22.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）（人教版）.docx

专题22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习） 一、单选题 知识点一、二次函数的判断 1．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（　　） ①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）； ②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）； ③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）； ④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数                B．二次项系数是﹣10              C．一次项是100           D．常数项是20000 3．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长c与边长a之间的关系 D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 4．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y=a+bx+c B．x2+y-2=0 C．y2-ax=-2 D．-y2+1=0 知识点二、二次函数的参数 5．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 6．当函数 是二次函数时，的取值为（   ） A． B． C． D． 7．若y=（m＋1）是二次函数，则m=   （     ） A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对 8．下列结论正确的是（　   ） A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数 知识点三、二次函数的解析式 9．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（       ） A． B． C． D． 10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　） A． B． C． D． 11．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　） A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B．正方形周长与边长之间的关系 C．正方形面积和正方形边长之间的关系 D．圆的周长与半径之间的关系 12．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（       ） A．y＝-10 x2-560x+7350 B．y＝-10 x2+560x-7350 C．y＝-10 x2+350x D．y＝-10 x2+350x-7350 二、填空题 知识点一、二次函数的判断 13．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量). 15．下列各式：；其中是的二次函数的有________（只填序号） 16．二次函数y＝3x2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____． 知识点二、二次函数的参数 17．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______． 18．如果函数是二次函数，那么m=____． 19．当m____________________________时，函数是二次函数． 20．点是二次函数图像上一点，则的值为__________ 知识点三、二次函数的解析式 21．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 22．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______． 23．将二次函数化成的形式为__________． 24．二次函数的一般形式是________． 三、解答题 25．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 26．已知函数是关于的二次函数，求不等式的解集． 27．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：． （1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？ （2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？ 参考答案 1．C 解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C． 2．C 【分析】 先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可. 解：∵y=（500﹣10x）（40+x） =-10x2+100x+20000， ∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可. 3．D 【分析】 根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可． 解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误； B、t=，当s≠0时，是反比例函数，错误； C、C=3a，是正比例函数，错误； D、S=πR2，是二次函数，正确． 故选D． 【点拨】本题考查二次函数的定义． 4．B 解：利用二次函数的定义，可知： A.y=a+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误； B.x2+y-2=0可变为y= +2，是二次函数，故此选项正确； C.y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误； D.x2-y2+1=0不是二次函数，故此选项错误； 故选B． 5．A 【分析】 利用二次函数定义进行解答即可． 解：由题意得：a﹣1≠0， 解得：a≠1， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．D 【分析】 根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 解：∵函数 是二次函数， ∴a-1≠0，=2， ∴a≠1，， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 7．B 【分析】 令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 解：由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0； 解得m=7或-1；m≠-1， ∴m=7， 故选：B． 【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0． 8．B 【分析】 根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题． 解：A、应强调a是常数，a≠0，错误； B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确； C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误； D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误． 故选B． 【点拨】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义． 9．C 【分析】 由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可． 解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x， 矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）． 故选：C． 【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键． 10．B 【分析】 商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解． 解：每件的利润为（x-21）， ∴y=（x-21）（350-10x） =-10x2+560x-7350． 故选B． 【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 11．C 【分析】 利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可． 解：A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型； B、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型； C、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型； D、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型． 故选C． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化和图象几个方面分析． 12．B 解：根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x-21）（350－10x）=－10x2＋560x－7350，故选B. 13．          -2x ,     1 【分析】 函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1. 故答案是：; -2x;1. 【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．①④ 【分析】 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可． 解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数； ②y＝2x，是一次函数； ③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数； ④m＝3－t－t2，是二次函数. 故填①④． 【点拨】本题考查二次函数的定义． 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2； (3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0． 15．②⑤⑥ 【分析】 根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥． 故答案是：②，⑤，⑥． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）． 16．     3     0 【分析】 根据二次函数的定义解答即可． 解：二次函数y＝3x2+5的二次项系数是3，一次项系数是0． 故答案是：3；0． 【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0． 17． 【分析】 由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 18．2． 【分析】 直接利用二次函数的定义得出m的值． 解：∵函数是二次函数， ∴m2−m＝2，（m−2）（m＋1）＝0， 解得：m1＝2，m2＝−1， ∵m＋1≠0， ∴m≠−1， 故m＝2． 故答案为：2． 【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键． 19．不等于和3 【分析】 我们一般把形如(为常数)的函数称之为二次函数，其中 二次项系数不能为0，据此进一步求解即可. 解：根据二次函数的定义可得：， 即：， ∴，且， 即当不等于和3时，原函数为二次函数， 故答案为：不等于和3. 【点拨】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．6 【分析】 把点代入即可求得值，将变形，代入即可． 解：∵点是二次函数图像上， ∴则． ∴ 故答案为：6． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键． 21．m=2n2−n 【分析】 图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数． 解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1）， 第二层的正方形个数为（4×1＋1）， 第三层的正方形个数为（4×2＋1）， …… 第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为： 1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1] ＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1 ＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1） ＝n＋4 ＝n＋2n（n−1） ＝2n2−n． 即：m=2n2−n． 故答案为：m=2n2−n 【点拨】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数． 22．## 【分析】 由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 23． 【分析】 利用配方法整理即可得解． 解：， 所以． 故答案为． 【点拨】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：为常数)； (2)顶点式：； (3)交点式(与轴)：． 24． 【分析】 直接利用乘法运算法则化成一般式． 解：y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12， 故答案为y＝−8x2＋20x＋12． 【点拨】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键． 25．(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能 试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 解：(1)∵这个函数是二次函数， ∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0， ∴m≠0且m≠1. (2)∵这个函数是一次函数， ∴∴m＝0. (3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2， ∴不可能是正比例函数． 26．且． 【分析】 首先利用二次函数的定义得出k不能取的值，进而解不等式得出答案. 解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：， ， 解得：， 故不等式的解集为：且． 【点拨】此题主要考查了二次函数的定义以及解不等式，正确解不等式是解题关键. 27．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台． 【分析】 （1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得； （2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）销售量-7，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得． 解：（1）根据题意列出函数关系式如下： 当时，， 解得，． ∵要抢占市场份额 ∴． 答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台． （2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为万元，销售量． 依据题意得， 当时，，解得，． ∵要继续保持扩大销售量的战略 ∴ 答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台． 【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量．