第27章 相似（B卷）.doc

《第二十七章 相似》测试卷（B卷） （测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．如果，则=（ ） A． B． C． D． 2．如图△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，,则的值为（ ） A、 B、1:3 C、1:8 D、1:9 3．如图，Rt△ABC和Rt△DCA中，∠B=∠ACD=90°，AD∥BC，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D． 4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）. A． B．2 C． D． 5．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ） A．0..36π米2 B． 0.81π米2 C．2π米2 D．3. 24π米2 6．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B、C、D的坐标分别为B（5，0）、C（1，2）、D（2，0），则点A的坐标是（ ） A．（2.5，5） B．（2.5，3） C．（3，5） D．（2.5，4） 7．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA， OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 8．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则为（ ） A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 9．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 10．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________． 12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．[来源:学.科.网] 13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米. 14．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条． 15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________. 16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：） 17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______． 18．如图，等边△ ABC 的边长为 30，点 M 是边 AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点 M 的直线折叠，该直线与直线 AC 交于点 N，使点 A 落在直线 BC 上的点 D 处，且 BD：DC=1 :4，折痕为 MN，则AN 的长为_____. 19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）． 20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________． 三、解答题（共60分） 21．（本题7分）如图，D是△ABC外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请分别说明两对三角形相似的理由. 22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）． (1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1； (2)、求△ABC中AC边上的高； (3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为 23．（本题7分） 如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M． （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若DB=9，求BM． [来源:Z 24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米． 如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度． 25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE． （1）求证：△DCE∽△BCA； （2）若AB=3，AC=4．求DE的长．[来源:学科网ZXXK] 26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°． ①求证：△ABP∽△BCP； ②若PA=3，PC=4，则PB= ． （2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2） ①求∠CPD的度数； ②求证：P点为△ABC的费马点． 27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？ 特例求解 当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC． 深入探究 当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围． [来源:学|科|网] 28．（本题9分）如图，AB是⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，AE⊥交直线于点E、交⊙O于点F，BD⊥交直线于点D． （1）求证：△AEC∽△CDB； （2）求证：AE+EF=AB； （3）若AC=8，BC=6，点P从点A出发沿线段AB向点B以2的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为秒，求当为何值时，△BPQ为等腰三角形？ （测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．如果，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 先根据比例的性质可得+1=+1，进而可得． 故选C． 2．如图△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，,则的值为（ ） A、 B、1:3 C、1:8 D、1:9 【答案】C 【解析】 根据题意可得：△ADE∽△ACB，则=1:9，则=1:8.故选C 3．如图，Rt△ABC和Rt△DCA中，∠B=∠ACD=90°，AD∥BC，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D． 【答案】C 【解析】 由AD∥BC，得出∠ACB=∠DAC，证得△ABC∽△DCA，可得，再由面积的比等于相似比的平方，即可得到， 故选C． 4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）. A． B．2 C． D． 【答案】D． 5．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ） A．0..36π米2 B． 0.81π米2 C．2π米2 D．3. 24π米2[来源:学科网ZXXK] 【答案】B 【解析】 如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以得，再把OD=3，CD=1代入可求出OC= OD-CD=3-1=2，BC=×1.2=0.6，然后求出地面影子的半径AD=0.9，这样可以求出阴影部分的面积S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2． 故选B 6．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B、C、D的坐标分别为B（5，0）、C（1，2）、D（2，0），则点A的坐标是（ ） A．（2.5，5） B．（2.5，3） C．（3，5） D．（2.5，4） 【答案】A 7．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA， OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 【答案】B 【解析】 由D，F分别是OA，OC的中点，根据三角形的中位线的性质得DF=AC，根据三角形相似的性质可知△DEF与△ABC的相似比是1：2，因此△DEF与△ABC的面积比是1：4． 故选B． 8．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则为（ ） A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】C 9．