23.6 中心对称（巩固篇）（人教版）.docx

专题23.6 图形的旋转（巩固篇）（专项练习） 一、单选题 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人Alpha Go进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（       ） A． B． C． D． 2．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（       ） A． B． C． D． 3．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（     ） A．3 B．4 C．7 D．11 4．如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 5．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（       ） A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25 6．如图，的顶点O，A，B的坐标分别是，，，为平面上一点，若以，，，为顶点的四边形不是平行四边形，则点的坐标可能为（       ） A． B． C． D． 7．如图，矩形ABCD的顶点A、B在两坐标轴上，OA=OB=2，BC=．将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°，则第2022次旋转后点C的坐标是（       ） A．（3，-5） B．（-5，-3） C．（-3，5） D．（5，3） 8．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 10．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是_____． 12．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若AE=3 cm，四边形AEFB的面积为15 cm2，则CF=____，四边形EDCF的面积为____. 13．如图，已知矩形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴上，且A（﹣1，0），B（0，2），先将矩形OACB沿x轴向右平移2个单位长度，得到矩形O1A1C1B1，然后作矩形O1A1C1B1关于坐标原点O的中心对称图形，得到矩形O2A2C2B2，则点C2的坐标是_____． 14．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____． 15．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为_____cm． 16．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是___． 17．如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为______． 18．已知线段EF两个端点的坐标为E（x1，y1），F（x2，y2），若点M（x0，y0）是线段EF的中点，则有x0＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点记为P1，P1关于点B的对称点记为P2，P2关于点C的对称点记为P3，…，按此规律继续以A、B、C三点为对称中心，重复前面的操作，依次得到点P4，P5，P6，…，则点P2020的坐标是 __________． 三、解答题 19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，． (1) 请在图中画出关于原点的中心对称图形； (2) 请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 20．已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，． (1) 如图1，求证：四边形是平行四边形； (2) 如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形． 21．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．求，两点的坐标． 22．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是全体实数； （2）下表是与的几组对应值． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … －24 －6 0 0 0 6 24 60 … ① ②若为该函数图象上的两点，则 （3）在平面直角坐标系中，如图所示，点是该函数在范围的图象上的最低点． ①直线与该函数图象的交点个数是       ②根据图象，直接写出不等式的解集． 23．已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7． (1)二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式； (2)二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值． 24．在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分． （1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）． （2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有 条？ （3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是 ； （4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长． 参考答案 1．B 【分析】 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项符不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．B 【分析】 根据中心对称图形的性质可得结论． 解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点拨】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 3．C 【分析】 根据三角形三边关系定理，可知即可求解． 解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称， ∴， 又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD≌△BOC（SAS） ∴AD=BC=3 ∵ ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围． 4．D 【分析】 连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题． 解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点， 四边形ABCD是矩形， 同理可得 故选：D． 【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键． 5．D 【分析】 求出A1，A2、 A3、A4、A5、A6，A7点的坐标，找出其中的规律即可． 