九年级数学上册22.1.3+二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质同步测试+新人教版.doc

二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质　 [见B本P14] 1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(　C　) A．直线x＝　　　B．直线x＝－ C．y轴 D．直线x＝2 2．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是(　B　) ①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1； ④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3. A．①④ B．②⑤ C．②③⑤ D．①②⑤ 【解析】 a决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a相同，选B. 3．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(　C　) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3 4．[2013·德州]下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是(　B　) A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1 C．y＝ D．y＝－x2＋1 5．抛物线y＝－2x2－5的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，－5)__． 【解析】 根据抛物线y＝ax2＋c的特征解答即可． 6．抛物线y＝x2－4可由抛物线y＝x2沿__y__轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y轴__，当__x＝0__时，y有最__小__值为__－4__，当__x>0__时，y随x的增大而增大，当__x<0__时，y随x的增大而减小． 【解析】 抛物线y＝x2－4与y＝x2的形状相同，但位置不同，抛物线y＝x2－4的图象可由抛物线y＝x2的图象沿y轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便． 7．[2013·湛江]抛物线y＝x2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__． 8．(1)填表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝－2x2 y＝－2x2＋1 y＝－2x2－1 (2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象； (3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ (4)由抛物线y＝－2x2怎样平移得到抛物线y＝－2x2＋1与y＝－2x2－1? 解：(1)略　(2)略 (3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)； (4)抛物线y＝－2x2＋1可由抛物线y＝－2x2向上平移1个单位得到；抛物线y＝－2x2－1可由抛物线y＝－2x2向下平移1个单位得到． 9．二次函数y＝－x2＋c的图象经过点，与x轴交于A，B两点，且A点在B点左侧． (1)求c的值； (2)求A，B两点的坐标． 解：(1)∵抛物线经过点， ∴－×(－)2＋c＝，∴c＝6. (2)∵c＝6，∴抛物线为y＝－x2＋6. 令y＝0，则－x2＋6＝0，解得x1＝2，x2＝－2，∵A点在B点左侧，∴A(－2，0)，B(2，0)． 10．如图22－1－12，两条抛物线y1＝－x2＋1、y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(　A　) 图22－1－12 A．8 B．6 C．10 D．4 【解析】 两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8. 11．抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y＝－8x2－6____，它是由抛物线y＝－8x2向__下__平移__6__个单位得到的． 【解析】 根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k值，从而可判断平移方向． ∵抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－8. 又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k＝－6， ∴y＝－8x2－6，它是由抛物线y＝－8x2向下平移6个单位得到的． 12．已知函数y＝ax2＋c的图象过点(－2，－7)和点(1，2)． (1)求这个函数的关系式； (2)画这个函数的图象； (3)求这个函数的图象与x轴交点的坐标． 【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a，c的二元一次方程组． (2)列表、描点、连线． (3)求y＝0时x的值． 解：(1)∵y＝ax2＋c的图象过(－2，－7)，(1，2)两点， ∴∴∴y＝－3x2＋5. (2)列表： x －2 －1 －1 － 0 1 1 2 y＝－3x2＋5 －7 －1 2 4 5 4 2 －1 －7 描点、连线： (3)当y＝0时，－3x2＋5＝0， 解得x1＝，x2＝－， 故函数图象与x轴的交点坐标为和. 13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB时，水面宽20 m，这时，拱高(O点到AB的距离)为4 m. 图22－1－13 (1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？ (2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？ 【解析】 观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键． 解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A(－10，－4)，B(10，－4)，可设y＝ax2，把A点或B点坐标代入可得a＝－，所以y＝－x2； (2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y＝ax2＋4. 又y＝ax2＋4的图象过A(－10，0)，B(10，0)，将A点或B点坐标代入可得0＝100a＋4，解得a＝－， 所以y＝－x2＋4. 因为两抛物线解析式的a相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同． 图22－1－14 14．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m. (1)求抛物线的解析式； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明． 【解析】 (1)抛物线关于y轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y＝ax2＋6中，则可求出a的值； (2)将x＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y值与4.2比较大小，y值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋6， ∵抛物线过(4，2)点，∴16a＋6＝2，∴a＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6. (2)当x＝2.4时，y＝－x2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道． 图22－1－15 15．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4. (1)求a的值； (2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积． 