22.22 抛物线的对称性（基础篇）（人教版）.docx

专题22.22 抛物线的对称性（基础篇）（专项练习） 一、单选题 【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴 1．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 2．若A（－1，7）、B（5，7） 是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，则该抛物线的对称轴是（       ） A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4 3．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 … 则二次函数的对称轴是（       ）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=4 D．x=﹣4 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（        ） A．（1，3） B．（0，1） C．（0，—3） D．（2，1） 5．二次函数y=-x2+bx+4经过(-2，n)（ 4，n）两点，则n 的值是（     ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 6．某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … －3 0 －1 0 －3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（       ） A． B． C． D． 【类型二】根据二次函数对称性求函数值 7．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2上有三点A(﹣1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3从小到大是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 8．二次函数的图象上有两点，则的值是（       ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 9．已知点A（，m），B （ l，m），C （2，1）在同一条抛物线上，则下列各点中一定在这条抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 10．函数y=x2-x+m（m为常数）的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a-1时，函数值(     ) A．y＜0 B．0＜y＜m C．y=m D．y＞m 11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a<0），当时，函数有最大值，设(-1，y1)，(2，y2)，（4，y3）是这个函数图象上的点，那么(        ) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y2>y3>y1 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0） 二、填空题 【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴 13．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … 则该二次函数图象的对称轴为直线 _____． 14．若抛物线与x轴的两个交点坐标是 和 ，则该抛物线的对称轴是________． 15．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，可知它的图象与x轴有两个交点，其中一个交点是（﹣1，0）那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____． 16．若抛物线的对称轴为直线x＝－1，则b的值为_________． 17．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．    18．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______． 【类型二】根据二次函数对称性求函数值 19．已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点，在该函数的图象上． x … 0 1 2 3 … y … m n 5 n … （1）则表格中的__________； （2）当时，和的大小关系为__________． 20．已知函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 21．抛物线的图像与轴交于、两点，若的坐标为，则点的坐标为________． 22．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 17 7 1 ﹣1 1 则当x＝3时，y＝_________． 23．二次函数y＝ax2﹣2ax和y＝bx2﹣2bx其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数图象的相关性质可知：t＝___，q﹣n＝___． x 2 t（t≠2） y＝ax2﹣2ax n n y＝bx2﹣2bx n+6 q 24．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②b=2a；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c=m﹣1无实数根．其中，正确的序号是 ___． 三、解答题 25．已知二次函数的图象经过三点（1,0)， (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点； (3)当x为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？ 26．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2过点A(﹣1，m)和B(5，m)，与y轴交于点C． （1）求b和m的值； （2）连接AB，AB与y轴交于点D． 请求出：①点D的坐标； ②ABC的面积． 27．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 28．已知抛物线y＝（x﹣1）2+k与y轴相交于点A(0，﹣3)，点P为抛物线上的一点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P的横坐标为2，则点P到x轴的距离为 ． 参考答案 1．A 【分析】 根据抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，可得抛物线的对称轴为直线，即可求解． 解：∵抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即． 故选：A 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．B 【分析】 由A（－1，7）、B（5，7） 是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，而这两点关于抛物线的对称轴对称，从而可得答案. 解： A（－1，7）、B（5，7） 是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点， 抛物线的对称轴是直线 故选B 【点拨】本题考查的是利用抛物线上对称的两点坐标求解对称轴方程，理解对称轴方程的含义是解本题的关键. 3．B 【分析】 根据抛物线的性质可知，（﹣2，0）和（4，0）关于对称轴对称，由此可得到对称轴方程． 解：观察表格知道，（﹣2，0）和（4，0）关于对称轴对称， 故对称轴为：x＝． 故选：B． 