2023届黑龙江省宾县一中高三第三次测评数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）. A． B． C． D． 2．集合的子集的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是 A． B． C． D． 5．已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．若变量，满足，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．10 8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 9．集合的真子集的个数为( ) A．7 B．8 C．31 D．32 10．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A． B． C． D． 11．已知集合，定义集合，则等于（ ） A． B． C． D． 12．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________. 14．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______． 15．若实数满足不等式组，则的最小值是___ 16．已知是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四边形中，，，. （1）求的长； （2）若的面积为6，求的值. 18．（12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，若. （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，，求. 19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程； （2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值. 20．（12分）对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为. (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值. (注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.) 21．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励. （1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率； （2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望. 22．（10分）数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，为的前n项和，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 易得，，又，平方计算即可得到答案. 【题目详解】 设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形， 所以，又， 故，，， 所以，即， 故离心率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题. 2、D 【答案解析】 先确定集合中元素的个数，再得子集个数． 【题目详解】 由题意，有三个元素，其子集有8个． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个． 3、B 【答案解析】 求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【题目详解】 ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，， 因此要使函数有两个零点，则，∴． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围． 4、B 【答案解析】 依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解. 【题目详解】 根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数， 得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x）， ∴b=0，∴a+b=．故选B． 【答案点睛】 本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 5、D 【答案解析】 由题意画出图形，找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O，通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径，则答案可求. 【题目详解】 如图；设AB的中点为D； ∵PA，PB，AB＝4， ∴△PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：rAB＝AD＝2； 设外接球球心为O； ∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC， ∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC. ∴O在CD上； 故有：AO2＝OD2+AD2⇒R2＝（R）2+r2⇒R； ∴球O的表面积为：4πR2＝4π. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题. 6、B 【答案解析】 根据题意计算，，，解不等式得到答案. 【题目详解】 ∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴. ∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴. ∴ . ∵，∴，解得.则当时，的最大值是9. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 7、D 【答案解析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【题目详解】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 如图点坐标分别为， 目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 8、D 【答案解析】 ，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D 9、A 【答案解析】 计算，再计算真子集个数得到答案. 【题目详解】 ，故真子集个数为：. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 10、C 【答案解析】 在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【题目详解】 两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、， 又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题. 11、C 【答案解析】 根据定义，求出，即可求出结论. 【题目详解】 因为集合，所以， 则，所以. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 12、B 【答案解析】 结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可. 【题目详解】 结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故 可以转换为 对应于恒成立,即 即对恒成立 即对恒成立 令,则上递增,在上递减, 所以 令,在上递减 所以.故,故选B. 【答案点睛】 本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可. 【题目详解】 当时，令，解得， 所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 当时，单调递减，且， 作出函数的图象如图： （1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件； （2）若，则当时，方程整理得， 则，，此时各有1解， 故当时，方程整理得， 有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意； 或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立； 或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况， 或有0解同时有3解，则，解得， 故， （3）若，显然当时，和均无解， 当时，和无解，不符合题意． 综上：的范围是， 故答案为：， 【答案点睛】 本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题． 14、 【答案解析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果. 【题目详解】 先做的区域如图可知在三角形ABC区域内， 由得可知，直线的截距最大时，取得最小值， 此时直线为， 作出直线，交于A点， 由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点， 由，得，代入，得， 所以点C的坐标为． 等价于点与原点连线的斜率， 所以当点为点C时，取得最小值，最小值为， 故答案为：. 【答案点睛】 该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目. 15、-1 【答案解析】 作出可行域，如图： 由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0） 所以-1 故答案为-1 16、 【答案解析】 依题意可得，再根据求模，求数量积，最后根据夹角公式计算可得； 【题目详解】 解：因为是夹角为的两个单位向量 所以， 又， 所以，， 所以， 因为所以； 故答案为： 【答案点睛】 本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) (2)