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 【答案】A[来源:学科网ZXXK] 【解析】 根据题意可得：，解得：x=2.2，则2.2-1.7=0.5m，即小刚举起的手臂超出头顶0.5m. 10．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【答案】D 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________． 【答案】 【解析】 ∵两个相似三角形的周长比是1：3， ∴它们的面积比是，即1：9． 故答案为：1：9． 12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）． 【答案】6.2 【解析】 由题意知AC:AB=BC:AC， ∴AC:AB≈0.618， ∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm) 故答案为：6.2. 13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米. 【答案】12.6 14．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条． 【答案】 【解析】 作DE∥AB,DF∥BC，可得相似， 作∠CDG=∠B，∠ADH=∠C，也可得相似三角形. 所以可作4条. 故答案为：4. 15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________. 【答案】答案不唯一，如△DFE∽△CBE 【解析】[来源:Zxxk.Com] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC//AD，即BC//DF， ∴△DEF∽△CEB， 故答案为：△DEF∽△CEB（答案不唯一）. 16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：） 【答案】不可能 这就是说,按照人的最小视角1′观察地球上长城的厚度，最远的距离只能是34.4km，而月球与地球之间的距离为380000km，这个数字很大，它相当于34.4km的11046倍，从这么远看长城，根本无法看见. 17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______． 【答案】 【解析】 由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:, 故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=, 故答案为:. 18．如图，等边△ ABC 的边长为 30，点 M 是边 AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点 M 的直线折叠，该直线与直线 AC 交于点 N，使点 A 落在直线 BC 上的点 D 处，且 BD：DC=1 :4，折痕为 MN，则AN 的长为_____. 【答案】21或65 【解析】 ①当点A落在如图1所示的位置时，[来源:Z.xx.k.Com] ∵BD：DC=1：4，BC=30， ∴DB=6，CD=24， 设AN=x，则CN=30-x， ∴=， ∴DM=，BM=， ∵BM+DM=30， ∴+=30， 解得x=21， ∴AN=21； ②当A在CB的延长线上时，如图2， 与①同理可得△BMD∽△CDN， ∴得， ∵BD：DC=1：4，BC=10， ∴DB=10，CD=40， 设AN=x，则CN=x-10， ∴=， ∴DM=，BM=， ∵BM+DM=30， ∴+=10， 解得：x=65， ∴AN=65． 故答案为：21或65． 19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）． 【答案】 20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________． 【答案】18 【解析】 ∵在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD， ∴2EH=AD+FG，2FG=EH+BC， ∴EH=，FG=， ∵四边形EFGH的面积为6cm2， ∴（EH+FG）h=6， ∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为： （EH+AD）h+（BC+FG）h=12， 则梯形ABCD的面积为：18． 故答案为：18． 三、解答题（共60分） 21．（本题7分）如图，D是△ABC外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请分别说明两对三角形相似的理由. 【答案】(1)、△ABD∽△AEC；△ABE∽△ADC；(2)、证明见解析 22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）． (1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1； (2)、求△ABC中AC边上的高； (3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为 【答案】(1)图形见解析；(2)、；(3)、（2,6）. 【解析】 (1)、如图所示； (2)、高 (3)、（2,6）； O y x A B C D E F 23．（本题7分） 如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M． （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若DB=9，求BM． 【答案】(1)、证明见解析；(2)、BM=3. 24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米． 如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度． 【答案】99m 25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE． （1）求证：△DCE∽△BCA； （2）若AB=3，AC=4．求DE的长． 【答案】（1）、证明见解析；（2）、 【解析】 （1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DA， ∵∠EAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE，∴AB∥DE,∴△DCE∽△BCA； （2）、∵∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,设DE=x,∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x, ∵△DCE∽△BCA,∴DE：AB=CE：AC,即x：3=（4﹣x）：4,解得：x=， ∴DE的长是． 26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°． ①求证：△ABP∽△BCP； ②若PA=3，PC=4，则PB= ． （2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2） ①求∠CPD的度数； ②求证：P点为△ABC的费马点． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 在△ACE和△ABD中， ，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2, ∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；[来源:学&科&网] ②∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点． 27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？ 特例求解 当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC． 深入探究 当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）≤BE＜2． (2)深入探究,设AP=x，AE=y，∵△APE∽△DCP，∴，即x（3﹣x）=2y，∴y=x（3﹣x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，y的最大值为，∵AE=y取最大值时，BE取最小值为2﹣=，∴BE的取值范围为≤BE＜2． 28．（本题9分）如图，AB是⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，AE⊥交直线于点E、交⊙O于点F，BD⊥交直线于点D． （1）求证：△AEC∽△CDB； （2）求证：AE+EF=AB； （3）若AC=8，BC=6，点P从点A出发沿线段AB向点B以2的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停