解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4， ∴B(4，0)， 把B点坐标代入解析式得：16a－4＝0， 解得：a＝； (2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F， ∵a＝， ∴y＝x2－4， 令x＝－1， ∴m＝×(－1)2－4＝－， ∴C(－1，－)， ∵C关于原点对称点为D， ∴D的坐标为(1，)，则CE＝DF＝ S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝OB·DF＋OB·CE＝×4×＋×4×＝15， ∴△BCD的面积为15平方米． 第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质　 [见A本P16] 1．与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是(　D　) A．y＝1＋　　　　　B．y＝(2x＋1)2 C．y＝(x－2)2 D．y＝2x2 2．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是(　D　) A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是x＝－2 D．最高点是(2，0) 3．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是(　A　) A．(1，0) B．(－1，0) C．(－2，1) D．(2，－1) 4．下列关于抛物线y＝4(x－1)2＋2的说法中，正确的是(　B　) A．开口向下 B．对称轴为x＝1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标为(－1，0) 5．二次函数y＝2(x－)2图象的对称轴是直线__x＝__. 6．函数：①y＝x－3，②y＝－(x<0)，③y＝(1－x)2(x>1)，其中y随x的增大而增大的有__①②③__(填序号)． 解：∵y＝x－3中，k＝>0， ∴y随x的增大而增大； ∵函数y＝－中k＝－2， ∴当x<0时，y随x的增大而增大； ∵y＝(1－x)2(x>1)中，开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x>1时，y随x的增大而增大， 故答案为①②③. 7．二次函数y＝(x－2)2，当__x＜2__时，y随x的增大而减小． 8．抛物线y＝－(x＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，当x＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__． 9．抛物线y＝2(x－2)2与x轴交点A的坐标为__(2，0)__，与y轴交点B的坐标为__(0，8)__，S△AOB＝__8__． 【解析】 画草图帮助理解题意． 当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝8， S△AOB＝×OA×OB＝×2×8＝8. 10．已知：抛物线y＝－(x＋1)2. (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表； x … －7 －3 1 3 … y … －9 －1 … (3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象． 图22－1－16 解：(1)抛物线的对称轴为x＝－1. (2)填表如下： x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … y … －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 … (3)描点作图如下： 11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标． (1)y＝2(x＋1)2 (2)y＝－4(x－5)2. 解：(1)由y＝2(x＋1)2 可知，二次项系数为2＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1， 顶点坐标为(－1，0)． (2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5， 顶点坐标为(5，0)． 12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值． 解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2， 知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5； 函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5， 故当x≥5时，函数值y随x的增大而减小； ∵－3＜0， ∴二次函数的开口向下， 当x＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0. 13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y轴交于点(0，2)． (1)求a和h的值； (2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式． 解：(1)∵对称轴为x＝－2， ∴h＝－2， ∵与y轴交于点(0，2)， ∴a·22＝2， ∴a＝； (2)抛物线关于y轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)， 所以，关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝(x－2)2. 14．(1)求抛物线y＝2(x－h)2关于y轴对称的抛物线的函数解析式． (2)若将(1)中的抛物线变为y＝a(x－h)2，请直接写出关于y轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流． 解：(1)∵抛物线y＝2(x－h)2的顶点坐标为(h，0)， ∴关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)， ∴关于y轴对称的抛物线的函数解析式为y＝2(x＋h)2； (2)抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)， ∵关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向不变， ∴关于y轴对称的抛物线解析式为y＝a(x＋h)2； ∵关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向改变， ∴关于x轴对称的抛物线解析式为y＝－a(x－h)2； ∵关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向改变， ∴关于原点对称的抛物线解析式为y＝－a(x＋h)2. 15．在直角坐标平面内，已知抛物线y＝a(x－1)2(a＞0)顶点为A，与y轴交于点C，点B是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC为直角三角形时，求a的值． 图22－1－17 解：∵y＝a(x－1)2(a＞0)的顶点为A，所以点A的坐标为(1，0)． 由x＝0，得y＝a，所以点C的坐标为(0，a)， 由x＝3，得y＝4a，所以点B的坐标为(3，4a)， 所以有 (1)若BC2＝AC2＋AB2得 9＋9a2＝1＋a2＋4＋16a2 即a2＝，a＝±，因为a>0， ∴a＝； (2)若AB2＝AC2＋BC2 得4＋16a2＝1＋a2＋9＋9a2 即a2＝1，a＝±1. ∴a>0， ∴a＝1； (3)若AC2＝AB2＋BC2 得1＋a2＝4＋16a2＋9＋9a2 即a2＝－，无解． 综上所述，当△ABC为直角三角形时，a的值为1或. 第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质　[见B本P16] 1．抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是(　A　) A．(3，1)　　　　　　B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 2．