24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇）（人教版）.docx

专题24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇） （专项练习） 一、单选题 1．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（     ） A．3 B． C． D． 2．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（       ） A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm 3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点在弦上移动，连接过点作交于点．若则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（       ） A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，） 6．已知锐角，如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，； （3）连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（       ） ①；②若．则；③；④；⑤； A．1个 B．2个 C．3 D．4个 7．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙OO于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为（　　　） A．10 B．13 C．15 D．16 8．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）． A．20 B． C．14 D． 9．⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（    ） A． B．1 C． D． 10．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作： 将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图． 将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图． 将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图． 连结AE、AF、BE、BF，如图． 经过以上操作，小芳得到了以下结论： ；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　）①CE＝OE②∠C＝50°   ③＝④AD＝2OE A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 12．如图，已知A为半径为3的上的一个定点，B为上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______． 13．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2 14．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____． 15．如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______． 16．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 __________________． 17．如图，为半圆弧的中点，为弧上任意一点，且与交于点，连接． 若，则的最小值为_________ 18．如图所示，在内有折线，其中，则的长为__________． 19．如图，已知是半圆O的直径，，点C，D在半圆上，，，点P是上的一个动点，则的最小值为_______． 20．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则AB的长为_____cm． 21．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为_____________（结果保留）． 22．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________． 23．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度． 三、解答题 24．如图，是的直径，平分，过点的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，，，．填空： ①当的度数为 时，四边形为菱形； ②若，，则 ． 25．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”． (1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数； (3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长． 26．如图所示，的半径是2，直线与相交于、两点，、是上的两个动点，且在直线的异侧，若，求四边形面积的最大值. 27．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°． （1）点O到弦AB的距离为　　；． （2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′； ①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系； ②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长； ③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围． 28．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 参考答案 1．D 【分析】 由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解． 解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆 由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短 点P是BO的中点 在中， 是等边三角形 在中， ． 【点拨】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆． 2．B 【分析】 分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论． 解：连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm， ∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm）， 如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB， ∴OM＝＝＝14（cm）， ∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm）， ∴AC＝＝＝80（cm）； 如图2，同理可得，OM＝14cm， ∵OC＝50cm， ∴MC＝＝36（cm）， 在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）； 综上所述，AC的长为80cm或60cm， 故选：B． 【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键． 3．D 【分析】 把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，OE的最小值为EC-OC． 解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2， ∴∠FCA=∠ACO， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠FCA=∠CAO， ∴CF∥AB， ∵是弧的中点， ∴FE⊥AB， ∴∠F=∠BGE=90°， ∵FC=FE=2， ∴EC=， ∵OE≥EC-OC 即OE≥-2， 的最小值为， 故选：D． 【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围． 4．D 【分析】 连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可． 解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO=90∘， ∴CD=， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合， ∴CD=CB=AB=×2=1． 即CD的最大值为1． 故答案为：D． 【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是解题的关键． ． 5．C 【分析】 设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果． 解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x， ∴MN=3，ON=1+，MC=ON 在中， 由勾股定理得： x=8 又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9） 故答案为：C． 【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 6．C 【分析】 由作图知，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得． 解：由作图知CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故①正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正确； ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是 ∴，故③不正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON， ∴∠OCD=∠OCM= ∴∠MCD=180°-∠COD， 又∠CMN=∠AON=∠COD， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故④正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故⑤错误； ①②④正确 故选C 【点拨】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．C 【分析】 连接OF，根据DE⊥AB，AB为⊙O的直径，推出，由D是弧AC的中点，推出，得到AC=DF=12，求出EF=6，设OA=x，利用勾股定理求出x=7.5，即可得到答案. 解：如图，连接OF， ∵DE⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴. ∵D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴AC=DF=12， ∴EF=6， 设OA=x， ∵OF2=OE2+EF2， ∴x2=（x-3）2+62， 解得：x=7.5， ∴⊙O的直径长为15， 故选：C. 【点拨】此题考查圆的垂径定理，弧、弦、圆心角定理，勾股定理，将求直径长转化为求半径长由此利用勾股定理解答是解题的关键. 8．B 【分析】 连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，经勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即可完成求解． 