【点拨】此题考查了抛物线对称轴和与x轴交点坐标的关系,解题关键是明确若抛物线与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为x＝． 4．D 【分析】 根据抛物线与轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标． 解：观察图象发现图象与轴交于点和， 对称轴为， 顶点坐标为， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度不大． 5．A 【分析】 根据（-2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴的x==1，即可求解． 解：抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点， 可知函数的对称轴x=1， ∴x==1， ∴b=2； ∴y=-x2+2x+4， 将点（-2，n）代入函数解析式，可得n=-4； 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 6．B 【分析】 利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，利用交点式求出抛物线解析式，求出x＝2时的函数值，则顶点坐标为（2， 1），然后可判断B选项错误． 解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；x＝0和x＝4时y=-3； ∴抛物线的对称轴为直线x＝， 设抛物线解析式为,代入坐标（0，-3）得， ∴ 解得 抛物线 当时， ∴顶点坐标为（2， 1）， ∴错误． 故选：B． 【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性，是解题的关键． 7．D 【分析】 根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答． 解：∵抛物线y=-2（x-1）2的对称轴是直线x=1， ∴x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵ ∴y1＜y3＜y2， 故选：D． 【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．B 直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y1，y2的值即可. 解：∵二次函数y=−(x−2)2+a 的图象上有两点(-1，y1)，(5， y2)， y1 =-(-1-2)2 +a， y2 = (5-2)2+a， ∴y1-y2=-(-1-2)2+a+ (5-2)2-a=-×9+×9=0， 故选B. 【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，包括图像上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图像和性质是解题的关键. 9．B 【分析】 根据抛物线的对称性进行分析作答． 解：由点A（，m），B （ l，m），可得：抛物线的对称轴为y轴， ∵C （2，1）， ∴点C关于y轴的对称点为（－2，1）， 故选：B． 【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，找到抛物线的对称轴是本题的关键． 10．D 【分析】 根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a-1<0，因为当x<时， y随x的增大而减小，所以当x=a-1<0时，函数值y一定大于m． 解：∵函数y=x2-x+m（m为常数）对称轴是x=，0<< ∴由对称性得：<<1 ∵当x=a时，y<0， ∴a的范围是<a<<， ∴a−1<0， ∵当x<时y随x的增大而减小， 当x=0时函数值是m． ∴当x=a−1<0时，函数值y一定大于m． 故选：D． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及二次函数的性质求解． 11．B 【分析】 由当x=1时，函数y有最大值，根据抛物线的性质得a＜0，抛物线的对称轴为直线x=1，则当与当时的函数值相等，且当x＞1时，y随x的增大而减小，由此即可得到答案． 解：∵二次函数，当x=1时，函数y有最大值， ∴抛物线的对称轴为直线x=1． ∴当与当时的函数值相等，且当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故选B． 【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 12．B 【分析】 由抛物线的对称性求解即可． 解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），对称轴是直线， ∴，解得x=,6， ∴此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， 故选B． 【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键． 13．## 【分析】 由图表可知，x＝﹣1和0时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可． 解：∵x＝﹣1、x＝0时的函数值都是﹣2相等， ∴此函数图象的对称轴为直线． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 14．x = -1 【分析】 首先根据据题意可知抛物线与x的两个交点，再根据，求出答案即可． 解：∵抛物线的图象与x的交点是（-6，0）或（4，0）， ∴． 故答案为：x=-1． 【点拨】本题主要考查了考查了求抛物线的对称轴，掌握抛物线对称轴的计算公式是解题的关键． 15．(3，0) 【分析】 根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，可以得到该函数与x轴的另一个交点的坐标． 解：由表格可知， 二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝＝1， ∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴它与x的轴的另一个交点为（3，0）， 故答案为：（3，0）． 【点拨】本题考查二次函数对称性质,关键在于理解对称的性质. 16．－ 试题分析：因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，所以，所以b=－． 【点拨】抛物线的对称轴 17．直线x＝2 【分析】 根据抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，计算横坐标的和除以2即可得到对称轴． 解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同， ∴这两点一定关于对称轴对称， ∴对称轴是：x==2， 故答案为：直线x=2． 【点拨】此题考查了抛物线的性质，抛物线上两个点的纵坐标相等时，这两个点关于对称轴对称． 18．x=-1． 试题分析：因为点（-4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可． 解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0）， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线x=，即x=-1． 【点拨】抛物线与x轴的交点． 19．     1     【分析】 （1）从表中可知，x=2是二次函数对应抛物线的对称轴，由此可求出b值，将x=2，y=5代入函数可求出c值，可知m； （2）结合二次函数图像性质，可知抛物线开口向下，对称轴为x=2，可知时，． 解：由题意可知，x=2是二次函数对应抛物线的对称轴， 即：b=4， 将x=2，y=5代入， 得：c=1， 即函数解析式为：， 将x=0，代入， 得：y=1， 即：m=1； ∵函数解析式为：， ∴对应抛物线开口向下，对称轴为：x=2， ∴时，． 故答案为：1；． 【点拨】本题主要考查的是二次函数及其图像的基本性质，掌握对应图像的基本性质是解题的关键． 20．