九年级数学上册专题六+二次函数的应用同步测试+新人教版.doc

二次函数的应用 一　二次函数的实际应用 (教材P51探究3) 图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m时，水面宽度增加多少？ 图1 教材母题答图 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)， 可设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2. 由抛物线经过点(2，－2)，可得 －2＝a×22，a＝－. 这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2. 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y＝－3. 由y＝－3解得x1＝，x2＝－， 所以此时水面宽度为2 m， 所以水面宽度增加(2－4)m. 【思想方法】 建模：把问题中各个量用两个变量x，y来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题．注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便． 　某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示． (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式； (2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m，车与集装箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？并说明理由． 图2 解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2 抛物线的顶点为原点，隧道宽6 m，高5 m，矩形的高为2 m， 所以抛物线过点A(－3，－3)， 代入得－3＝9a， 解得a＝－ 所以函数关系式为y＝－. (2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置， 将x＝1.5代入抛物线方程，得y＝－0.75， 此时集装箱上部的角离隧道的底为5－0.75＝4.25米，不及车与集装箱总高4.5米，即4.25＜4.5. 所以此车不能通过此隧道． 　如图3，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m. (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式．(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 图3 解：(1)∵h＝2.6，球从点O正上方2 m的A处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)， ∴2＝a(0－6)2＋2.6， 解得：a＝－， 故y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6， (2)当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 所以球能越过球网； 当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0， 解得：x1＝6＋2＞18，x2＝6－2(舍去) 故会出界； (3)当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)， 代入解析式得： 解得： 此时二次函数解析式为：y＝－(x－6)2＋， 此时球若不出边界则h≥， 当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，代入解析式得： 解得： 此时球要过网则h≥， ∵＞，∴h≥， 故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥. 二　二次函数的综合应用 (教材P47习题22.2第4题) 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴． 解：解法一：∵点(－1，0)，(3，0)的纵坐标相等， ∴这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点， ∴这条抛物线的对称轴是x＝＝1. 解法二：∵函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2， ∴x1＋x2＝－＝(－1)＋3＝2， ∴这条抛物线的对称轴是x＝－＝1. 【思想方法】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用 抛物线的轴对称性是研究二次函数的性质的关键；(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求解；(3)已知二次函数图象上的一个点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一个点的坐标． 　[2012·南通改编]如图4，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于B(－2，0)，C两点，O为坐标原点． 图4 (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度，再向左平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC的内部，求m的取值范围． 解：(1)∵点A(0，－4)，B(－2，0)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－4. (2)将抛物线y＝x2－x－4＝(x－1)2－向上平移个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点P的坐标为(1－m，－1)． 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解得 ∴y＝－2x－4，当y＝－1时，x＝－； 同理求得直线BC的解析式为y＝x－4，当y＝－1时，x＝3. ∵新抛物线的顶点P在△ABC的内部， ∴－<1－m<3且m>0，解得0<m<. 如图5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3，－)． (1)求该抛物线的函数关系式及点A的坐标； (2)在抛物线上求点P，使S△POA＝2S△AOB； 图5 解：(1)∵抛物线的顶点为B(3，－)， ∴设抛物线的函数关系式为y＝a(x－3)2－. ∵抛物线经过原点(0，0)，∴0＝a(0－3)2－， ∴a＝，∴y＝(x－3)2－， 即抛物线的函数关系式为y＝x2－x. 令y＝0，得x2－x＝0， 解得x1＝0，x2＝6，∴点A坐标为(6，0)． (2)如图，∵△AOB与△POA同底不同高，且S△POA＝2S△AOB， ∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上的高的2倍，即P点纵坐标是2. 令2＝x2－x，即x2－6x－18＝0， 解得x1＝3＋3，x2＝3－3， ∴所求的点为P1(3＋3，2)，P2(3－3，2)．