解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称， ∴A2表示的数是﹣1， ∵A2，A3关于点P对称， ∴A3表示的数是， ∵A3，A4关于点O对称， ∴A4表示的数是﹣5， ∵A4，A5关于点P对称， ∴A5表示的数是， ∵A5，A6关于点O对称， ∴A6表示的数是﹣9， ∵A6，A7关于点P对称， ∴A7表示的数是 …… ∴关于P点对称的点表示的数是， 关于O点对称的点表示的数是， ∴点A14表示当时，， 故选：D． 【点拨】本题考查数轴，要掌握用数轴上的点表示有理数，本题的关键是找出：，． 6．A 【分析】 分三种情况，①AB为对角线时；②OB为对角线时；③OA为对角线时；分别求出点M的坐标，即可求解． 解：当以，A，，为顶点的四边形是平行四边形， 分三种情况： ①AB为对角线时， ∵，点O、A、B的坐标分别是，，， ∴M的坐标为（2+6，2）， 即M（8，2）； ②OB为对角线时， ∵，点O、A、B的坐标分别是，，， ∴的坐标为（2-6，2）， 即M（-4，2）； ③OA为对角线时，点与关于原点O对称， ∴的坐标为（4，-2）， 即M（4，-2）； 综上所述，点M的坐标为（8，2）或（-4，2）或（4，-2）， 所以A符合题意， 故选：A． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质以及分类讨论等知识；正确画出图形是解题的关键． 7．B 【分析】 如图所示，过点C作CF⊥x轴于F，先求出点C的坐标为（5，3），然后根据每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置，可知当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°，由此求解即可． 解：如图所示，过点C作CF⊥x轴于F， ∵OA=OB=2，∠AOB=90°， ∴∠AOB=∠CFB=90°，∠OBA=45°，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴∠FBC=45°， ∴∠FCB=45°=∠FBC， ∴FB=FC， ∵， ∴， ∴FB=FC=3， ∴OF=5， ∴点C的坐标为（5，3）， ∵将矩形ABCD绕原点顺时针每次旋转90°， ∴每四次旋转（即旋转360°）点C会回到初始位置， ∵2022÷4=505余2， ∴当旋转2022次时相当于把点C绕原点顺时针旋转180°， ∴此时C点的位置与初始位置关于原点对称， ∴第2022次旋转后点C的坐标是（-5，-3）， 故选B． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，关于原点对称的点的坐标特征，正确分析出第2022此旋转后点C的位置是解题的关键． 8．A 【分析】 根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案． 解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可 第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示： 由的坐标为可知：，， 在中，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如下图所示： 此时A点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为． 当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为． 当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与A点重合． 故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为． 故选：A． 【点拨】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键． 9．C 【分析】 过点A作AM垂直CD交CD于M点，可得AM=EG=FH，AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中，可得，推出四边形EFGH是矩形即可求解． 解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点， ∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB, BC ∴AM=EG=FH ∵AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中 ∴, ∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O, ∴四边形EFGH是矩形，由∠A= 120°， ∴∠EOH=60°∠GEF =30° ∴, ∴四边形EFGH的周长为 故选：C 【点拨】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型． 10．A 【分析】 先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可． 解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B， ∴ ∵a＞0 解得 ∴点A（-3，0），点B（1，0）， ∵点B为中心对称， ∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5， ∴点C（5，0）， ∴抛物线， ∴D（－1，－4a）， 点D与点D′关于点B对称， 点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a， ∴D′（3，4a）， DD′=，CD=， CD′=， ∵△CDD′是直角三角形， 当∠CD′D=90°， 根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即 ， 解得， ∵a＞0， ∴； 当∠DCD′=90°， 根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即 ， 解得， ∴， ∴综合得a的值为或． 故答案选：A． 【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键． 11．1个 【分析】 根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可． 解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，正方形、线段、平行四边形、圆都是中心对称图形， 只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形， 故答案为：1个． 【点拨】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握两种图形是解题的关键． 12．     3     15 解：连接AC，BD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO． 在△AOE与△COF中，∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF=3cm． 同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE， ∴S四边形EDCF=S四边形AEFB=15cm2． 故答案为3cm，15cm2． 【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键． 13．（﹣1，﹣2）． 【分析】 先由勾股定理求得C点坐标，再求得移动后C1点坐标，最后根据两个坐标点中心对称的关系求解即可. 解：由题意得C(-1，2)，则沿x轴向右平移2个单位长度后得到的C1点坐标为(1,2)，则C1点关于原点的对称点C2的坐标为(-1,-2)， 故答案为：(-1,-2). 【点拨】本题中理解点的平移以及坐标点关于原点对称是解题关键. 14．