## 【分析】 函数的对称轴为x＝﹣2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（2，0），根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为（﹣6，0），即可求解． 解：∵函数的对称轴为x＝﹣2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为（﹣6，0）， 如图， 由图像可知当﹣6＜x＜2 时，抛物线在x轴上方，此时y＞0， 故答案为：﹣6＜x＜2． 【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 21． 【分析】 用二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称解答即可． 解：∵抛物线的解析式y=a（x-2）2+c， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∵抛物线y=a（x-2）2+c与x轴交于A、B两点， ∴点A和点B关于直线x=2对称， ∵点A的坐标为（1，0）， ∴点B的坐标为（3，0）， 故答案为（3，0）． 【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程为直线x=2． 22．7 【分析】 根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到和时的函数值相等，从而可以得到时的函数值． 解：由表格可得， 二次函数的对称轴是直线， ∴和时的函数值相等， ∵时，， ∴时，， 故答案为：7． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．     0     6 【分析】 根据表格中的数据和二次函数的性质可知，两个函数对称轴都是直线x＝1，由此即可得到t+2＝2，二次函数在和时函数值相等，，可以求得n和q﹣n的值． 解：∵两个二次函数的解析式分别为， ∴两个函数对称轴都是直线x＝1， ∵二次函数在和时函数值相等， ∴t+2＝2，二次函数在和时函数值相等， ∴n+6＝q，t＝0， ∴q﹣n＝6， 故答案为：0，6． 【点拨】本题主要考查了二次函数的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数上关于对称轴对称的两点的函数值相同． 24．①②④ 【分析】 ①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号； ②由对称轴可判断②； ③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大； ④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c≥m，从而进行判断ax2+bx+c=m-1无实数根． 解：①∵抛物线图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在直线y轴左侧， ∴a，b同号，b＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵，a＞0， ∴b=2a，故②正确； ③|x1+1|=|x1-（-1）|，|x2+1|=|x2-（-1）|， ∵|x1+1|＞|x2+1|， ∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③错误； ④∵抛物线的顶点坐标为（-1，m）， ∴y≥m， ∴ax2+bx+c≥m， ∴ax2+bx+c=m-1无实数根．故④正确． 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c与函数图象的关系． 25．(1)；(2)顶点，对称轴，交点：；(3)时函数有最小值为． 【分析】 （1）抛物线的点过（1,0)，可以设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3)，把点代入解得a即可； （2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点； （3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值． 解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)， 将代入，解得， 所以抛物线解析式为， 故答案为：； （2）抛物线解析式为， 配方可得，， ∴顶点 ，对称轴， 由（1）知，交点：， 故答案为：顶点，对称轴，交点：； (3)由（2）可知，函数解析式为，开口向上，函数有最小值，当 时函数有最小值为， 故答案为：时函数有最小值为． 【点拨】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．（1）b=-4，m=3；（2）①点D的坐标为（0，3）；②15． 【分析】 （1）根据点A（-1，m）和B（5，m）是抛物线y=x2+bx-2上的两点，可以得到b的值，即可得到函数解析式，把A（-1，m）代入解析式即可求得m的值； （2）①由m的值即可求得点D的坐标； ②求得C的坐标，再根据三角形面积公式即可求得． 解：（1）∵点A（-1，m）和B（5，m）是抛物线y=x2+bx-2上的两点， ∴， 解得，b=-4， ∴抛物线解析式为y=x2-4x-2， 把A（-1，m）代入得，m=1+4-2=3； （2）①∵m=3， ∴点D的坐标为（0，3）； ②由y=x2-4x-2可知，抛物线与y轴交点C的坐标为（0，-2）， ∴OC=2， ∵A（-1，4）和B（5，4）， ∴AB=6， ∴S△ABC=×6×（2+3）=15． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 27．（1）二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）；（3）点P与点Q关于对称轴x＝2对称，m＝6，所以点Q到x轴的距离为6 【分析】 （1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解即可； （2）把二次函数解析式化为顶点式即可求解； （3）将点P的坐标代入（1）中函数解析式求得m的值，然后根据二次函数的对称性可进行求解 解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c， 得，解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6； （2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知： 对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）； （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6． 解得， 因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6， 所以P点坐标为（6，6）； 因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键． 28．(1)(2)3 【分析】 （1）把点A(0，﹣3)，代入抛物线解析式，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴为直线，可得点P和点A(0，﹣3)关于直线对称，从而得到点的纵坐标为-3，即可求解． (1)解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+k与y轴相交于点A(0，﹣3)， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为； (2)解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点P和点A(0，﹣3)关于直线对称， ∴点的纵坐标为-3， ∴点P到x轴的距离为3． 【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，利用抛物线的对称性求函数值，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．