九年级数学上册专题八+与垂径定理有关的辅助线同步测试+新人教版.doc

与垂径定理有关的辅助线 一　连半径构造直角三角形 (教材P83练习第1题) 如图1，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径． 图1 变形1答图 解：作OE⊥AB于E，连接OA，则AE＝AB＝×8＝4(cm)，OE＝3 cm，∴OA＝＝＝5(cm)． 【思想方法】 求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解． 　如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为(　D　) A．8　　　B．10　　　C．16　　　D．20 【解析】 如图，连接OC，根据题意，得CE＝CD＝6，BE＝2.在Rt△OEC中，设OC＝x，则OE＝x－2， 故(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20. 图2 图3 　“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图3所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸．”(注：1尺＝10寸) 解：∵AB⊥CD，∴AE＝BE.∵AB＝10，∴AE＝5. 在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴OA2＝(OA－1)2＋52，∴OA＝13，∴CD＝2OA＝26(寸)． 二　作弦心距巧解题 (教材P90习题24.1第10题) ⊙O的半径为13 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB和CD的距离． 解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD＝10 cm， 　　　 ∴DE＝5 cm.∵OD＝13 cm，∴利用勾股定理可得OE＝12 cm.同理可求OF＝5 cm，∴EF＝7 cm. 第二种情况：EF＝OE＋OF＝17 cm. 【思想方法】 已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法． 如图4，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离． 图4 变形1答图 解：如图，过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD. 在Rt△OAE中，∵OA＝17，AE＝BE＝AB＝15，∴OE＝8，同理可求OF＝15. ∵圆心O位于AB，CD的上方， ∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)， 即AB和CD的距离是7 cm. 　如图5所示，若⊙O的半径为13 cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为__24__cm. 【解析】 点P到圆心的最短距离即点O到弦AB的垂线段的长度，当点P是AB中点时，连接OA，则AB＝2AP＝2＝2＝2×12＝24(cm)． 图5 图6 　如图6，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　C　) A．3 B．4 C．3 D．4 【解析】 如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD. 由垂径定理、勾股定理，得 OM＝ON＝＝3. ∵弦AB，CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°. ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°， ∴四边形MONP是正方形，∴OP＝3，故选C. 　把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图7所示，已知EF＝CD＝16 cm，则球的半径为__10__cm. 图7 变形4答图 【解析】 取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取弧EF所在圆的圆心为O，连接OF. 设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8， 在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2， 即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10. 　当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8所示(单位：cm)，那么该圆的半径为____cm. 图8 【解析】 连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝(9－1)＝4.设OA＝r，则OD＝r－3，在Rt△OAD中，OA2－OD2＝AD2，即r2－(r－3)2＝42，解得r＝ cm. 　如图9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 图9 解：由垂径定理得BF＝AB＝1.5，OE⊥AB，设圆O半径为x，则OF＝x－1，在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即圆O的半径是1.625 m. 　某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m(如图10所示)．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 图10 解：如图，连接ON，OB，且设DE为船舱的高． ∵OC⊥AB，∴D为AB中点． ∵AB＝7.2 m，∴BD＝AB＝3.6 m．又CD＝2.4 m， 设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝(r－2.4)m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9 m. ∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4 (m)， ∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5 (m)． 在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝， ∴MN＝2EN＝2×≈3.44(m)＞3(m)， ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 　有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图11所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 图11 解：不需要采取紧急措施．理由如下： 设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18， ∴R2＝302＋(R－18)2 解得R＝34(m)． 如图，连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16， ∴342＝162＋(34－x)2， 即x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE＝4.∵4 m＞3.5 m，∴不需采取紧急措施．