（2，﹣1） 【分析】 根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点拨】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 15．13． 【分析】 由题意可知O、E、F均为中点，则由OE、OF、EF均为△ABC的中位线，据此进行解答. 解：由题意得OE、OF、EF均为△ABC的中位线， ∴OE=，OF=，EF=， ∴△OEF的周长=， 故答案为13cm 【点拨】本题考察了三角形中位线的知识. 16． 【分析】 由题意A，C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论． 解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点， ∴点A，点C关于原点对称， ∵， ∴， ∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度， 则顶点C的对应点C1的坐标是， 故答案为：． 【点拨】本题考查中心对称，平行四边形的性质，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 17． 【分析】 如图，过点C作CF⊥x轴于点F，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标，根据等腰三角形的性质可得AB＝BC=2，利用外角性质可得∠CBF=60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF、BF的长，利用旋转的性质可得AB＝CE＝2，AC=CD，∠ECD=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得∠CDA=∠CAD=30°，可得CE//AD，可得点E坐标，利用待定系数法即可得答案． 解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F， ∵△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称， ∴， ∴AB＝BC=2． ∵∠CAB＝30°， ∴∠ACB=∠CAB=30°， ∴∠CBF=∠CAB+∠ACB=60°，∠BCF=30°， ∴BF=BC=1，CF=， ∴． ∵将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处， ∴AB＝CE＝2，AC=CD，∠CDA=∠CAD=30°，∠ECD=∠ACB=30°， ∴CE//AD， ∴． 设直线BE的解析式为， ∴， 解得：， ∴BE所在直线的解析式为：． 故答案为： 【点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 18．（-2，-2） 【分析】 根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标． 解：∵A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1）， 点P（0，2）关于点A的对称点P1(x，y)， ∴1=，-1=， 解得x=2，y=-4， 所以点P1（2，-4）； 同理： P1关于点B的对称点P2， 所以P2（-4，2） P2关于点C的对称点P3， 所以P3（4，0）， P4（-2，-2）， P5（0，0）， P6（0，2）， …， 发现规律： 每6个点一组为一个循环， ∴2020÷6=336…4， 所以P2020与P4重合， 所以点P2020的坐标是（-2，-2）． 故答案为：（-2，-2）． 【点拨】本题考查了坐标与图形的变化-旋转、规律型-点的坐标、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 19．(1)答案见分析(2)、、 【分析】 （1）分别画出、、关于原点的对称点、、，连接即可； （2）分别以、、为平行四边形的对角线即可求出点的坐标． (1)解：如图所示， (2)解：如图所示， 当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点； 当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点； 当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点； 故所求的点的坐标为、、． 【点拨】本题主要考查中心对称变换的作图和平行四边形，熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定是解题的关键． 20．(1)证明见分析(2)等边，等边，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形 【分析】 （1）由角平分线可知，由平行可知，可得，，进而结论得证； （2）由题意可得四边形是菱形，是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可． (1)证明：∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． (2)解：由（1）知四边形是平行四边形 ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴是等边三角形的中点 ∴ ∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边，等边 ，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形． 【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21．C，D 【分析】 根据菱形的对角线关于原点对称进行求解即可； 解： 菱形的对角线交于坐标原点．点的坐标为，点的坐标为， 点C和点A关于原点O对称，点D和点B关于原点O对称， ∴ C (2，－2)； D(1，)． 【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的特征和菱形的性质，准确分析计算是解题的关键． 22．（2）①；②； （3）①；②或 【分析】 （2）①通过观察表格，（-2，m），（6，60）关于 （2，0）成中心对称即可； ②由于M与N的函数值互为相反数，关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n求出即可； （3）①由点是该函数在范围的图象的最低点， 直线与该函数图象的有一个交点,与x1部分还有一个交点即可； ②分四段讨论当x<1时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则， 当1<x<2时，x-1，x-2，x-3， 判断符号即可则当2<x<3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则 当x>3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则即可求出 的范围． 解：（2）①通过观察表格，（-2，m），（6，60）关于 （2，0）成中心对称，m=； ②为该函数图象上的两点，由于M与N的函数值互为相反数，关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n，n=-7； （3）①由点是该函数在范围的图象的最低点 直线与该函数图象的有一个交点,与x1部分还有一个交点，直线与该函数图象的有一个交点有2个； ②， 分四段讨论， 当x<1时，x-1<0，x-2<0，x-3<0，三负，则， 当1<x<2时，x-1>0，x-2<0，x-3<0，两负一正，则， 当2<x<3时，x-1>0，x-2>0，x-3<0，两正一负，则， 当x>3时，x-1>0，x-2>0，x-3>0，三正，则， 的范围是或． 【点拨】本题考查多次函数的图像与性质，根据给定的表格找出函数图像关于点（2，0）中心对称