解：如图，连接OA、OB ∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴， ∵MN＝20，A、B是⊙O上的两点 ∴ ∴， ∴， ∴ 延长BD与⊙O相交于点G ∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN ∴， ∴ 当点P在直线AG上时，取最小值，且最小值 过G作GH⊥AC于点H 又∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴，， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴PA+PB的最小值是： 故选：B． 【点拨】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 9．B 【分析】 根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解． 解：∵弦AB所对的劣弧为120°， ∴∠AOB=120°， ∵OA=OB， ∴∠A=∠B=30°， 又OC⊥AB， ∴OC=OA=1； 故选：B． 【点拨】本题主要考查垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 10．D 【分析】 根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确； 根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确； 设圆的半径为r，求出EN= ，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确． 解：∵纸片上下折叠A、B两点重合， ∴∠BMD=90°， ∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴∠BNF=90°， ∴∠BMD=∠BNF=90°， ∴CD∥EF，故①正确； 根据垂径定理，BM垂直平分EF， 又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分， ∴四边形MEBF是菱形，故②正确； ∵ME=MB=2MN， ∴∠MEN=30°， ∴∠EMN=90°-30°=60°， 又∵AM=ME（都是半径）， ∴∠AEM=∠EAM， ∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°， ∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°， 同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形，故③正确； 设圆的半径为r，则EN=， ∴EF=2EN=， ∴S四边形AEBF：S扇形BEMF= 故④正确， 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：D． 【点拨】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键． 11．B 【分析】 根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可． 解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E， ∴CE＝DE，，， ∴∠BOC＝2∠A＝40°，， 即，故③正确； ∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°， ∴∠C＝50°，故②正确； ∵∠C≠∠BOC， ∴CE≠OE，故①错误； 作OP∥CD，交AD于P， ∵AB⊥CD， ∴AE＜AD，∠AOP＝90°， ∴OA＜PA，OE＜PD， ∴PA+PD＞OA+OE ∵OE＜OA， ∴AD＞2OE，故④错误； 故选：B． 【点拨】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质. 12． 【分析】 连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论． 解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO． ∵OA=ON，OA=AN， ∴AO=ON=AN， ∴△OAN是等边三角形， ∴∠OAN=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BAC=∠OAN=60°， ∴∠BAO=∠CAN， ∴△BAO≌△CAN（SAS）， ∴OB=CN=3， ∵OC≤ON+CN=6， ∴OC的最大值为6， 故答案为：6． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键． 13．2 【分析】 连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论． 解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y． ∵ ∴OG⊥AB， ∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy， ∴xy的值最大时，△DEF的面积最大， ∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E， ∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∴ ∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4， ∵（x﹣y）2≥0， ∴x2+y2≥2xy， ∴2xy≤4， ∴xy≤2， ∴xy的最大值为2， ∴△DEF的面积的最大值为2 cm2 故答案为：2． 【点拨】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解． 14． 【分析】 过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长． 解：过点作于，过点作于，连接，如图， 设， ， ，， 点为弧的中点， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和△中 ， △， ，， ， ，解得， ． 故答案为4． 【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 15． 【分析】 如图，连OA，OB．利用垂径定理和勾股定理求BE，利用中位线定理求CD． 解：如图，连OA，OB， ∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， 由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点， 设,则, 由勾股定理知，， ， ∴, ∵AB＝2，AO＝BO=3， ∴, 解得， ， 即 ∵∠AEB＝∠ACD＝90°， ∴BE∥CD， ∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ． 故答案为： 【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理求解 16． 【分析】 延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝DN，所以当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，即可求得PM的取值. 解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN． ∵AB⊥CN， ∴CP＝PN， ∵CM＝DM， ∴PM＝DN， ∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为， 当DN＝NC时，PM最小，最小值为0， ∴PM的范围是≤PM≤． 故答案为： 【点拨】本题考查的是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题. 17． 【分析】 设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，先根据正方形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后判断出点四点共圆，且所在圆的圆心为点，由此可得，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得． 解：如图，设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接， 为半圆弧的中点， ， 又， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形，， 由圆周角定理得：， ，即， ， ， 又， 点四点共圆，且所在圆的圆心为点， ， 由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：，即，当且仅当点共线时，等号成立， 则的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、圆心角定理等知识点，通过作辅助线，构造出点四点共圆是解题关键． 18． 【分析】 过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，连接OB，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD的长，进而可得BD，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题． 解：过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，如图所示： ∴BE=CE， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴OH=4， ∵∠HDB=90°， ∴∠HOE=30°， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点拨】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 19． 【分析】 如图，连接AD，PA，OD．先证明PA＝PB，再根据PD+PB＝PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题． 解：如图，连接AD，PA，OD． ∵OC⊥AB，OA＝OB， ∴PA＝PB，∠COB＝90°， ∵2， ∴∠DOB90°＝60°， ∵OD＝OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠ABD＝60° ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD＝AB•cos∠ABD＝3， ∵PB+PD＝PA+PD≥AD， ∴PD+PB≥3， ∴PD+PB的最小值为3， 故答案为：3 【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC为AB的垂直平分线得到AD为的最小值是解题的关键． 20．或 【分析】 根据A点所在的位置分类讨论：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，从而求出AB；②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，原理同上． 解：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接OB， ∵AB=AC ∴点A在BC的中垂线上 ∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线 ∴AO垂直平分BC ∵⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm ∴OA=OB=5，OD=3 ∴AD=8