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ①∵a＝－<0， ∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x＝－1，错误； ③顶点坐标为(－1，3)，正确； ④∵x>－1时，y随x的增大而减小∴x>1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C. 3．下列二次函数中，图象以x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是(　C　) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3 【解析】 设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋k，把点(0，1)代入检验． 4．如图22－1－18，关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是(　D　) 图22－1－18 A．顶点坐标是(1，－2) B．对称轴是直线x＝1 C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 5．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为(　A　) A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3 6．[2013·雅安]将抛物线 y ＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为(　D　) A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6 C．y＝x2＋6 D．y＝x2 【解析】 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3； 再向下平移3个单位为：y＝x2＋3－3，即y＝x2. 故选D. 7．如图22－1－19，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(　A　) 图22－1－19 A．m＝n，k>h B．m＝n，k<h C．m>n，k＝h D．m<n，k＝h 8．在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象，并列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标． 解：列表如下： x y＝－x2 y＝－x2－1 y＝－(x＋1)2－1 －4 －5.5 －3 －4.5 －5.5 －3 －2 －2 －3 －1.5 －1 －0.5 －1.5 －1 0 0 －1 －1.5 1 －0.5 －1.5 －3 2 －2 －3 －5.5 3 －4.5 －5.5 　　描点、连线如图： 抛物线 对称轴 顶点坐标 y＝－x2，即y＝－(x－0)2＋0 x＝0 (0，0) y＝－x2－1，即y＝－(x－0)2＋(－1) x＝0 (0，－1) y＝－(x＋1)2－1，即y＝－[x－(－1)]2＋(－1) x＝－1 (－1，－1) 9．已知：抛物线y＝(x－1)2－3. (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当x____________时，y随x的增大而减小，当x____________时，y随x的增大而增大． 解：(1)抛物线y＝(x－1)2－3， ∵a＞0， ∴抛物线的开口向上， 对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－3)； (2)∵对称轴是x＝1 ∴当x<1时，y随x的增大而减小， 当x>1时，y随x的增大而增大． 10．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式． 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)， ∴可设为y＝a(x－1)2－1， 当x＝0时，y＝0， ∴0＝a(0－1)2－1，a＝1， 所求函数解析式为y＝(x－1)2－1. 11．二次函数y＝x2的图象如图22－1－20所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位． (1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式； (2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0? 图22－1－20 解：(1)画图略． 依题意得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x－1， ∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1； (2)当y＝0时，即x2－2x－1＝0， ∴(x－1)2＝2， ∴x－1＝±，∴x1＝1－，x2＝1＋， ∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1－，0)和(1＋，0)． 由图可知，当x＜1－或x＞1＋时，二次函数y＝x2－2x－1的函数值大于0. 12．如图22－1－21，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是(　A　) 图22－1－21 A．h>0，k>0 B．h<0，k>0 C．h<0，k<0 D．h>0，k<0 【解析】 ∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0.故选A. 13．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图22－1－22所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　A　) 【解析】　根据二次函数开口向上知a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过一、二、三象限，故选A. 14．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y＝－(x＋1)2－2__． 【解析】 二次函数y＝(x－1)2＋2顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y＝－(x＋1)2－2. 15．二次函数y＝－(x－2)2＋的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有__7__个(提示：必要时可利用备用图22－1－23画出图象来分析)． 图22－1－23 【解析】 令－(x－2)2＋＝0，解得x1＝，x2＝，抛物线与x轴的交点坐标为，，顶点为，画出图象，图象与x轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，1)，(2，2)共7个． 16．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a的值； (2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． 解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2) ∴a(1－3)2＋2＝－2 ∴a ＝－1. (2)解法一：由(1)得a＝－1<0，抛物线的开口向下 在对称轴x ＝ 3的左侧，y随x的增大而增大 ∵m<n<3 ∴y1<y2 解法二：由(1)得y＝－(x－3)2＋2 ∴当x＝m时，y1＝－(m－3)2＋2 当x＝n时，y2＝－(n－3)2＋2 y1－y2＝(n－3)2－(m－3)2 ＝(n－m)(m＋n－6) ∵m<n<3 ∴n－m>0，m＋n<6，即m＋n－6<0 ∴(n－m)(m＋n－6)<0 ∴y1<y2 17．如图22－1－24，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围． 图22－1－24 解：(1)由题意，得(1－2)2＋m＝0. 解得m＝－1， ∴二次函数的解析式是y＝(x－2)2－1. 当x＝0时，y＝(0－2)2－1＝3， ∴C(0，3)， ∵点B与C关于x＝2对称， ∴B(4，3)， 于是有解得 ∴一次函数的解析式是y＝x－1. (2)x的取值范围是1≤x≤4.