九年级数学上册22.1.4+二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质同步测试+新人教版.doc

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质　[见A本P18] 1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是(　C　) A．y＝－x＋3　　　　B．y＝ C．y＝2x D．y＝－2x2＋x－7 2．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为(　A　) A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4) 【解析】 ∵y＝x2－6x＋5＝x2－6x＋9－9＋5＝(x－3)2－4，∴抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标是(3，－4)．故选A. 3．在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(　A　) A．x<1 B．x>1 C．x<－1 D．x>－1 【解析】 ∵a＝－1＜0， ∴二次函数图象开口向下， 又对称轴是x＝1， ∴当x＜1时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大． 故选A. 4．关于y＝－x2＋3x－的图象，下列说法不正确的是(　B　) A．开口向下 B．对称轴是x＝－3 C．顶点坐标是(3，2) D．顶点是抛物线的最高点 【解析】 a＝－＜0，开口向下，故A正确；对称轴为x＝－＝－＝3，故B不正确；当x＝3时，y最大值＝－×32＋3×3－＝2，故顶点坐标为(3，2)，C正确；D正确． 5．下列关于二次函数的说法错误的是(　B　) A．抛物线y＝－2x2＋3x＋1的对称轴是x＝ B．点A(3，0)不在抛物线y＝x2－2x－3的图象上 C．二次函数y＝(x＋2)2－2的顶点坐标是(－2，－2) D．二次函数y＝2x2＋4x－3的图象的最低点是(－1，－5) 6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2－4x＋3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(　D　) A．(－2，3) B．(－1，4) C．(1，4) D．(4，3) 7．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为(　B　) A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2 【解析】 把抛物线y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y＝x2＋bx＋c，所以y＝(x－1)2－4变为y＝(x－1＋2)2－4＋3，即y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0，选B. 8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25所示：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是(　B　) 图22－1－25 A．y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2 【解析】 ∵a＜0，x1＜x2＜1， ∴y随x的增大而增大 ∴y1＜y2. 故选B. 9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)． 【解析】 原式可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y＝(x＋1)2－4的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故③正确． 10．用配方法将二次函数y＝－x2－x＋化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝－(x＋1)2＋2__；它的开口向__下__，对称轴是__x＝－1__，顶点坐标是__(－1，2)__． 【解析】 y＝－x2－x＋＝－(x2＋2x－3)＝－[(x＋1)2－4]＝－(x＋1)2＋2.a＝－＜0，它的图象开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，2)． 11．y＝2x2－bx＋3的对称轴是x＝1，则b的值为__4__． 【解析】 由对称轴公式得－ ＝1，解得b＝4. 12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x为何值时，y值最大(小)． (1)y＝－2x2－8x＋8; (2)y＝5x2＋6x＋7； (3)y＝3x2－4x; (4)y＝－2x2＋5. 解：(1)y＝－2(x2＋4x－4) ＝－2(x2＋4x＋4－8) ＝－2(x＋2)2＋16. a＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x＝－2时，y有最大值． (2)∵a＝5，b＝6，c＝7， ∴－＝－＝－0.6， ＝＝＝＝5.2. 抛物线开口向上，对称轴为x＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x＝－0.6时，y有最小值． (3)y＝3＝3 ＝3－. 抛物线开口向上，对称轴为x＝，顶点坐标为.当x＝时，y有最小值． (4)抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，5)，当x＝0时，y有最大值． 13．已知二次函数y＝－x2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是(　A　) A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 【解析】 ∵二次函数y＝－x2－7x＋的对称轴为x＝－＝－＝－7. ∵0＜x1＜x2＜x3， ∴三点都在对称轴右侧，又∵a＜0，在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∴y1＞y2＞y3. 14．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为(　C　) A．直线x＝1 B．直线x＝－2 C．直线x＝－1 D．直线x＝－4 【解析】　∵一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)， ∴－2a＋b＝0，即b＝2a， ∴抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝－＝－1.故选C. 15．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2. (1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________； (2)选取适当的数据填入下表，并在图22－1－26的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x …… y …… (3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小． 图22－1－26 解：(1)x＝1，(1，3)； (2)填表如下： x … －1 0 1 2 3 … y … －1 2 3 2 －1 … 抛物线的图象如图所示． (3)因为在对称轴x＝1的右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2. 图22－1－27 16．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围． 解：(1)由题意，得C(0，2)，B(2，2)， ∴∴ ∴该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2. (2)令－x2＋x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝3， ∴当y＞0时，－1<x<3. 图22－1－28 17．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点． (1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上一点，求AM＋OM的最小值． 解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点代入y＝ax2＋bx＋c中，得 解这个方程组，得a＝－，b＝1，c＝0， 所以抛物线解析式为y＝－x2＋x. (2)如图，由y＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，可得抛物线的对称轴为x＝1，并且对称垂直平分线段OB， 所以OM＝BM，OM＋AM＝BM＋AM. 连接AB交直线x＝1于M，则此时OM＋AM最小． 过A点作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中，AB＝＝＝4，因此AM＋OM的最小值为4. 