＝k(x＋1)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是(　C　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 y＝k(x＋1)＝(x＋1)(kx－3)，所以抛物线经过点A(－1，0)，B，C(0，－3)，所以AC＝＝＝.①当k>0，点B在x轴的正半轴时，若AC＝BC，则＝，解得k＝3；若AC＝AB，则＋1＝，解得k＝；若AB＝BC，则＋1＝，解得k＝.②当k<0，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左侧，只可能有AC＝AB，则－1－＝，解得k＝－，所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条，故选C.