18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过矩形顶点B，C. (1)当n＝1时，如果a＝－1，试求b的值； (2)当n＝2时，如图(2)，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式． (1)　　　　　　　　(2) 图22－1－29 解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝，∴－＝，解得b＝1；(2)因为抛物线过C(0，1)，所以c＝1，故可设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋1， 由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M， ∴解得 ∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1. 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式　 [见B本P18] 1．过(－1，0)，(3，0)，(1，2)三点的抛物线的顶点坐标为(　A　) A．(1，2)　　　　　　B. C．(－1，5) D. 【解析】 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则 解得 ∴y＝－x2＋x＋＝－(x2－2x－3) ＝－[(x2－2x＋1)－4]＝－[(x－1)2－4] ＝－(x－1)2＋2，顶点为(1，2)．故选A. 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 －11 … 则该函数图象的顶点坐标为(　B　) A．(－3，－3) B．(－2，－2) C．(－1，－3) D．(0，－6) 【解析】 ∵x＝－3和－1时的函数值都是－3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x＝－2， ∴顶点坐标为(－2，－2)． 故选B. 3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线的解析式为(　D　) A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5 C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6 【解析】 依题意，得 解得a＝－2，b＝4，c＝6， ∴y＝－2x2＋4x＋6，故选D. 4．抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为(　C　) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x－2)2－1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1 【解析】 依题意得a＝，可得该抛物线的解析式为y＝(x＋2)2＋1，故选C. 5．抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(1，－2)，则b＝__－4__，c＝__0__． 【解析】 依题意得y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x，所以b＝－4，c＝0. 6．已知点A(1，2)，B(－2，5)，试写出一个二次函数，使它的图象经过A，B两点，则此二次函数可为__y＝x2＋1(答案不唯一)__．　　　　 【解析】 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则∴ 解得∴y＝ax2＋(a－1)x＋3－2a. 取a≠0的数即可，如当a＝1时，y＝x2＋1. 7．如图22－1－30，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为__3__． 【解析】 依题意得解得所以y＝x2－x－2，令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以AC长为3. 图22－1－30 图22－1－31 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－1－31所示． (1)这个二次函数的解析式是__y＝x2－2x__； (2)当x＝__3或－1__时，y＝3. 【解析】 (1)由抛物线过点(0，0)，(1，－1)，(2，0)， 则解得a＝1，b＝－2，c＝0，∴y＝x2－2x. (2)当x2－2x＝3时，解得x1＝3，x2＝－1， 所以当x＝3或－1时，y＝3. 9．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是__①③④__．(填写序号) ①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)； ②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x＝； ④在对称轴左侧，y随x的增大而增大． 【解析】 从表中取出三个点代入y＝ax2＋bx＋c，求出函数解析式，进行判断． 10．已知抛物线的顶点为(1，－1)，且过点(2，1)，求这个函数的解析式． 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－1， 把点(2，1)代入解析式得：a－1＝1， 解得a＝2， ∴这个函数的解析式为y＝2(x－1)2－1. 11．根据下列条件，求二次函数的解析式： (1)图象的顶点为(2，3)，且过点(3，1)； (2)图象经过点(1，－2)，(0，－1)，(－2，－11)． 解：(1)设函数的解析式是y＝a(x－2)2＋3，代入点(3，1)得：a＝－2， 则函数的解析式是：y＝－2(x－2)2＋3； (2)设函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c.根据题意得： 解得 则函数的解析式是：y＝－2x2＋x－1. 12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应的解析式及顶点坐标． 解：根据题意，得： 解得 ∴此抛物线对应的解析式y＝－x2＋2x＋， 即y＝－(x－2)2＋，∴顶点坐标为. 13．当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 解：∵当k＝1时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k没有最大值； 当k≠1时，当函数图象开口向下时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k有最大值，∴k－1＜0，解得k＜1， ∴当k＝－1时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k有最大值，此时函数解析式为y＝－2x2－4x＋6＝－2(x＋1)2＋8，且最大值为8. 图22－1－32 14．如图22－1－32，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)，B(2，0)两点，交y轴于点C(0，－2)，过点A，C画直线． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P在x轴正半轴上，且PA＝PC，求OP的长． 解：(1)设该二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)， 将x＝0，y＝－2代入，得－2＝a(0＋1)(0－2)， 解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－2)， 即y＝x2－x－2. (2)设OP＝x，则PC＝PA＝x＋1， 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2＋22＝(x＋1)2， 解得x＝，即OP＝. 图22－1－33 15．如图22－1－33，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，且A点坐标为(－3，0)，经过B点的直线交抛物线于点D(－2，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线BD的解析式． 解：(1)将A(－3，0)，D(－2，－3)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴y＝x2＋2x－3. (2)由x2＋2x－3＝0，得 x1＝－3，x2＝1， ∴B的坐标是(1，0)． 设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则 解得 ∴直线BD的解析式为y＝x－1. 图22－1－34 16．如图22－1－34，已知二次函数y＝x2＋bx＋c过点A(1，0)，C(0，－3)． (1)求此二次函数的解析式； (2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标． 解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c过点A(1，0)，c(0，－3)， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3； (2)∵当y＝0时，x2＋2x－3＝0， 解得：x1＝－3，x2＝1； ∴A(1，0)，B(－3，0)， ∴AB＝4， 设P(m，n)， ∵△ABP的面积为10， ∴AB·|n|＝10， 解得：n＝±5， 当n＝5时，m2＋2m－3＝5， 解得：m＝－4或2， ∴点P坐标为(－4，5)或(2，5)； 当n＝－5时，m2＋2m－3＝－5， 方程无解， 故点P坐标为(－4，5)或(2，5)．